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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数列的通项与求和学案 理 新人教A版


数列的通项与求和
导学目标: 1.能利用等差、等比数列前 n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2. 能在具体的问题情境中, 识别数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题.

自主梳理 1.求数列的通项 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系: ?S1, n=1, ? an=? ? ?Sn-Sn-1, n≥2. (2)当已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+?+f(n)可求,则可用 ________求数列的通项 an,常利用恒等式 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1).

an+1 = f(n) ,且 f(1)·f(2)·?·f(n) 可 求,则可 用 an a2 a3 an __________求数列的通项 an,常利用恒等式 an=a1· · ·?· . a1 a2 an-1
(3) 当已知 数列 {an} 中,满 足 (4)作新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来 求通项. (5)归纳、猜想、证明法. 2.求数列的前 n 项的和 (1)公式法 ①等差数列前 n 项和 Sn=____________=________________, 推导方法: ____________; ? ,q=1, ? ②等比数列前 n 项和 Sn=? ? = ,q≠1. ? 推导方法:乘公比,错位相减法. ③常见数列的前 n 项和: a.1+2+3+?+n=__________; b.2+4+6+?+2n=__________; c.1+3+5+?+(2n-1)=______; 2 2 2 2 d.1 +2 +3 +?+n =__________; 3 3 3 3 e.1 +2 +3 +?+n =__________________. (2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间 项,只剩有限项再求和. 常见的裂项公式有: 1 1 1 ① = - ; n n+ n n+1 1 ? 1 1? 1 - ② = ? ?; n- n+ 2?2n-1 2n+1? 1 ③ = n+1- n. n+ n+1 (4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加:例如,等差数列前 n 项和公式的推导. 自我检测 2 * 1.(原创题)已知数列{an}的前 n 项的乘积为 Tn=3n (n∈N ),则数列{an}的前 n 项的 ( )

1

3 n 9 n A. (3 -1) B. (3 -1) 2 2 3 n 9 n C. (9 -1) D. (9 -1) 8 8 2.(2011·邯郸月考)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,若{Sn}是等差数 列 , 则 q 为 ( ) A.-1 B.1 C.±1 D.0 3.已知等比数列{an}的公比为 4,且 a1+a2=20,设 bn=log2an,则 b2+b4+b6+?+b2n 等于 ( ) 2 2 A.n +n B.2(n +n) 2 2 C.2n +n D.4(n +n) n+1 * 4.(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式 an=log2 (n∈N ),设{an} n+2 的 前 n 项 的 和 为 Sn , 则 使 Sn< - 5 成 立 的 自 然 数 n ( ) A.有最大值 63 B.有最小值 63 C.有最大值 31 D.有最小值 31 2 * 5.(2011·北京海淀区期末)设关于 x 的不等式 x -x<2nx (n∈N )的解集中整数的个数 为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 1 1 1 6.数列 1,4 ,7 ,10 ,?前 10 项的和为________. 2 4 8

探究点一 求通项公式 例1 2 已知数列{an}满足 an+1= ·an ,a1=2,求数列{an}的通项公式. an+2n+1
n+1

变式迁移 1 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

探究点二 裂项相消法求和 例 2 已知数列{an},Sn 是其前 n 项和,且 an=7Sn-1+2(n≥2),a1=2. (1)求数列{an}的通项公式; 1 m * (2)设 bn= , Tn 是数列{bn}的前 n 项和, 求使得 Tn< 对所有 n∈N 都成立 log2an·log2an+1 20 的最小正整数 m.

2

1 1 1 变式迁移 2 求数列 1, , ,?, ,?的前 n 项和. 1+2 1+2+3 1+2+3+?+n

探究点三 错位相减法求和 例 3 (2011·荆门月考)已知数列{an}是首项、公比都为 q (q>0 且 q≠1)的等比数列, bn=anlog4an (n∈N*). (1)当 q=5 时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; 14 (2)当 q= 时,若 bn<bn+1,求 n 的最小值. 15

1 2 3 n 变式迁移 3 求和 Sn= + 2+ 3+?+ n.

a a

a

a

分类讨论思想的应用 2 * (5 分)二次函数 f(x)=x +x,当 x∈[n,n+1](n∈N )时,f(x)的函数值中所有 3 2 2n +3n * n-1 整数值的个数为 g(n) , an = (n ∈ N ) ,则 Sn = a1 - a2 + a3 - a4 +?+ ( - 1) an = 例

g n

(

) A.(-1) C.
n- 1

n n+1
2

B.(-1)

n

n n+1
2

D.- 2 2 【答题模板】 答案 A 解析 本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和. * 2 当 x∈[n,n+1](n∈N )时,函数 f(x)=x +x 的值随 x 的增大而增大,则 f(x)的值域 3 2 2n +3n 2 2 * * 2 为[n +n,n +3n+2](n∈N ),∴g(n)=2n+3(n∈N ),于是 an= =n .

n n+1

n n+

g n
2

方法一 当 n 为偶数时,Sn=a1-a2+a3-a4+?+an-1-an=(1 -2 )+(3 -4 )+?+ 3+ n- n n n+ 2 2 [(n-1) -n ]=-[3+7+?+(2n-1)]=- · =- ; 2 2 2 当 n 为奇数时,Sn=(a1-a2)+(a3-a4)+?+(an-2-an-1)+an n n- n n+ 2 =Sn-1+an=- +n = , 2 2 n+ n-1n ∴Sn=(-1) . 2 方法二 a1=1,a2=4,S1=a1=1, S2=a1-a2=-3,
3

2

2

2

检验选择项,可确定 A 正确. 【突破思维障碍】 在利用并项转化求和时, 由于数列的各项是正负交替的, 所以一般需要对项数 n 进行分 类讨论,但最终的结果却往往可以用一个公式来表示. 1.求数列的通项:(1)公式法:例如等差数列、等比数列的通项; (2)观察法:例如由数列的前几项来求通项; (3)可化归为使用累加法、累积法; (4)可化归为等差数列或等比数列,然后利用公式法; (5)求出数列的前几项,然后归纳、猜想、证明. 2.数列求和的方法: 一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为 与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 3.求和时应注意的问题: (1)直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程. (2)注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和,或 转化为基本数列求和.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010·广东)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1 且 a4 与 5 2a7 的 等 差 中 项 为 , 则 S5 等 于 4 ( ) A.35 B.33 C.31 D.29 Sn 7n+2 2. (2011·黄冈调研)有两个等差数列{an}, {bn}, 其前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若 = , Tn n+3 则 ( ) 65 A. 12 72 C. 13

a5 b5
B.



37 8 9 D. 4 an-1-an an-an+1 3.如果数列{an}满足 a1=2,a2=1 且 = (n≥2),则此数列的第 10 项

anan-1

anan+1

(

) A. 1 10 2 B. 1 9 2 C. 1 10 D. 1 5 1 n+

4 . 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 an = ( )

n

, 则 S5 等 于

5 1 1 B. C. D. 6 6 30 2 n-1 5.数列 1,1+2,1+2+4,?,1+2+2 +?+2 ,?的前 n 项和 Sn>1 020,那么 n A.1
4

的 (









) A.7 B.8 C.9 D.10 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010·东北师大附中高三月考)数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a1=1,an+1=3Sn(n= 1,2,3,?),则 log4S10=__________. 1 7.(原创题)已知数列{an}满足 a1=1,a2=-2,an+2=- ,则该数列前 26 项的和为

an

________. 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 n 数列”的通项为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=____________. 三、解答题(共 38 分) 2 2 * 9.(12 分)(2011·河源月考)已知函数 f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7(n∈N ). (1)若函数 f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},试证明数列{an}是等差数列; (2)设函数 f(x)的图象的顶点到 x 轴的距离构成数列{bn}, 试求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

1 10. (12 分)(2011·三门峡月考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn= nan+an-c(c 2 * 是常数,n∈N ),a2=6. (1)求 c 的值及数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)证明 + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 8

11.(14 分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 ,数列{bn}满 * 足 b1=-1,bn+1=bn+(2n-1) (n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{bn}的通项公式 bn; an·bn (3)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

n

n

答案

自主梳理 (3) 累积法 ③ 2.(1)① 2

1 . (2) 累加法

n(a1+an)
2

a1(1-qn) a1-anq 1-q 1-q
自我检测 1.C 2.B 3.B 4.B 511 5.10 100 6.145 512

n(n+1)

n2+n n2

d 倒序相加法 2 n(n+1)(2n+1) ?n(n+1)?2 ? 2 ? 6 ? ?

na1 +

n(n-1)

②na1

5

课堂活动区 例 1 解题导引 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高, 主要掌握由 a1 和递推关 系先求出前几项,再归纳、猜想 an 的方法,以及累加:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+ (a2-a1)+a1;累乘:an=

an an-1 a2 · ·?· ·a1 等方法. an-1 an-2 a1

解 已知递推可化为 1 1 1 - = , an+1 an 2n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ - = 2, - = 3, - = 4,?, - = . a2 a1 2 a3 a2 2 a4 a3 2 an an-1 2n 将以上(n-1)个式子相加得 1 1 1 1 1 1 - = 2+ 3+ 4+?+ n, an a1 2 2 2 2 1 1? ? ?1- n? 1 2? 2 ? 1 ∴ = =1- n. an 1 2 1- 2 n 2 ∴an= n . 2 -1 变式迁移 1 (1)证明 由已知有 a1+a2=4a1+2, 解得 a2=3a1+2=5,故 b1=a2-2a1=3. 又 an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2) =4an+1-4an; 于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an), 即 bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知等比数列{bn}中,b1=3,公比 q=2, n-1 所以 an+1-2an=3×2 , an+1 an 3 于是 n+1- n= , 2 2 4 ?an? 1 3 因此数列? n?是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 4 ?2 ? an 1 3 3 1 n= +(n-1)× = n- , 2 2 4 4 4 n-2 所以 an=(3n-1)·2 . 例 2 解题导引 1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最 后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整 前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. 2.一般情况如下,若{an}是等差数列, 1 ? 1 ? 1 1? 1 1 1 ?1 则 = ? - , = ? - ? ?. anan+1 d?an an+1? anan+2 2d?an an+2? 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和. 解 (1)∵n≥2 时,an=7Sn-1+2,∴an+1=7Sn+2, 两式相减,得 an+1-an=7an,∴an+1=8an(n≥2). 又 a1=2,∴a2=7a1+2=16=8a1, * ∴an+1=8an(n∈N ). ∴{an}是一个以 2 为首项,8 为公比的等比数列, n-1 3n-2 ∴an=2·8 =2 .

6

1 1 (2)∵bn= = log2an·log2an+1 (3n-2)(3n+1) 1 1 1 = ( - ), 3 3n-2 3n+1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn= (1- + - +?+ - ) 3 4 4 7 3n-2 3n+1 1 1 1 = (1- )< . 3 3n+1 3 m 1 ∴ ≥ ,∴最小正整数 m=7. 20 3 1 ? 2 ?1 变式迁移 2 解 an= =2? - ?, n(n+1) ?n n+1? 1 ? 1 ? 2n ? 1? ?1 1? ?1 ? ∴Sn=2·[?1- ?+? - ?+?+? - ?]=2·?1-n+1?=n+1. ? 2? ?2 3? ?n n+1? ? ? 例 3 解题导引 1.一般地, 如果数列{an}是等差数列, {bn}是等比数列, 求数列{an·bn} 的前 n 项和时,可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确 写出“Sn-qSn”的表达式. n 解 (1)由题意得 an=q , n n ∴bn=an·log4an=q ·log4q n =n·5 ·log45, 2 n ∴Sn=(1×5+2×5 +?+n×5 )log45, 2 n 设 Tn=1×5+2×5 +?+n×5 ,① 2 3 n n+1 则 5Tn=1×5 +2×5 +?+(n-1)×5 +n×5 ,② 2 3 n n+1 ①-②得-4Tn=5+5 +5 +?+5 -n×5 n 5(5 -1) n+1 = -n×5 , 4 5 n n ∴Tn= (4n×5 -5 +1), 16 5 Sn= (4n×5n-5n+1)log45. 16 14 ?14?n (2)∵bn=anlog4an=n? ? log4 , 15 ?15? 14 14 ? ?n+1 ∴bn+1-bn=(n+1)? ? log4 - 15 ?15? 14 ?14? n? ?nlog4 15 ?15? 14 ?14?n?14 n ? =? ? ? - ?log4 >0, 15 15 15 15 ? ?? ? 14 14 ? ?n ∵? ? >0,log4 <0, 15 15 ? ? 14 n ∴ - <0,∴n>14, 15 15 即 n≥15 时,bn<bn+1. 故所求的 n 的最小值是 15. 变式迁移 3 解 当 a=1 时,

7

n(n+1) Sn=1+2+3+?+n= , a a a

2 1 2 3 n 当 a≠1 时,Sn= + 2+ 3+?+ n,①

a

∴ Sn= 2+ 3+ 4+?+

1

1

2

3

n

a

a

a

a

an+1

,②

? 1? ①-②,得?1- ?·Sn ?
a?
1 n = + 2+ 3+?+ n- n+1, 1 1 1

a a

a

a

a

1? ? 1- n? 1 ?1- ?S =a? a ?- n ? a? n 1 an+1 ? ? 1-

1?

a

1- =

1 -

an

a-1

n , an+1
1?

a?1- n? n ? a? ∴Sn= 2- n. (a-1) (a-1)·a a=1, ? 2 , ∴S =? ? 1? a?1- ? n ? a? - ? (a-1) (a-1)·a , a≠1. n(n+1)
n n
2

?

n

课后练习区 1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.9 解析 ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1 (n≥2). 两式相减得 an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, ∴an+1=4an,即

an+1 =4. an

∴{an}为以 a2 为首项,公比为 4 的等比数列. 当 n=1 时,a2=3S1=3, n-2 ∴n≥2 时,an=3·4 , S10=a1+a2+?+a10 2 8 =1+3+3×4+3×4 +?+3×4 8 =1+3×(1+4+?+4 ) 9 4 -1 9 9 =1+3× =1+4 -1=4 . 4-1 9 ∴log4S10=log44 =9. 7.-10 1 1 解析 依题意得,a1=1,a2=-2,a3=-1,a4= ,a5=1,a6=-2,a7=-1,a8= , 2 2 1 所以数列周期为 4,S26=6×(1-2-1+ )+1-2=-10. 2 n+1 8.2 -2 2 3 n-1 解析 依题意,有 a2-a1=2,a3-a2=2 ,a4-a3=2 ,?,an-an-1=2 ,所有的代数
8

式相加得 an-a1=2 -2,即 an=2 ,所以 Sn=2 -2. 2 2 9.解 f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7 2 =[x-(n+1)] +3n-8.????????????????????????? (3 分) (1)由题意,an=n+1, 故 an+1-an=(n+1)+1-(n+1)=1, 故数列{an}是以 1 为公差, 2 为首项的等差数列. ??????????????(5 分) (2)由题意,bn=|3n-8|.?????????????????????????? (7 分) 当 1≤n≤2 时,bn=-3n+8, 数列{bn}为等差数列,b1=5, n(5-3n+8) -3n2+13n ∴Sn= = ;????????????????????? (9 2 2 分) 当 n≥3 时,bn=3n-8,数列{bn}是等差数列,b3=1. 2 (n-2)(1+3n-8) 3n -13n+28 ∴Sn=S2+ = .????????????????(11 2 2 分) -3n +13n ? ? 2 , ∴S =? 3n -13n+28 , ? ? 2
n
2 2

n

n

n+1

1≤n≤2, ?????????????????(12

n≥3.

分) 1 10.(1)解 因为 Sn= nan+an-c, 2 1 所以当 n=1 时,S1= a1+a1-c, 2 解得 a1=2c,??????????????????????????????(2 分) 当 n=2 时,S2=a2+a2-c, 即 a1+a2=2a2-c, 解得 a2=3c, ?????????????????????(3 分) 所以 3c=6,解得 c=2;?????????????????????????(4 分) 则 a1=4,数列{an}的公差 d=a2-a1=2, 所以 an=a1+(n-1)d=2n+2.???????????????????????(6 分) (2)证明 因为 = 1 + 1 +?+ 1

a1a2 a2a3

anan+1

1 1 1 + +?+ 4×6 6×8 (2n+2)(2n+4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( - )+ ( - )+?+ ( - ) 2 4 6 2 6 8 2 2n+2 2n+4 1 1 1 1 1 1 1 = [( - )+( - )+?+( - )]?????????????????(8 2 4 6 6 8 2n+2 2n+4 分) 1 1 1 1 1 = ( - )= - .???????????????????????(10 2 4 2n+4 8 4(n+2) 分)

9

因为 n∈N ,所以

*

1

a1a2 a2a3
n



1

+?+

1 < .????????????????(12 分) anan+1 8

1

11.解 (1)∵Sn=3 , n- 1 ∴Sn-1=3 (n≥2). n n -1 n-1 ∴an=Sn-Sn-1=3 -3 =2×3 (n≥2).?????????????????(3 分) 当 n=1 时,2×3
1-1

=2≠S1=a1=3,???????????????????(4 分) ???????????????????? (5

?3, n=1, ? ∴an = ? n-1 * ?2×3 , n≥2, n∈N ?

分) (2)∵bn+1=bn+(2n-1), ∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,?, bn-bn-1=2n-3. 以上各式相加得 bn-b1=1+3+5+?+(2n-3) (n-1)(1+2n-3) 2 = =(n-1) . 2 2 ∵b1=-1, ∴bn=n -2n.????????????????????????(7 分) (3)由题意得 ?-3,n=1, ? cn=? ????????????????????(9 n-1 * ? ?2(n-2)×3 ,n≥2,n∈N . 分) 当 n≥2 时,Tn=-3+2×0×3 +2×1×3 +2×2×3 +?+2(n-2)×3 , 2 3 4 n ∴3Tn=-9+2×0×3 +2×1×3 +2×2×3 +?+2(n-2)×3 , 2 3 n-1 n 相减得-2Tn=6+2×3 +2×3 +?+2×3 -2(n-2)×3 . n 2 3 n-1 ∴Tn=(n-2)×3 -(3+3 +3 +?+3 ) n n 3 -3 (2n-5)3 +3 n =(n-2)×3 - = .??????????????????? (13 2 2 分)
1 2 3

n-1

T1=-3 也适合. n (2n-5)3 +3 * ∴Tn= (n∈N ).?????????????????????? (14
2 分)

10


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___, 其中|a|cos 〈a,b〉叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)向量数量积的性质: ①如果 e 是单位向量,则 a?e=e?a=___; ②非零向量 a,b,a⊥b...


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幂函数的概念 形如___的函数叫做幂函数,其中_x___是自变量,___a_是常数. 2.幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质,列表如下: 定义域 值域 奇偶性 单调...


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