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广东省肇庆市2013届高三第一次模拟数学文试题


肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 S h 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 z 1 ? a ? 3 i , z 2 ? 2 ? bi ,其中 a、b?R. 若 z1 ? z 2 ,则 a b ? A. ? 1 B. 5 C. ? 6 D. 6

2.已知全集 U ? { ? 2, ? 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6} ,集合 M={大于 ? 2 且小于 5 的整数},则 C U M ? A. ?
x

B. {6}

C. { ? 2 , 6}

D. { ? 2, 5, 6}

3.命题“?x∈R, 2 ? 1 ”的否定是 A. ? x ? R , 2 ? 1
x

B. ? x ? R , 2 ? 1
x

C. ? x ? R , 2 ? 1
x

D. ? x ? R , 2 ? 1
x

4.甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的单位面积平均产量如下(单位:t/hm2) ,根据这组数据下 列说法正确的是 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8

A.甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数 B.甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D. 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差

5.已知等差数列{ a n },满足 a 3 ? a 9 ? 8 ,则此数列的前 11 项的和 S 1 1 ? A.44 B.33 C.22 D.11

6.平面上有三个点 A(2,2) 、M(1,3) 、N(7,k) ,若向量 AM 与 AN 垂直,则 k= A.6 B.7 C.8 D.9

7.阅读如图 1 的程序框,并判断运行结果为 A.55 B.-55 C.5 D.-5

?x ? y ? 2 ? 8.设变量 x , y 满足 ? 0 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值为 ?0 ? y ? 3 ?

A. 1

B. 9

C. 1 1

D.13

9.△ABC 中, A B ? 3, B C ?
3 2

1 3 , A C ? 4 ,则△ABC 的面积是

A.

B.

3 3 2

C. 3

D. 3 3

10.设集合 M ? ? A 0 , A1 , A 2 , A3 , A 4 , A5 ? ,在 M 上定义运算“ ? ”为: Ai ? A j ? A k ,其中 k 为
i ? j 被 4 除的余数, i , j ? 0,1, 2, 3, 4, 5 .则满足关系式 ( a ? a ) ? A 2 ? A0 的 a ( a ? M ) 的个

数为 A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f ( x ) ? 1 ? x ? ln x 的定义域为__▲__. 12.若圆心在直线 y ? x 上、半径为 2 的圆 M 与直线 x ? y ? 4 相切, 则圆 M 的方程是__▲__. 13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 2 所示,则其表面积 ... 等于__▲__.

( )


3 sin ? ? 6 的

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, ? ? 2 上的点到直线 ? ?cos ? ? 圆 距离的最小值为__▲__. 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,D 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,PD 是

?

⊙O 的切线,P 是切点,∠D =30° A B ? 4, B D ? 2 ,则 P A ? __▲__. ,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?
?
3 ) ? cos( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos

2

x ? 1 ,x∈R.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?
?
4 ,

?
4

] 上的最大值和最小值.

17. (本小题满分 13 分) 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题统计 结果如下图表所示:

(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组各 抽取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求所抽取 的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.

18. (本小题满分 13 分) 如图 4,PA 垂直于⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB=2,
BF ? 1 4 BP

,C 是弧 AB 的中点.

(1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP;

(3)求四棱锥 C—AOFP 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 { a n } 的前 n 项和,且 a 1 ? 1 , na n ? 1 ? 2 S n ( n ? N ) .
*

(1)求 a 2 , a 3 , a 4 的值; (2)求数列 { a n } 的通项 a n ; (3)设数列 { b n } 满足 b n ?
2 (n ? 2)an

,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 7 ? 0 ,圆心 C 关于原点对称的点为 A,P 是圆上任一点,
2 2

线段 A P 的垂直平分线 l 交 P C 于点 Q . (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 L 方程; (2)过点 B(1,
1 2

)能否作出直线 l 2 ,使 l 2 与轨迹 L 交于 M、N 两点,且点 B 是线段 MN

的中点,若这样的直线 l 2 存在,请求出它的方程和 M、N 两点的坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)
? x ? a (ln x ? 1)( 0 ? x ? e ) ? 若 f (x) ? ? 2 ,其中 a ? R . ? x ? a (ln x ? 1)( x ? e ) ?
2

(1)当 a ? ? 2 时,求函数 f ( x ) 在区间 [ e , e ] 上的最大值;
2

(2)当 a ? 0 时,若 x ? ?1, ?? ? , f ( x ) ?

3 2

a 恒成立,求 a 的取值范围.

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B

学(文科)参考答案

10B 解析:设 a ? A i ,则 ( a ? a ) ? A 2 ? A0 等价于 2 i ? 2 被 4 除的余 0,等价于 i 是奇数.故 a 可 取 A1 , A3 , A5 二、填空题 11.(0 ,1] 12.( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 或 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 2 (对 1 个得 3 分, 2 个得 5 分) 对
2 2 2 2

13. 2 4 ? 8 3 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ? sin 2 x cos

14.1

15. 2 3

?
3

? cos 2 x sin

?
3

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? cos 2 x (3 分)

? sin 2 x ? cos 2 x

(4 分) (5 分)
?? .

?

2 sin( 2 x ?

?
4

) 2? 2

所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)因为 f ( x ) 在区间 [ ? 又 f (?
?
4 ) ? ?1 , f (

(6 分)
?
8 ,

?
4

,

?
8

] 上是增函数,在区间 [

?
4

] 上是减函数, (8 分)

?
8

) ? ,

2 , f(

?
4

) ? 1,

(11 分) (12 分)

故函数 f ( x ) 在区间 [ ?

?
4

?
4

] 上的最大值为

2 ,最小值为-1.

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n ?
10 0 . 01 ? 10 ? 100 . 5 0 .5 ? 10 ,

(1 分)

∴a=100×0.020×10×0.9=18, b=100×0.025×10×0.36=9,
x ?
y ?

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

27 1 0 0 ? 0 .3
3

? 0 .9 ,
? 0 .2

1 0 0 ? 0 .1 5

(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为: 第 2 组: 第 3 组: 第 4 组:
18 54 27 54 9 54 ? 6 ? 1 人. ? 6 ? 3 人, ? 6 ? 2 人,

(6 分) (7 分) (8 分)

(3)设第 2 组的 2 人为 A1 、 A 2 ,第 3 组的 3 人为 B 1 、 B 2 、 B 2 ,第 4 组的 1 人为 C 1 ,则从 6 人中抽 2 人所有可能的结果有: ? A1 , A 2 ? , ? A1 , B 1 ? , ? A1 , B 2 ? , ? A1 , B 3 ? , ? A1 , C 1 ? , ? A 2 , B1 ? ,

? A 2 , B 2 ? ,? A 2 , B 3 ? ,? A 2 , C 1 ? ,? B1 , B 2 ? ,? B1 , B 3 ? ,? B 1 , C 1 ? ,? B 2 , B 3 ? ,? B 2 , C 1 ? ,? B 3 , C 1 ? ,
共 15 个基本事件, (10 分)

其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 ? A1 , A 2 ? ,? A1 , B 1 ? ,? A1 , B 2 ? ,? A1 , B 3 ? ,? A1 , C 1 ? ,? A 2 , B1 ? ,

? A 2 , B 2 ? , ? A 2 , B 3 ? , ? A 2 , C 1 ? 这 9 个基本事件.
∴第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为
9 15 ? 3 5

(12 分) (13 分)

18. (本小题满分 13 分) (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB
? 90
o

(1 分)

,即 BC?AC. 平面 P A C .

(2 分) (3 分)

又∵ P A ?

A C ? A ,∴ B C ?

(2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分)

∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. 又∵ P A ?
AB ? A

(5 分)
?

,∴ O C

?

平面 P A B ,又 P B

平面 P A B ,

∴ BP

? OC

.
// A E

(6 分) , AE
? BP

设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 O F ∴ BP ∵ OC
? OF

. ,∴ B P
?

(7 分) 平面 C F O . 又 C F
?

? OF ? O

平面 C F O ,∴ C F
? BFO
1 2 AE ?

? BP

. (8 分)
?1.

(3)解:由(2)知 O C 又∵ B F ∴ VC ? BFO
? 1 4 BP ? 1 4
2

?

平面 P A B ,∴ C O 是三棱锥 C
2

的高,且 C O
1 2 ? 1 2 PB ? 2 2

(9 分) (10 分) (11 分)

PA ? AB

?

1 4

2 ?2
2

2

?

2 2

, FO
2 2 ?

?

?

1 3
?

S BOF ? C O ?
1 3

1 3

?

1 2
1 3

BF ? FO ?1 ?
1 2

1 6

?

2 2
1 3

?
1 2 2 3 ?

1 12
2 3

又∵ V P ? A B C ∴四棱锥 C

S ?ABC ? A P ?

?

AB ?CO ? AP ?

?

? 2 ? 1? 2 ? 1 12 7 12

(12 分) (13 分)

? AOFP

的体积 V

? V P ? ABC ? VC ? BFO ?

?

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a 1 ? 1, n a n ? 1 ? 2 S n ( n ? N ) 得 a 2 ? 2 a1 ? 2 ,
a 3 ? S 2 ? a1 ? a 2 ? 3 ,
?

(1 分) (2 分) (3 分)

由 3 a 4 ? 2 S 3 ? 2 ( a1 ? a 2 ? a 3 ) 得 a 4 ? 4 (2)当 n ? 1 时,由 n a n ? 1 ? 2 S n ① ,得 ( n ? 1) a n ? 2 S n ? 1 ②

(4 分)

①-②得 n a n ? 1 ? ( n ? 1) a n ? 2 ( S n ? S n ? 1 ) ,化简得 n a n ? 1 ? ( n ? 1) a n , (5 分)
n ?1 n



a n ?1 an

?

( n ? 1 ).

(6 分)

∴a2 ? 2 ,

a3 a2

?

3 2

,……,

an a n ?1

?

n n ?1

(7 分)

以上( n ? 1 )个式子相乘得 a n ? 2 ? 又 a 1 ? 1 ,∴ a n ? n ( n ? N )
?

3 2

?? ?

n n ?1

? n (n ? 1)

(8 分)

(9 分)

(3)∵ b n ?

2 (n ? 2)an

?

2 (n ? 2)n

?

1 n

?

1 n?2

(11 分)

∴ Tn ?

1 1

?

1 3
1 2

?
?

1 2
1

?

1 4
?

?
1

1 3

?
?

1 5
3 2

?? ?
?

1 n?2

?

1 n

?

1 n ?1

?

1 n ?1

?

1 n

?

1 n?2

(12 分) (14 分)

? 1?

2n ? 3 ( n ? 1)( n ? 2 )

n ?1

n?2

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,由已知可得圆心 C ( ? 1, 0 ) ,半径 r ? 2 2 ,点 A(1,0) (1 分) ∵点 Q 是线段 A P 的垂直平分线 l 与 CP 的交点,∴ | QP |? QA | 又∵ | PQ | ? | QC |? 2 2 ,∴ | QA | ? | QC |? 2 2 ? AC ? 2 ∴点 Q 的轨迹是以 O 为中心, C , A 为焦点的椭圆, ∵ c ? 1, a ?
2 ,∴ b ?
x
2

(2 分) (3 分)

a

2

?c

2

? 1,

(4 分)

∴点 Q 的轨迹 L 的方程

? y ? 1.
2

(5 分)

2 x
2

(2)假设直线 l 2 存在,设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,分别代入
? ? ? ? ? ? ?
2

? y ? 1得
2

2

x1 2

? y1 ? 1
2


? y2 ? 1
2

(6 分)

x2 2

2

两式相减得

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 2

? ? ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ,即

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? ?

1 2

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

(7 分)

由题意,得 x 1 ? x 2 ? 2 , y 1 ? y 2 ? 1 , ∴
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? ? 1 ,即 k M N ? ? 1

(8 分)

(9 分)

∴直线 l 2 的方程为 y ? ? x ?
2

3 2

(10 分)

?x 2 ? y ?1 ? ? 2 由? 2 得 6 x ? 12 x ? 5 ? 0 ?y ? ?x ? 3 ? ? 2

(11 分)

∵点 B 在椭圆 L 内,

∴直线 l 2 的方程为 y ? ? x ?

3 2

,它与轨迹 L 存在两个交点,
6 6

解方程 6 x ? 1 2 x ? 5 ? 0 得 x ? 1 ?
2

(12 分)

当x ? 1?

6 6

时, y ?

1 2

?

6 6

;当 x ? 1 ?

6 6

时, y ?

1 2

?

6 6

(13 分)

所以,两交点坐标分别为 ? 1 ?
? ?

?

6 6

,

1 2

?

? 6 ? 6 1 6 ? , ? ? 和?1 ? ? ? 6 ? 6 2 6 ? ? ? ?

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ? 2 , x ? [ e , e ] 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x ? 2 ,
2 2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

∵ f ?( x ) ? 2 x ?

2 x

2 ,∴当 x ? [ e , e ] 时, f ? ( x ) ? 0 ,

2 ∴函数 f ( x ) ? x ? 2 ln x ? 2 在 [ e , e ] 上单调递增,
2

故 f ( x ) m ax ? f ( e ) ? ( e ) ? 2 ln e ? 2 ? e ? 2
2 2 2 2
4

2 (2)①当 x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

, (5 分) (6 分)

? a ? 0 , f ? ( x ) ? 0 ,∴f(x)在 [ e , ?? ) 上增函数,

故当 x ? e 时, f ( x ) min ? f ( e ) ? e ;
2
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

?

2 x

(x ?

a 2

)( x ?

a 2

) , 分) (7

(i)当

a 2

? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [1, e ) 上为增函数,

当 x ? 1 时, f ( x ) min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f ( e ) ? e ;
2

(8 分)
a ? , e ? 上为 2 ?

(ii)当 1 ? 增函数, 故当 x ?
a 2
a 2

a

? 2 ? e ,即 2 ? a ? 2 e 时, f ( x ) 在区间 ? 1, ? 2 ?

? a ? ? 上为减函数,在区间 ? ? 2 ? ?

(9 分) 时, f ( x ) min ? f (
a 2 ) ? 3a 2 ? a 2 ln a 2

,且此时 f (

a 2

) ? f (e) ? e ; (10 分)
2

(iii)当

? e ,即 a ? 2 e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a 在区间[1,e]上为减函数,
2

2

故当 x ? e 时, f ( x ) min ? f ( e ) ? e .
2

(11 分)
?1 ? a , 0 ? a ? 2 ? a a ? 3a 2 ? ? ? ln , 2 ? a ? 2 e (12 分) 2 2 ? 2 2 2 ?e , a ? 2e ?

综上所述, 函数 y ? f ( x ) 的在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f ( x ) min

?2 ? a ? 2e 2 , ?a ? 2e 2 , ?0 ? a ? 2, ? ? ? 由? 得 0 ? a ? 2 ;由 ? 3 a a 3 a 3 a 得无解;由 ? 2 3 a 得无解; 1 ? a ? a, ? ln ? , e ? , ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ?

(13 分)

故所求 a 的取值范围是 ? 0 , 2 ? .

(14 分)



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