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求函数零点的方法----二分法


史实介绍
在16世纪,人们找到了三次函数和四次 函数的求根公式,但对于高于四次的函 数,类似的努力却一直没有成功。到了 19世纪,根据阿贝尔和珈罗瓦的研究, 人们认识到高于四次的函数(即高于四 次的代数方程)不存在求根公式。同时, 对于三次和四次的代数方程,由于公式 解的表示相当复杂,一般来讲并不适宜 用作具体运算。

二次函数分析
y 1.在[a , b]不间断

a
0 b

a
b

2.在区间两端点处的 函数值异号,即f(a)f(b)<0 x

零点定理
定义:

如果函数y = f(x)在一个区间[a,b]的图像不间 断,并且它的两个端点处的函数值异号,即 f(a)f(b)<0 ,则这个函数紫这个区间上,至少 x 有一个零点,即存在一点 ? (a, b) ,使f(x0) =0 这样的零点叫做变号零点。有时曲线通过零 点时不变号,这样的零点叫做不变号零点
0

y

找出图中函数的不变 号零点和变号零点。 不变号零点:x0

x0 O

x1

x2

x

变号零点:x1 , x2

二分法------求函数变号零点的近似值
已知函数y=f (x) 定义在区间D 上,求它在D的一个变号零 点 x0 的近似值 x,使它满足给定的精确度
用二分法求函数零点的一般步骤:

第一步 在D内取一个闭区间[a 0 ,b0 ] ? D,使f(a 0 )与f(b0 )异号,

即f(a )f(b )<0. 零点位于区间[a0,b0]中.
0 0

第二步 取区间 [a0 , b0] 的中点,则此中点对应的横坐标为 1 1 x ? a ? (b ? a ) ? (a ? b ). 2 2
0 0 0 0 0 0

计算f ( x )与f (a ),并判断:
0 0

(1)如果 f (x0)=0 ,则 x0就是f (x) 的零点,计算中止 (2)如果f(a0)f(x0) <0 ,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1=a0,b1=x0. (3)如果f(a0)f(x0) >0 ,则零点位于区间[x0 , b0]中,令 a1=x0,b1=b0.

计算f ( x )与f (a ),并判断:
1 1

(1)如果 f (x1)=0 ,则 x1就是f (x) 的零点,计算中止 (2)如果f(a1)f(x1) <0 ,则零点位于区间[a1,x1]中,令 a2=a1,b2=x1;

(3)如果f(a1)f(x1) >0 ,则零点位于区间[x1 , b1]中,令 a2=x1,b2=b1. ……
继续实施上述步骤,直到区间[an,bn] ,函数的零点总位 于区间[an,bn] 上,当an 和 bn 按照给定的精确度所取的近 似值相同时,这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点, 计算中止.这时函数y=f(x) 的近似零点满足给定的精确度.

例题分析
求函数f (x) = x3+x2-2x-2 的一个正实数零点(精确到0.1)

解: 由于f (1)=-2<0,f (2)=6>0可以确定区间[1,2]作为 计算的初始区间. 用二分法逐步计算,列表如下:
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间

a0=1, b0=2
x0=(1+2)/2=1.5

f (1)=-2, f (2)=6
f (x0)=0.625>0

[1,2]
[1,1.5]

x1=(1+1.5)/2=1.25
x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 x3=(1.375+1.5)/2 =1.4375

f (x1)=-0.984<0
f (x2)=-0.260<0 f (x3)=0.162>0

[1.25,1.5]
[1.375,1.5]

[1.375,1.4375]

由上表计算可知,区间[1.375,1.4375] 的左右端点保 留两位有效数字所取的近似值都是1.4,因此1.4就是 所求函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值。

习题演练 1.用二分法求函数 y=x2- 2 的一个正零点的近似 值(精确到到0.01)

2.求函数y=x3-3x2+2x-6 的一个正零点的 近似值(精确到0.1)

1. 变号零点的概念,零点定理
2.二分法的步骤:确定初始区间,计算中点函数值比 较,确定新的区间,反复直至满足要求。


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