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《数列的概念》例题解析(北师大版必修5)


1.1.1 数列的概念
本小节重点:了解数列概念、分类、通项公式;及通项公式的求法。

一、 基本概念 1. 数列的概念
1 按一定次序排列的一列数叫数列。 ○

注:数列的另一定义:数列也可以看做是一个定义域为正整数集

,当自变量

从小到大依次取值时对应的一列函数值。 ○ 2 数列中的每一个数按顺序 1,2,3,…,都有一个序号,叫作项数,每一个 序号也对应着一个数,这个数叫作数列中的项,例如第 4 个数,叫作第 4 项, 第 n 个数,叫作第 n 项,记作 ;
[来源:学。科。网]

○ 3 数列的一般形式为 , , , …, ,…简单记为 的通项.

, 其中 表示数列

○ 4 通项公式:如果一个数列的第 n 项 与项数 n 之间的函数关系可以用一个公 式 表示时,我们称这个公式为这个数列的通项公式。

特别提示:a) 数列的通项公式不是唯一的,例如:-1,1,-1,1,…通项公式 可表示为 或 ;

b) 不是所有的数列都有通项公式,例如:3,3.1, 3.14,3.141,3.1415,… 就没有通项公式. ○ 5 递推公式:如果已知数列 开始的任一项 与它的前一项 的第 1 项(或前几项) ,且从第二项(或某一项) (或前几项)间的关系式可以用一个公式来表
[来源:学科网 ZXXK]

示,则这个公式就叫作递推公式。

2. 数列的表示方法
○ 1 列表法,指列出表格来表示数列 ○ 2 图像法,指在坐标平面中用点 的第 n 项与序号 n 之间的关系. 表示.

○ 3 解析法,指用一数学式子表示来。例如:常用的通项公式.

3. 数列的分类
○ 1 按数列中项数的多少来分:有穷数列和无穷数列. ○ 2 按数列中相邻两项间的大小关系来分:递增数列、递减数列、常数列和摆动

数列. ○ 3 按照任何一项的绝 对值是否都大 于 某一正数来分:有界数列和无界数列.
[来源:Zxxk.Com]

[来源:学科网 ZXXK]

二、 例题讲解
例1. 根据数 列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)

, , , ,… , , , ,
, ,

(2 ) 1,3,6,10,15,…

(3)

,

,… , ,…

(4) 6,66,666,…

(5)

(6)

, ,

, ,…



特别提示:在此种题型当中一些常用的数列为: 1) 1,0,1,0,…; 2)-1,1,-1 ,1,…; 3)1,11,111,1111,… 例2. 已知数列 ,

(1) 求数列的第 10 项 (2) 是否为该数列的项,为什么?

(3) 求证:数列中各项都在区间

内;

(4) 在区间

内有无数列中的项?

例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式 (1) (2)已知数列 (可用两种方法 ) 满足 求

(3)

(插项法和叠加法组合)

(4)在数列 (5) 设

中,已知 是 首 项 为 1 的 正

, 数 数 列 , 且

,求它的通项公式 (6) 已 知 数 列 中, ,数列 ,求 例 4. 求下列数列中某一项 (1) 已知数列 满足 中,

.(累乘法) ,当 时,

,求

(2) 已知数列

对任意

,有

,若

,求

(3) 在数列 (4) 已知数列 例 5.

中, 满足

,求 ,求

利用数列的单调性解答 (1)若数列 的通项公式 ,数列 的最大项为第

x 项,最小项为第 y 项,则 x+y= (2) 设数列 的通项公式为 , 若数列 是单调 递

增数列,求实数 k 的取值范围. (3) 设 , 1)试求数列 2)判断数列 的 通项公式; 的增减性. ,又知数列 的通项 满足

(4)设 如果 例 6. 和

是定义在正整数集上的函数,且满足 ,则 之间的关系
;

,

=

注:数列的通项 与前 n 项和 的相互关系是:

(1) 已知数列 (2) 已知 (3) 已知

的前 n 项和 求 ,又数列

,求数列

的通项公式.

中,

,这个 .

数列的前 n 项和的公式 , 对所有大于 1 的自然数 n 都有 1) 求数列 2) 若 的通项公式. , 求 的值

特别提示:请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]


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