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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学试题含答案


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

2013.4

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?
1 3 Sh .

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 A ? ?x ? 1 ? x ? 2 , x ? N ? ,集合 B ? ?2 , 3 ? ,则 A ? B 等于 A. ?1, 2 , 3 ? B. ?0 ,1 , 2 , 3 ?
z ? 2

C. ?2 ?

D. ?? 1, 0 ,1, 2 , 3 ?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 A. ? 3

,则复数 z 的虚部是 C. ? 3 i D. ? 3

B. 3 i
2

3.已知命题 p : ? x ? 1 , x ? 1 ? 0 ,那么 ? p 是 A. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

B. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

C. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

D. ? x ? 1 , x ? 1 ? 0
2

4.为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画 出样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x ) ? s in ? ? x ?
? ?

B.60 D.80
? ?
1 ? , x ? [ ? 1 ,] ,则 2 ?

频率/组距

0.04 0.02 0.01

1 A. f ( x ) 为偶函数,且在 [ 0 ,] 上单调递减; 1 B. f ( x ) 为偶函数,且在 [ 0 ,] 上单调递增; 0 C. f ( x ) 为奇函数,且在 [ ? 1 , ] 上单调递增; 0 D. f ( x ) 为奇函数,且在 [ ? 1 , ] 上单调递减.

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图

文科数学试题卷 第 1 页 共 9 页

6.设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,则“ a 1 ? 0 ”是“ S 3 ? a 2 ”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
?

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7.已知幂函数 f ( x ) ? x ,当 x ? 1 时,恒有 f ( x ) ? x ,则 ? 的取值范围是 A. 0 ? ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 0 D. ? ? 0

8.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? ③ 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? 其中真命题的序号是 A.①④ B. ②③
? x ? ? y 9.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? ? x ?4x ? ? 0 ? 0 ? y ? ?2 ? 3 y ? 20

②若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ④若 m // n ,
n ? ? ,则 m // ?

C.②④

D. ①③

表示平面区域的公共点有

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.无数个

10.已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 P Q 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记 作 d ( P , l ) .设 l 是长为 2 的线段,点集 D ? { P | d ( P , l ) ? 1} 所表示图形的面积为 A. ? B. 2 ? C. 2 ? ? D. 4 ? ?

二、填空题:本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
2 ,

?a

? b ? ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为

. .
3 5 9 10 ? ? 6 12 ?

12.已知圆 C 经过点 A ( 0 , 3 ) 和 B ( 3, 2 ) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为 13.将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s , t ? Z }中的元素按上小下大,
s t

左小右大的原则排成如图的三角形数表,将数表中位于 第 i 行第 j 列的数记为 b i j ( i ? j ? 0 ),则 b 4 3 = (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) .
?

第 13 题图

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C 1 : ? ? 2 s in ? 与 C 2 : ? ? 2 c o s ? 的交点分别为 A、 B , 则线段 A B 的垂直平分线的极坐标方程为 .
B O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 A B ? 9 ,

直线 C E 与圆 O 相切于点 C , 若 AD
? 1 ,设 ? A B C ? ?

AD ? CE

于 D,
A E C D

,则 s in ?

?

______.

文科数学试题卷 第 2 页 共 9 页

第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,以 O x 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A ( ? 1, 3 ) . (1)若 O A ? O B ,求 ta n ? 的值. (2)若 B 点横坐标为
4 5

,求 S ? A O B .

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设 工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否 堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返回经甲地赶去乙地上班, (1)写出李生可能走的所有路线; (比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙,再走 D 路回到甲,然后走 A 路到 达乙); (2)假设从甲到乙方向的道路 B 和从丙到甲方向的 道路 D 道路拥堵,其它方向均通畅,但李生不知道 相关信息,那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少?
A D



B
C


E



第 17 题图

18. (本题满分 14 分) 如图,在四棱柱 A B C D
ABCD
? A1 B 1 C 1 D 1 中,

已知底面 A B C D 是边长为
D1 A1

2

的正方形, 侧棱 D 1 D 垂直于底面
C1 B1

,且 D 1 D

? 3.

(1)点 P 在侧棱 C 1 C 上,若 C P ? 1 , 求证: A1 P
?

平面 P B D ;
D A B

P
C

(2)求三棱锥 A1 ? B D C 1 的体积 V .

第 18 题图

文科数学试题卷 第 3 页 共 9 页

19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C 1 和抛物线 C 2 有公共焦点 F ? 1, 0 ? ,
M ( 4 , 0 ).
C1

的中心和 C 2 的顶点都在坐标原点,直线 l 过点

(1)写出抛物线 C 2 的标准方程; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上,直线 l 与椭圆 C 1 有公共点,求椭圆 C 1 的长轴 长的最小值.

20. (本题满分 14 分) 环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计
2 0 年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房

总面积为 6 4 a m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积 a m ,前四年每年以 1 0 0 % 的
2 2

增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加 a m .设第 n ( n ? 1, 且 n ? N )年新城区的住房总
2

面积为 a n m ,该地的住房总面积为 b n m .
2 2

(1)求 ? a n ? 的通项公式; (2)若每年拆除 4 a m ,比较 a n + 1 与 b n 的大小.
2

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?
1 x?a

, g (x) ?

ln x x? a

, a 是常数.

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 g ( x ) 有极大值,求 a 的取值范围.

文科数学试题卷 第 4 页 共 9 页

文科数学评分参考
二、填空题 11.
?
4

12. ? x ? 1 ?
s in (? ?

2

?

? y ? 1?

2

? 5

13. 2 0 15.
1 3

14. ?

?
4

) ?

2 2

(或 ?

sin ? ? ? cos ? ? 1 )

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A ( ? 1, 3 ) , B (c o s ? , s in ? ) ,
??? ? O A ? ( ? 1, 3 ) ??? ? , O B ? ( c o s ? , s in ? ) ??? ??? ? ? O A ? O B ,得 O A ? O B ? 0

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分

∴ ? cos ?

? 3 sin ? ? 0

, ta n ?

?

1 3

解法 2、 由题可知: A ( ? 1, 3 ) , B (c o s ? , s in ? ) kOA ? ? 3 , k O B ? ta n ? ∵OA
? OB

,∴ K O A ? K O B 得 ta n ?

? ?1

? 3 tan ? ? ? 1 ,

?

1 3

解法 3、 设B(x , y), (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ O A ∴ s in
? ?
?1
? ( ? 1) ? (3 )
2 2

?

10

, 记?AOx
? ?1 10 ? ?

? ?



? ?(

?
2

,? )

3 10

?

3 10 10

, cos ?
4 5

10 10

(每式 1 分)
3 5

??6 分 ??8 分 ??10 分 ??12 分 ??6 分

∵ OB

cos ? ?

,得 s in ?
3 10 10 ? 4 5

?

1 ? cos ? ?
2

(列式计算各 1 分) (列式计算各 1 分)
? 3 2

s in ? A O B ? s in ( ? ? ? ) ?

?
1 2

10 10
?

?

3 5

?

3 10 10
3 10 10

∴ S ?AOB

?

1 2

A O B O s in ? A O B ?

10 ? 1?

(列式计算各 1 分)

解法 2、 由题意得: A O 的直线方程为 3 x ? 则 s in ?
? 1 ? cos ? ?
2

y ? 0

3 5

即B(
4

4 3 , ) 5 5
? 3 5 10 ?

(列式计算各 1 分)
3 5 ? 3 10 10

??8 分

则点 B 到直线 A O 的距离为 d 又 OA
? ( ? 1) ? (3 )
2 2

?

5

(列式计算各 1 分)
1 2 ? 10 ? 3 10 10 ? 3 2

??10 分

?

10

,∴ S ? A O B

?

1 2

AO ? d ?

(每式 1 分)?12 分

文科数学试题卷 第 5 页 共 9 页

解法 3、
s in ? ? 1 ? cos ? ?
2

3

即B(

5 ??? ? ??? ? 4 3 即: O A ? ( ? 1, 3 ) , O B ? ( , ) 5 5

4 3 , ) 5 5

(每式 1 分)

??6 分 ??7 分



OA ?

( ? 1) ? (3 )
2

2

?

10



4 3 ??? ??? ? ? ?1? ? 3 ? OA ?OB 10 5 5 ? O B ? 1 , c o s ? A O B ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ? 1 OA OB

??9 分

(模长、角的余弦各 1 分) ∴ s in ? A O B 则 S ?AOB
? 1 2 ? 1 ? cos ? A O B ?
2

3 10 10

??10 分
10 ? 1? 3 10 10 ? 3 2

A O B O s in ? A O B ?

1 2

?

(列式计算各 1 分)

??12 分

解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个 内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分) 17.⑴李生可能走的所有路线分别是:DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB, EEC,EDA,EDB,EDC(1-2 个 1 分,3-5 个 2 分,5-7 个 3 分,7-11 个 4 分, ??5 分 ) 共 12 种情况 ??6 分 ⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有:DEA,DEC,EEA,EEC ??7 分 共 4 种情况, ??8 分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P 18.⑴解法 1、 依题意, C P 所以 A1 P
2

?

4 12

?

1 3

(文字说明 1 分)??12 分

? 1 ,C1P ? 2
? 2 ? 2
2
2

,在 R t ? B C P 中, P B
? 2 2

?
2

1 ?1
2

2

?

2

??1 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分 ??6 分

同理可知, A1 P
? PB
2

2

, A1 B

?

3 ?1 ?
2

10

(每式 1 分)

? A1 B



则 A1 P ? P B , 同理可证, A1 P
1

? PD



由于 P B ? P D ? P , P B ? 平面 P B D , P D ? 平面 P B D , ??7 分 所以, A P ? 平面 P B D . ??8 分 解法 2、 由 A1 P ? P B (或 A1 P ? P D )和 A 1 P ? BD 证明 A P ? 平面 P B D (证明任何一个线线垂直关系
1

给 5 分,第二个线线垂直关系给 1 分)

⑵解法 1、 如图 1,易知三棱锥 A1 ? 积,即 V A ? B D C
1 1

B D C1
1

的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体
(文字说明 1 分)??11 分
D1
B1 C1 A1

? V ABCD ? A B C
1 1

1 D1

? 4V A

? ABD

N

C1

?

? A B ? A D ? ? A1 A
1 3 ? 2?

? 4?

1

?1 ? ? ? A B ? A D ? ? A1 A 3 ? 2 ?

??13 分 ??14 分

A1

?

2?3 ? 2

D A B

C

D M B

文科数学试题卷 第 6 页 共 9 页

(第 8 题图 1)

(第 18 题图 2)

解法 2、 依题意知,三棱锥 A1 ?
A1 C 1 ? B D ? 2

B D C1

的各棱长分别是

, A1 B ? A1 D ? C 1 B ? C 1 D ? 1 1 (每式 1 分)??10 分 如图 2,设 B D 的中点为 M ,连接 A1 M , C 1 M ,
? C1M ? 10

则 A1 M ? B D , C 1 M ? B D ,且 A1 M 于是 B D ? 平面 A1 C 1 M ,

, ??12 分
A1 M
2

设 A1 C 1 的中点为 N ,连接 M N ,则 M N 则三角形 A1 C 1 M 的面积为 S ? A C M
1 1

? A1 C 1 ,且 M N ?

? A1 N

2

?

10 ? 1 ? 3



?

1 2

A1 C 1 ?M N ? ? 1 3 ?S ? A C
1

1 2

? 2?3 ? 3, 1 3 ? 3? 2 ? 2

??13 分 . ??14 分

所以,三棱锥 A1 ?

B D C1

的体积 V

1M

?B D ?

19.⑴由题意,抛物线 C 的焦点 F ? 1, 0 ? ,则
2

p 2

? 1, p ? 2

??2 分 ??3 分

所以方程为: y ⑵解法 1、

2

? 4x


m 2 n 2

设 P ( m , n ) ,则 O P 中点为 (

,

)



??4 分

因为 O 、 P 两点关于直线

m ?n ? k( ? 4) ? ?2 2 y ? k ( x ? 4 ) 对称,所以 ? ? n ? k ? ?1 ? m ?
2

(每方程 1 分)??6 分

? 8k ? m ? 2 ? km ? n ? 8k ? 1? k 即? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k 2 ? 1? k ?


2 2

??7 分

将其代入抛物线方程,得: ( ? 联立 由?
? y ? k (x ? 4) ? 2 2 ? x y ? 2 ? 2 ?1 b ? a
2 2

8k 1? k
2

) ? 4?
2

8k

1? k
2

,所以 k
2 2

2

?1

(列式计算各 1 分)??9 分
2

,消去 y ,得: ( b
2

2

? a )x ? 8a x ? 16a
2

? a b
2

? 0

??11 分 ??12 分

? ( ? 8 a ) ? 4 (b
2

? a )(1 6 a
2

2

? a b )? 0
2 2

,得 a
? 34 2

2

? b

2

? 16
?


34

注意到 b

? a

2

? 1 ,即 2 a

2

? 17

,所以 a
34

,即 2 a



??13 分 ??14 分

因此,椭圆 C 长轴长的最小值为 解法 2、
1

.

设P ? 即

? m

? ,m ? ? 4 ?
2

,因为 O 、 P 两点关于直线 l 对称,则 O M
2

? MP =4



??5 分

? m ? 2 ? 4? ? m ? 4 ? 4 ? ?
2

,解之得 m

? ?4

??6 分

即 P ( 4 , ? 4 ) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A , B 如图.则
k AB ? ? 1 kOP ?1

,于是直线 l 方程为 y

? x?4

(讨论、斜率与方程各 1 分)

??9 分

文科数学试题卷 第 7 页 共 9 页

联立 由?

? y ? x ? 4 ? 2 2 ,消去 y ?x y ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2 2

,得: ( b
2 2 2

2

? a )x
2

2

? 8a x ? 16a
2

2

? a b
2

2

? 0

??11 分 ??12 分

? ( ? 8 a ) ? 4 (b
2

? a )(1 6 a
2

? a b )? 0

,得 a
? 34 2

2

? b

2

? 16
?


34

注意到 b

? a

2

? 1 ,即 2 a

? 17

,所以 a
34

,即 2 a



??13 分 ??14 分

因此,椭圆 C 长轴长的最小值为
1

.
y B

y

l

O

F

M P

x

O

F A

M P

x

20.⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 ? n 当 n ? 5 时, ? n ? ( n ? 4 ) a . 所以, 当 1 ? 当n
n ? 4 时, a n ? ( 2 ? 1) a
n

m

2

,则当 1 ?

n ? 4 时, ? n ? 2

n ?1

a

;??1 分 ??2 分 ??3 分

? 5 时, a n ? a ? 2 a ? 4 a ? 8 a ? 9 a ? … ? ( n ? 4 ) a ?
n

n ? 9n ? 22
2

a (列式 1 分)??5



2

? ( 2 ? 1) a (1 ? n ? 4 ) , ? 故 an ? ? n 2 ? 9n ? 22 a ( n ? 5 ). ? ? 2

??6 分 , bn
? ( 2 ? 1) a ? 6 4 a ? 4 n a
n

⑵1 ?
n ? 4

n ? 3

时, a n ? 1 时, a n ? 1 ? a 5 时, a n ? 1

? (2

n ?1

? 1) a

,显然有 a n ? 1

? bn

? 24a
2

,bn
2

? b4 ? 6 3 a

,此时 a n ? 1
2

? bn

.

??7 分 ??8 分 分

5 ? n ? 16

?

n ? 1 1n ? 1 2

a

, bn

?

n ? 9n ? 22 2

a ? 6 4 a ? 4 n a (每式 1 分)??10

a n ?1 ? bn ? ( 5 n ? 5 9 ) a

. ;1 2
? n ? 16

所以, 5 ?

n ? 1 1 时, a n ? 1 ? b n

时, a n ? 1

? bn

.n

? 17

时,显然 a n ? 1

?

??11 分 b n ??13 分 ??14 分

(对 1-2 种情况给 1 分,全对给 2 分) 故当 1 ? n ? 1 1 时, a n ? 1 ? b n ;当 n ? 1 2 时, a n ? 1 21.⑴
f ?( x ) ? 1 x ? 1 (x ? a)
2

? bn

.

?

x ? ( 2 a ? 1) x ? a
2

2

x(x ? a)
2

2

??1 分
? ( 2 a ? 1) ? 4 a
2 2

设h(x) ①当 a 数; 当?

? x ? ( 2 a ? 1) x ? a
2

,其判别式 ?
2

? 4a ? 1

??2 分 在定义域 ? 0 , ? ? ? 上是增函 ??3 分
4a ? 1 2a ? 1 ? 2 4a ? 1

? ?

1 4

时, ?

? 0, h ( x ) ? 0, x ( x ? a ) ? 0

,?

f ?( x ) ? 0

,

f (x)

? 0 时,由 h ( x ) ? x ? ( 2 a ? 1) x ? a
2

2

? 0

解得: x 1

?

2a ? 1 ? 2

, x2 ?

(每个根 1 分)??5 分
文科数学试题卷 第 8 页 共 9 页

②当 ? 故 x2

1 4

? a ? 0

时, ?

? 0, a ?1 ? 0 2

; (2 a 又

? 1) ? ( 4 a ? 1) ? 4 a
2

2

? 0

? , 2a

?1?

4a ? 1 ? 0



? x1 ? 0

,即 h ( x ) 在定义域 ? 0 , ? ? ? 上有两个零点 x 1
? 0

?

2a ? 1 ? 2

4a ? 1

, x2 ?

2a ? 1 ? 2

4a ? 1

在区间 ? 0 , x1 ? 上, h ( x )

, x(x ?

a) ? 0
2 2

,? ,?
2

f ?( x ) ? 0

, ,

f (x) f (x)

为 ? 0 , x1 ? 上的增函数 为 ? x1 , x 2 ? 上的增函数
f (x)

在区间 ? x1 , x 2 ? 上, h ( x ) ? 0 , x ( x ? 在 区 间 ? x2 , ? ? ? 上 , h ( x ) ? 数. ③当 a ④当 a 零点 x 1
?

a) ? 0

f ?( x ) ? 0

0, x( x ? a ) ? 0

,?

f ?( x ) ? 0

,

为 ? x2 , ? ? ? 上 的 增 函 ,? ??6 分 f ? ( x ) ? 0 ;在区 ??7 分

? 0

时, x 1
? 0

? 0, x2 ? 1

,在区间 ? 0 ,1 ? 上, h ( x ) ? 0 , x ( x ?
2

a) ? 0
2

间 ? 1, ? ? ? 上, h ( x )
? 0
2a ? 1 ? 2

,x(x ?
f (x)

a) ? 0

,?

f ?( x ) ? 0


? ?a ? 0

时,函数
4a ? 1

的定义域是 ? 0 , a ? ? ? a , ? ? ? ,? h ( a )
? 2a ? 1 ? 2 4a ? 1

, h ( x ) 在 ? 0 , a ? 上有

, ? a , ? ? ? 上有零点 , x 2 在

; 在区间 ? 0 , x1 ? 和 ? x 2 , ? ? ? 上,
(x)

f ?( x ) ? 0

,f

(x)

在 ? 0 , x1 ? 和 ? x 2 , ? ? ? 上为增函数; 在区间 ? x1 , a ? 和 ? a , x 2 ? 上, f ? ( x ) ? 0 , f
1 4 1 4



? x1 , a ? 和 ? a , x 2 ? 上位减函数.
综上: 当 a
? ?

??8 分
f (x)

时,函数

的递增区间是 ? 0 , ? ? ? ;当 ?
? 0

? a ? 0

时,

f (x)

的递增区间

是 ? 0 , x1 ? 和 ? x 2 , ? ? ? ,递减区间是 ? x1 , x 2 ? ;当 a

时,

f (x)

的递减区间是 ? 0 , 1 ? ;递增区间是 ??9 分

? 1, ? ? ? ; 当

a ? 0

时,

f (x)

的 递 减 区 间 ? x 1 , a ? 和 ? a , x 2 ? , 递 增 区 间 是 ? 0 , x1 ? 和
? 0

? x2 , ? ? ? .
⑵当 a
g ?( x ) ?

? 0

时, g ( x ) 的定义域是 ? 0 , ? ? ? ,当 a
2

时, g ( x ) 的定义域是 ? 0 , a ? ? ? a , ? ? ? , (每个导数 1 分)
? t(x) ? 1;

x (1 ? ln x ) ? a x(x ? a)

,令 t ( x )

? x (1 ? ln x)

,则 t ? ( x )

? ? ln x

??11 分

在区间 ? 0 ,1 ? 上, t ? ( x ) ?

? ln x ? 0

,t(x) ?

x (1 ? ln x )

是增函数且 0

在区间 ? 1, ? ? ? 上, t ? ( x ) ?

? ln x ? 0

,t(x) ?

x (1 ? ln x )

是减函数且 t ( x ) ? 1 ; ??12 分

当 x ? 1 时,t (1) ? 1 . 故当 a ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 , g ( x ) 无极大值; 当0 当a 值. 综上所述,若 g ( x ) 有极大值,则 a 的取值范围是 ? ? ? ,1 ? .
? a ? 1 时, t ( a ) ? a ? 0

,方程 t ( x )

? a

在区间 ? 0 ,1 ? 和 ? 1, ? ? ? 上分别有一解 x ? , x ?? ,此时 ??13 分
? x ???

函数 g ( x ) 在 x
? 0

? x ?? 处取得极大值;
? a

时,方程 t ( x )

在区间 ? e , ? ? ? 上有一解 x ??? ,此时函数 g ( x ) 在 x

处取得极大 ??14 分

文科数学试题卷 第 9 页 共 9 页


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