3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线的综合问题(含答案)


课题:圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量 y(或 x)得关于变 量 x(或 y)的方程:ax +bx+c=0(或 ay +by+c=0). 若 a≠0,可考虑一元二次方程的判别式 Δ ,有: Δ >0?直线与圆锥曲线相交; Δ =0?直线与圆锥曲线相切; Δ <0?直线与圆锥曲线相离. 若 a=0 且 b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长问题 设直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长|AB|= 1+k |x1-x2|或 【热身练习】 1.(教材习题改编)与椭圆 + =1 焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是( 12 16 A.y - =1 3
2 2 2 2

1 1+ 2|y1-y2|.

k

x2

y2

)

x2

B. -x =1 3

y2

2

3 2 3 2 C. x - y =1 4 8

3 2 3 2 D. y - x =1 4 8

解析:选 A 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),

y2 x2 a b

? ?c 则? =2, a ? ?c=2,

a2+b2=c2,
得 a=1,b= 3.故双曲线方程为 y - =1. 3
2

x2

2.(教材习题改编)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 9 4 A.相交 B.相切 C.相离

x2 y2

) D.不确定

解析:选 A 由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必 相交. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条
2

) D.4 条

解析:选 C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且平行于 x 轴的 直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 4.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点 为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________.
-1-

x2 y2 a b

解析:由题意知 A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为 y=x+a,所以 B 点的坐标为(0,a),故 M 点的坐

c 2 6 ? a a? 2 2 2 2 标为?- , ?,代入椭圆方程得 a =3b ,则 c =2b ,则 2= ,故 e= . a 3 3 ? 2 2?
5.已知双曲线方程是 x - =1,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1,P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的 2 中点,则此直线方程是________________.
2

2

y2

y1 y2 y2-y1 2 2 解析:设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由 x1- =1,x2- =1,得 k= = 2 2 x2-x1
2

2

2

x2+x1 2×4 = =4, y2+y1 2

从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x -56x+51=0,Δ >0,故此直线满 足条件.答案:4x-y-7=0 【方法指导】 1.直线与圆锥曲线的位置关系, 主要涉及弦长、 弦中点、 对称、 参数的取值范围、 求曲线方程等问题. 解 题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦 长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来, 相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解 题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 【直线与圆锥曲线的位置关系】

x2 y2 2 [例 1] (2012·北京高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 y a b 2
=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3

[自主解答]

a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

x2 y2

y=k x- , ? ? 2 2 (2)由?x y + =1, ? ?4 2

得(1+2k )x -4k x+2k -4=0.

2

2

2

2

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=
所以|MN|=

4k 2k -4 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k +k
2

2

2

x2-x1

2



y2-y1

2



x1+x2

2

-4x1x2]=

2

+k +6k 2 1+2k

2

2

.

-2-

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d=

|k| 1+k
2

2


2

1 |k| 4+6k |k| 4+6k 10 所以△AMN 的面积为 S= |MN|· d= .由 = ,解得 k=±1. 2 2 2 1+ 2k 1+2k 3 【由题悟法】 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数, 但对于选择、填空题也可以利用几何条件,用数形结合的方法求解. 【试一试】 2 1.(2012·信阳模拟)设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是( ) C.[-1,1] D.[-4,4]

? 1 1? A.?- , ? ? 2 2?

B.[-2,2]
2

解析:选 C 易知抛物线 y =8x 的准线 x=-2 与 x 轴的交点为 Q(-2,0),于是,可设过点 Q(-2,0) 的直线 l 的方程为 y=k(x+2)(由题可知 k 是存在的),
?y =8x, ? 联立? ?y=k x+ ?
2

? k x +(4k -8)x+4k =0.
2 2 4 2

2 2

2

2

当 k=0 时,易知符合题意;当 k≠0 时,其判别式为 Δ =(4k -8) -16k =-64k +64≥0, 可解得-1≤k≤1. 【最值与范围问题】

x y 1 [例 2] (2012·浙江高考)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的 a b 2
距离为 10.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. [自主解答] (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得 +c ? ? ?c 1 = , ? ?a 2
2

2

2

+1= 10,

得?

? ?c=1, ?a=2. ?

所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线 AB 的 方程为 y=kx+m(m≠0), 由?
? ?y=kx+m, ?3x +4y =12 ?
2 2 2 2

x2 y2

消去 y,整理得
2

(3+4k )x +8kmx+4m -12=0, ① 则 Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)>0,
-32 2 2 2

8km x +x =- , ? ? 3+4k ? 4m -12 ? ?x x = 3+4k .
1 2 2 2 1 2 2

? 4km 2, 3m 2?. 所以线段 AB 的中点为 M?- ? ? 3+4k 3+4k ?
1 3m -2km 因为 M 在直线 OP:y= x 上,所以 2= 2. 2 3+4k 3+4k 3 得 m=0(舍去)或 k=- . 2 此时方程①为 3x -3mx+m -3=0,则
2 2

x1+x2=m, ? ? Δ =3(12-m )>0,? m2-3 x . 1x2= ? 3 ?
2

所以|AB|= 1+k ·|x1-x2|=

2

39 2 · 12-m , 6

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则

d=

|8-2m| 2|m-4| = . 2 2 3 +2 13

设△ABP 的面积为 S,则

S= |AB|·d=

1 2

3 · 6

m-

2

-m

2

.

其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 令 u(m)=(12-m )(m-4) ,m∈[-2 3,2 3 ],
2 2

u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7).
所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 的方程为 3x+2y+2 7-2=0. 【由题悟法】 1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法. (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法; (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最 值,这就是代数法. 2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
-4-

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 【试一试】 2.(2012·东莞模拟)已知抛物线 y =2px(p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点,则实数 p 的取值范围为( )
2

? 2 ? A.?- ,0? ? 3 ? ? 3 ? C.?- ,0? ? 2 ?

? 2? B.?0, ? ? 3? ? 3? D.?0, ? ? 2?
2 2

解析:选 B 设抛物线上关于直线 x+y=1 对称的两点是 M(x1,y1)、N(x2,y2),设直线 MN 的方程为 y =x+b.将 y=x+b 代入抛物线方程,得 x +(2b-2p)x+b =0,则 x1+x2=2p-2b,y1+y2=(x1+x2)+2b =2p,则 MN 的中点 P 的坐标为(p-b,p).因为点 P 在直线 x+y=1 上,所以 2p-b=1,即 b=2p-1.又 Δ =(2b-2p) -4b =4p -8bp>0,将 b=2p-1 代入得 4p -8p(2p-1)>0,即 3p -2p<0,解得 0<p< 2 . 3 【定点定值问题】 [例 3] (2012·辽宁高考)如图,椭圆 C0: 2+ 2=1(a>b>0,a,b 为常数), 动圆 C1:x +y =t1,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

B,C,D 四点.
(1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x +y =t2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b<t2<a,t1≠t2.若矩形 ABCD 与 矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t1+t2为定值. [自主解答] (1)设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A 的方程为 y= (x+a),① 直线 A2B 的方程为 y=
2 2 2 2 2 2

y1 x1+a

-y1 (x-a).② x1-a

由①②得 y =

2

-y1 2 2 2(x -a ).③ x2 1-a

由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故 2+ 2=1. 从而 y1=b ?1- 2?,代入③得 2- 2=1(x<-a,y<0). a
2 2

x2 y2 1 1 a b

? ?

x2 1?

?

x2 y2 a b

(2)证明:设 A′(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,得 4|x1||y1|=4|x2|·|y2|, 故 x1y1=x2y2. 因为点 A,A′均在椭圆上,所以
2 2 2 2

-5-

2 2 ? x1? 2 2? x2? b2x2 1?1- 2?=b x2?1- 2?. ? a? ? a?

由 t1≠t2,知 x1≠x2,所以 x1+x2=a ,从而 y1+y2=b , 因此 t1+t2=a +b 为定值.
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

【由题悟法】 1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 y=kx+b,然后利用条件建立 b、k 等量关系进行消元,借 助于直线系方程找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况. 【试一试】 3. (2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线 y =2px(p≠0)及定点 A(a, b), B(-a,0), ab≠0, b ≠2pa,
2 2

M 是抛物线上的点.设直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个
定点,此定点坐标为________.

y0-b y1-y0 by0-2pa ? y0 ? ? y1 ? ? y2 ? 解析:设 M? ,y0?,M1? ,y1?,M2? ,y2?,由点 A,M,M1 共线可知 2 = 2 ,得 y1= , y0 y1 y2 y0-b ?2p ? ?2p ? ?2p ? 0
2p 同理由点 B, M, M2 共线得 y2= -a - 2p 2p 2pa y2-y1 y2-y .设(x, y)是直线 M1M2 上的点, 则 2 = 2 , 即 y1y2=y(y1+y2)-2px, y0 y2 y2 y2 1 - -x 2p 2p 2p

2

2

2

又 y1=

by0-2pa 2pa ,y2= , y0-b y0
2

则(2px-by)y0 +2pb(a-x)y0+2pa(by-2pa)=0. 2pa ? 2pa? 当 x=a,y= 时上式恒成立,即定点为?a, ?.

b

?

b ?

? 2pa? 答案:?a, ? ?
b ?

-6-



推荐相关:

圆锥曲线的综合问题 分题型整理

轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点:综合运用方程、函数、...2 x 仅有一个交点. 答案: 1.[解析]D; m? 1? m ? 抛物线的准线为 y...


圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习题(有答案)_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练习一、 选择题: 1.已知椭圆 A.4 x2 y2 ? ? 1的长轴在 ...


圆锥曲线的综合性问题专题(一)及答案

圆锥曲线的综合问题专题(一)及答案 - 圆锥曲线的综合问题专题(一) x2 y2 3 1.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(1, ),过右焦点且垂直于 x 轴...


圆锥曲线的综合应用含详细答案

圆锥曲线的综合应用含详细答案 - 专题 1 圆锥曲线的综合应用 题型 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 直线 B. 2 与双曲线 C. 1 或 2 D. 0 的交点个数是...


圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案 - (2015 年天津卷) 19. (本小题满分 14 分)已知椭圆 x2 y 2 + =1(a > b > 0) 的左焦点为 a 2 b2 F(-c...


圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案 - 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 x2 ? 2 py 外一点 P( x0 ,...


圆锥曲线的综合问题(答案版)

圆锥曲线的综合问题(答案版)_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的综合问题圆锥...答案 B 4 5 2 5.y=kx+2 与 y =8x 有且仅有一个公共点,则 k 的...


2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有答案)

2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有答案)_数学_高中教育_教育专区...考查了学生综合分析问题和运算的能力.解答关键是通过解三角形求 得 a,c 的...


高中数学高考二轮复习圆锥曲线的综合问题教案含答案(全...

高中数学高考二轮复习圆锥曲线的综合问题教案含答案(全国用)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学高考二轮复习教案含答案(全国用) ...


圆锥曲线综合解答题100

圆锥曲线有关的最值问题和定制问题,推理 论证能力,运算求解能力 3.已知曲线 C...如果存在,求直线 l 的方程,如果不存在,请说 明理由. 【答案】 (1) x2 y...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com