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高2014届高三数学模拟试题模拟1


郑州外国语学校 2013—2014 学年上期高三 11 月月考试试卷


选项符合题目要求。



(理)

(120 分钟 150 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。每小题所给四个选项中,只有一个

1.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则集合 M ? N ? (
2

)

A. (?2, ??)

B. ( ?2,3)
2

C. [1,3)

D. R

2. 关于 x 的二次方程 x ? (2 ? i ) x ? 1 ? ai ? 0, (a ? R) 有实根,则复数 z ? A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

2 ? ai 对应的点在( a?i



D. 第四象限

3.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 [ 实数 x 的取值范围是( A. (??, ?2] C. [ ?1, 2] ) B. [?2, ?1] D. [2, ??)

1 1 , ] 内,则输入的 4 2

开始 输入 x

4.直线 l 与函数 y ? sin x( x ? ? 0, ? ?) 的图像相切于点 A ,且 l // OP ,O 为坐标原点,P 为图像的极大值点, x 轴交于点 B , 与 过切点 A 作 x

x ? [?2, 2]




??? ??? ? ? 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA?BC =(
A. 2

f ( x) ? 2



f ( x) ? 2 x

? B. 2

C.

?2
4

D.

?2 ?4
4

输出 f ( x) 结束

? ? 2 ?? 5. 已知 a, 为 非 零向 量,则“ 函数 f ( x) ? ( ax ? b) 为 偶 函数 ”是 b
“ a ? b ”的 (

?

?

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

6、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S 3 的公差为( A. 1
2

? 6, S 4 ? 8, S 6 ? 20, 当 a4 取得最大值时,数列 ?an ?
D. 3

) B. 4
2

C. 2

7.若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 (a, b) 向圆所作的切线长的 最小值是( A. 2 ) B. 3

C. 4

D. 6

8. 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD , 将 其 沿 对 角 线 BD 折 成 四 面 体 ) A'?BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A'?BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为( A.

3 ? 2

B. 3?

C.

2 ? 3

D. 2? )

9、已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是(
1

A.两个函数的图象均关于点 ( ?

? , 0 ) 成中心对称. 4

B.①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移 C.两个函数在区间 (?

? ? , ) 上都是单调递增函数. 4 4

? 个单位即得②. 4

D.两个函数的最小正周期相同. 10.设 F1, F2 分别为双曲线

|PF1 2 | x 2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一点。若 2 |PF2 | a b
) D.[ 3 ,3)

的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( A. (1, 3 ] B. (1,3) C. (1,3]

11. 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x), 称 f ( x) 为“局部奇函数” ,若

f ( x) ? 4 x ? m2 x ?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” ,则实数的取值范围是(
A.1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 B.1 ? 3 ? m ? 2 2 D. ? 2 2 ? m ? 1 ? 3



C. ? 2 2 ? m ? 2 2

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的以 4 为周期的函数, ”当 x∈(-1,3]时,f(x)=

? 1-x 2 ,x ? (-1,1] f ( x) 1 ? 其中 t>0.若函数 y= - 的零点个数是 5,则 t 的取值范围为 ? 5 x ?t (1- x-2 ), x ? (1,3] ?
( ) A. (

2 ,1) 5

B. (

2 6 , ) 5 5

C. (1,

6 ) 5

D. (1,+∞)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卷的相应位置。
13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________. 14.设 a ?

?

?

2 0

a sin 2 xdx ,则 ( 2 x ? ) 6 展开式的常数项为 x

.
2 2
2 2

15.在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n , 若

2 2 2 2

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于 12 10
2

.

3 16.设函数 f ( x )=x -1,对任意 x ∈ [ , +∞) , 2 x f ( ) - 4 m 2 f ( x )≤ f ( x -1)+4 f ( m )恒 成 立, m
则实数 m 的取值范围是 .

正 视 图

1

1
侧 视 图

1 1
俯 视 图

2

三、解答题:共 70 分.解答必须写出必要的文字说明或解答过程。
17. (本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动, ?MCN ?

2 ? ,在 3
M A

?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ?

3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,
N B

θ C

并求周长的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 设公比大于零的等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , S 4 ? 5S 2 , 且 数列 ?bn ?
2 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n bn , n ? N .
?

(Ⅰ)求数列 ?a n ?、 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Cn ? ( S n ? 1)( nbn ? ? ) ,若数列 ?Cn ?是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分)如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 平面 ABCD . (Ⅰ)从下列①②③三个条件中选择一个做为 AC ? BD1 的充分条件,并给予证明; ① AB ? BC ,② AC ? BD ;③ ABCD 是平行四边形. (Ⅱ)设四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有棱长都为 1,且 ?BAD 为锐角,求 平面 BDD1 与平面 BC1 D1 所成锐二面角 ? 的取值范围.
A1 D1 C1

B1 A B

D C

2 2 2 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 E: x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F2 与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合, a b

过 F2 作与 x 轴垂直的直线交椭圆于 S,T 两点,交抛物线于 C,D 两点,且 | CD | ? 2 2 . | ST | (I)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)设 Q(2,0) ,过点(-1,0)的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点. (i)当 QM ? QN ?

19 时,求直线 l 的方程; 3

(ii)记Δ QMN 的面积为 S,若对满足条件的任意直线 l,不等式 S ? λ tan∠MQN 恒成立,求λ 的最 小值.

3

21 .( 本 小 题 满 分 12 分 已 知 函 数 g ( x)? ( ? a ) l , x ? x ? = ln x ? ax 2 n h

2

(a ? R)



f ? x ? ? g ? x ? ? h? ? x ?

.

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若存在 ?1,?2 ? ?1,3? , 使得 f

? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,求 m 的取值范围.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 、 、 22. (本小题满分 10 分)如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD//EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC =2,BD =9,求 AD 的长。

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 ( t 为参数) 以 23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为:? . ?y ? 2 t ? ? 2
坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(Ⅰ)求曲线 C 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于点 M , N ,若点 P 的坐标为 (1, 0) ,求 | PM | ? | PN | 的值. 24.(本小题满分 10 分)已知不等式 | x ? 2 | ? | x ? m |? 3 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . (Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )若 a ? 2b ? 3c ? m ,求 a ? 2b ? 3c 的取值范围.
2 2 2

4

郑州外国语学校 2013—2014 学年上期高三 11 月月考试试卷 数 学 (理)参考答案
一、

选择题:CDBDC BCACC BB
3 ?

二 、 填空题 三、

160

-2013

(-∞, -

3 3 ]∪ [ , +∞) 2 2

解答题:17. 解(Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,
2 1 ? , cos C ? ? , 3 2
2 2

? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又? ?MCN ?
a 2 ? b2 ? c 2 1 ?? , ? 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?

??

1 , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又? c ? 4 ,? c ? 7 . (Ⅱ)在 ?ABC 中,

AC AC BC AB ? , ? ? ? sin ? sin?ABC sin? BAC sin ACB ?

BC 3 ? ?2, ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?

?? ? AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 2 3? ? ?2 ?
又? ? ? ? 0,

? ?

?? ? ? 2? , ? ,? ? ? ? ? 3? 3 3 3

?当 ? ?

?
3

?

?
2

即? ?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . 6

18、解: (Ⅰ)由 S 4 ? 5S 2 , q ? 0, 得 又?

q ? 2, an ? 2 n ?1

?Tn ? n 2 bn b n ?1 ? ? n ? ( n ? 1) , bn ?1 n ? 1 ?Tn ?1 ? ( n ? 1) 2 bn ?1 ?

则得

bn bn ?1 bn ?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn ?1 bn ?2 bn ?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ,当 n ? 1 时也满足. n( n ? 1)

所以 bn ?

n n (Ⅱ) Tn ? 2 ? 1 ,所以 Cn ? 2 (

数列,求实数 ? 的取值范围.

2 ? ? ) ,使数列 ?Cn ?是单调递减)设,若数列 ?Cn ?是单调递减 n ?1
5

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立, n ? 2 n ?1 4 2 4 2 即 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max , n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 , ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)( n ? 2) n ? 3 ? 2 n 4 2 1 1 ? ) max ? , 所以 ? ? . 当 n ? 1 或 2 时, ( n ? 2 n ?1 3 3
则 Cn ?1 ? Cn ? 2 n ( 19 解: (Ⅰ)条件② AC ? BD ,可做为 AC ? BD1 的充分条件. 证明如下:? AA1 ? 平面 ABCD , AA1 / / DD1 ,
A1 z D1 O1 B1 A B x D O C y C1

? DD1 ? 平面 ABCD , ∵ AC ? 平面 ABCD ,? DD1 ? AC . D 若条件②成立,即 AC ? BD ,∵ DD1 ?BD ? ,? AC ? 平面 BDD1 ,
又 BD1 ? 平面 BDD1 ,? AC ? BD1 . (Ⅱ)由已知,得 ABCD 是菱形,? AC ? BD . 设 AC ? BD = O , O1 为 B1 D1 的中点,则 OO1 ? 平面 ABCD , ∴ OO1 、 AC 、 BD 交于同一点 O 且两两垂直.

以 OB, OC , OO1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.6 分 设 OA ? m , OB ? n ,其中 m ? 0, n ? 0, m ? n ? 1 ,
2 2

则 A(0, ?m, 0) , B(n,0,0) , C (0, m, 0) , C1 (0, m,1) , D1 (?n, 0,1) ,

???? ? ???? ? ? BC1 ? ( ? n, m,1) , BD1 ? (?2n, 0,1) , 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 BC1 D1 的一个法向量,

? ???? ? ?n ? BC1 ? 0, ? ? xn ? ym ? z ? 0, ? 由 ? ? ???? 得? 令 x ? m ,则 y ? ?n , z ? 2mn , ? ?n ? BD1 ? 0, ? ?2 xn ? z ? 0, ? ? ???? ? n ? (m, ?n, 2mn) , 又 AC ? (0, 2m, 0) 是平面 BDD1 的一个法向量,
? ???? n2 | n ? AC | 2mn n 2 ? ? cos ? ? ? ???? ? ? , t?n , 令 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? 4m n | n || AC | m ? n ? 4m n ? 2m 1 ? 4m n
则 m ? 1 ? t ,??BAD 为锐角,? 0 ? n ?
2

2 t 1 1 ? ,则 0 ? t ? , cos ? ? , 1 2 2 1 ? 4t (1 ? t ) ? 4t ? 4 t

因为函数 y ? ? 4t 在 (0, ) 上单调递减,? y ? ? 4t ? 0 ,
6

1 t

1 2

1 t

1 ? ? ? ,……12 分又 0 ? ? ? , ? ? ? ? , 2 2 3 2 ? ? 即平面 BDD1 与平面 BC1 D1 所成角的取值范围为 ( , ) . 3 2
所以 0 ? cos ? ? 20

7

解: (Ⅰ)依题意, h? ? x ? =

1 ? 2ax x

1 ? 2ax 其定义域为 (0, ??) . x 1 2 1 2x ?1 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? . x x x x2 1 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 2 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2
所以 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

+ 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,? ? ;
所以 x ?

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

1 时, f ? x ? 有极小值为 2

?1? f ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ?2?

(



)

2?a 1 f ?( x) ? ? 2 ? 2a x x

2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? x2

1 a (2 x ? 1)( x ? ) a ? x ? 0? ? x2

当 ?2 ? a ? 0 时, ?

1 1 1 1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ? , a a 2 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? ; 2 a

当 a ? ?2 时, f ?( x) ? ? 当 a ? ?2 时, ?

(2 x ? 1) 2 ? 0. x2

1 1 1 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? , a 2 a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; a 2

+ 综上所述: 当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? , ? ? ,? ? , ? 单调递增区间是 ? , ?1 ?2 1? ?; a?

? ?

1? 2?

? 1 ? a

? ?

+? 当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ;

? 当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? + ? , ? ,? ? ,单调递增区间是 ? ? , ? a? ?2 ? ? a 2?

( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 可 知 , 当 ?3 ? a ? ?2 时 , f ( x) 在 ?1, 3? 单 调 递 减 . f ( x) max ? f (1) ? 2a ? 1 ;

8

1 f ( x)min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3

.

1 ? ? f ? ?1 ? ? f ? ?2 ? max ? f ?1? ? f ? 3? ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? 3 ? ?
? 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3. 3

因为存在 ?1,?2 ? ?1,3? ,使得 f 所以 ? m ? ln 3? a ? 2ln 3 ? 整 理

? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 , 3


m ?

2 ?4 3

a

.

又 a ? 0 所以 m ?

2 ?4, 3a

又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ?

1 2 2 ? ?? , 3 3a 9

所以 ?

38 13 2 38 . ? ? 4 ? ? ,所以 m ? ? 9 3 3a 9

22. (1)证明:连接 AB , Q AC 是 e O1 的切线,??BAC ? ?D . 又 Q ?BAC ? ?E,??D ? ?E.? AD / / EC. (2) Q PA 是 e O1 的切线, PD 是 e O2 的割线,

? PA2 ? PBgPD. ? 62 ? PBg( PB ? 9) .? PB ? 3 .又 e O2 中由相交弦定理,
得 PAgPC ? BPgPE ,? PE ? 4 . Q AD 是 e O2 的切线, DE 是 e O2 的割线,

? AD2 ? DBgDE ? 9 ?16. ? AD ? 12.

23.解: (Ⅰ)由 ? ? 2 2 sin(? ?
2

?
4

) ,得 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,

当 ? ? 0 时,得 ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? , 对应直角坐标方程为: x ? y ? 2 y ? 2 x .
2 2

当 ? ? 0 ,? 有实数解,说明曲线 C 过极点,而方程 x ? y ? 2 y ? 2 x 所表示的曲线也 过原点.
2 2

9

∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 .
2 2

? 2 ? 2 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 ? t? ?( t ? 1)2 ? 2 , ? 2 ? 2 ? ? 2 即 t ? 2t ? 1 ? 0 ,由于 ? ? 6 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,
则 t1t2 ? ?1 . ∵直线 l 过点 P (1, 0) , ∴由 t 的几何意义,可得 | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? 1. 24.解: (Ⅰ)依题意,当 x ? 1 时不等式成立,所以 3? | 1 ? m |? 3 ,解得 m ? 1 , 经检验, m ? 1 符合题意. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 2b ? 3c ? 1.根据柯西不等式,
2 2 2
2 2 得 (a ? 2b ? 3c) ? (1 ?

2

2 ? 3 )[ a 2 ? ( 2b) 2 ? ( 3c) 2 ] ? 6

2

2

所以 ? 6 ? a ? 2b ? 3c ? 6 , 当且仅当 a ? b ? c ?

6 6 时,取得最大值 6 , a ? b ? c ? ? 时,取得最小值 ? 6 , 6 6

因此 a ? 2b ? 3c 的取值范围是 [? 6 , 6 ] .

10


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