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直线与圆的位置关系


焦作十二中高一数学组

一、复习提问
1、点和圆的位置关系有几种? 设点P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0,y0)的距离为d,则 点在圆内?(x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 ?d<r, 点在圆上 ?(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 ?d=r, 点在圆外?(x0 -a)2+(y0 -b)2>r2 ?d>r.

二、新授讲解
1、直线与圆相离、相切、相交的定义。

切点 切线

交点

交点

割线

相交 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的,

相离

相切

直线与圆没有公共点------直线和圆相离;
只有一个公共点 -----------直线和圆相切;

有两个公共点--------直线和圆相交。

2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系,来 判断圆和直线的位置关系。(几何性质)
r o d l r o d l d>r d=r d<r

r o d

l

(1)直线l 和⊙O相离 (2)直线l 和⊙O相切 (3)直线l 和⊙O相交

3.代数性质: 设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2,直 线L的方程为Ax+By+C=0, (x-a)2+(y-b)2=r2 Ax+By+C=0

(1)△>0 直线与圆相交; (2)△=0 直线与圆相切; (3)△<0 直线与圆相离.

㈠方法探索

?y ? x ? b 解法一(利用△):解方程组 ? 2 2 x ? y ?4 ?
消去 y 得: 2x +2bx+b -4=0 ①
方程①的判别式
2 2

y

⊿=(2b) -4×2(b -4)=4(2 2 +b)(2 2 - b).
当-2 2<b<2

2

2

O

x

2 时,⊿>0, 直线与圆相交;

当b=2 2 或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切; 当b>2 2 或b<-2 2 时,⊿<0,直线与圆相离。

㈠方法探索

解法二(利用d与r的关系):圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为r=2 圆心到直线的距离为 d

y

?

0?0?b 2

?

b 2
O x

(1)当-2 2 <b<2 2 时,d<r, 直线与圆相交,

(2)当b=2 2 或b= -2 2 时, d=r, 直线与圆相切;
(3)当b>2 2 或b<-2 2 时,d>r,直线与圆相离。

㈡应用提高
2 2 2 2.已知直线 y=x+1 与圆 x 2x? ? y 4 y ?? 25

相交于A,B两点,

求弦长|AB|的值
解法一:(求出交点利用两点间距离公式) y B

? y ? x ?1 由? 2 消去y 2 ?x ? y ? 4 得2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ?1 ? 7 ?1 ? 7 A , x2 ? 2 2 1? 7 1? 7 ? y1 ? , y2 ? 2 2 ?1 ? 7 1 ? 7 ?1 ? 7 1 ? 7 ? A( , ), B( , ) 2 2 2 2 ?| AB |? 14 ? x1 ?
O

x

㈡应用提高
2 2 2 22 ? 2 x ? y 2 .已知直线 x-y +1=0 与圆 x x 相交于 A , B 两点,求弦长 ? 25 y ? 25 ?y ? 4

|AB|的值

解二:解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形)

设圆心O(0,0)到直线的距离为d,则

y B r O

2 d? ? 2 1 ? (?1)2 ?| AB |? 2 r ? d ? 14
2 2

1

A

d

x

㈡应用提高
2.直线 y=x+1 与圆 |AB|的值
2 2 2 相交于A,B两点,求弦长 x ? ? 25 ?y yy ?4 xx ? ? 25
22 2

解法三:(弦长公式)

y

? y ? x ?1 由? 2 消去y 2 ?x ? y ? 4 得2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 3 ? x1 ? x2 ? ?1, x1 x2 ? ? 2 3 (1 ? 1 )[(?1) ? 4 ? (? )] ? 14 2
2 2

B

A

O

x

?| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

㈢发散创新
3.已知实数x, y满足 x2

? y 2 ? 4 ,求y-x的最大与最小值.

解法一:

设y-x=b则y=x+b,代入已知,得

2 x 2 ? 2bx ? b 2 ? 4 ? 0 ?? ? 4b 2 ? 8(b 2 ? 4) ? ?4(b 2 ? 8) ? 0 ??2 2 ? b ? 2 2

? y ? x的最大值为2 2,最小值为? 2 2

㈢发散创新
3.已知实数x, y满足 x2

? y 2 ? 4 ,求y-x的最大与最小值.
y

解法二:

令 y ? x ? b, 即 y ? x ? b 则b可视为直线y ? x ? b的截距 又x ? y ? 4表示一个圆,
2 2

O

x

由图象可知,切线的截距最大与最小, 易求得切线的截距为 ? 2 2, ? y ? x的最大值为2 2,最小值为 ? 2 2

四、课堂小结:
直线和圆的三种位置关系 直线与圆的位置关系 公共点个数

相交

相切

相离

2
交点

1
切点

0


公共点名称
直线名称 数量关系

割线

切线



d<r

d=r

d>r

总结:
直线和圆的位置关系及判断方法:
方法 关系

代数法

几何法

相离 相切

△<0
△=0 △>0

r< d
r= d r >d

相交

判断方法:

方法1:定义

(1)△>0 直线与圆相交; (d>r) 1、相离 圆心到直线的距离d与半 (2)△=0 直线与圆相切; (3)△<0 直线与圆相离 . 径r的大小关系

方法2:几何性质

直线与圆没有交点

方法3:代数性质 (d=r)

2、相切 3、相交

直线与圆有一个交点 (d<r) 直线与圆有两个交点

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2, 直线L的方程为 Ax+By+C=0, (x-a)2+(y-b)2=r2 Ax+By+C=0


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