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天津市2013届高三数学总复习之综合专题:数列通项公式的求法——累加累乘(教师版)


数列通项公式的求法之累加累乘 概述:一般地,数列的通项公式需要根据递推关系确定,将递推关系式变形转化为等差数列或等比数列,但有时数列的递推 关系还需要进一步探索出来。 1、递推公式满足: a n ?1

? a n ? g ?n ?型或 an ? an?1 ? f (n) ( n ? 2 )型 ? an?1 ? g (n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 2 = g (n ? 2) ,......,

思路:利用累加法,将 a n

a 2 ? a1 = g (1) ,各式相加,正负抵消,得 a n ,即 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ... ? (an ? an?1 ) ;
用求和符号 ? 可以表示为:

an ? a1 ? ? (ai ? ai ?1 ) ? a1 ? ? f (i)(n ? 2) 。
i ?2 i ?2

n

n

例 1:在数列

?a n ? 中, a1 ? 0 且 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,求数列 ?a n ?的通项公式。
? 0 , a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 3,?, an ? an?1 ? 2?n ? 1? ? 1 ? 2n ? 3 ,

解:依题意得, a1

把以上各式相加,得 a n

? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3 ?
n

?n ? 1??1 ? 2n ? 3? ? ?n ? 1?2 ;
2
n

用求和符号 ? 可以表示为: an ? a1 ? ? (ai ? ai ?1 ) ? a1 ? ? f (i )(n ? 2) ,即
i ?2 i ?2

an ? a1 ? ? (2i ? 3) ? a1 ?
i ?2

n

(1 ? 2n ? 3)(n ? 1) ? (n ? 1) 2 , n ? 2 ,上式对于 n ? 1 也成立, 2

所以, an

? (n ?1)2 , n ? N * 。

例 2:在数列

?a n ? 中, a1

? 3 , an?1 ? an ?

1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 n(n ? 1)

解:原递推式可化为: an?1

1 1 1 1 1 1 ,则 a 2 ? a1 ? ? ? , a3 ? a 2 ? ? ......, n n ?1 1 2 2 3 1 1 1 1 an ? an?1 ? ? ,逐项相加得: an ? a1 ? 1 ? ,故 an ? 4 ? ; n ?1 n n n ? an ?
n n

n 1 1 1 ? a1 ? ? ( ? ),n ? 2 用求和符号表示为: an ? a1 ? ? (ai ? ai ?1 ) ? a1 ? ? i ?2 i ? 2 (n ? 1)n i ?2 i ? 1 i



an ? a1 ? 1 ?

1 1 1 ? 4? ,n ? 2 * ,上式对于 n ? 1 也成立,所以, an ? 4 ? , n ? N 。 n n n

例 3:已知数列

?a n ?满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1, a1 ? 3 ,求数列 ?a n ?的通项公式。
-1-

3(1 ? 3n?1 ) ? n ?1, n ? 2 解: an ? a1 ? ? (ai ? ai ?1 ) ? a1 ? ? (2 ? 3 ? 1) ? a1 ? 2 ? 1? 3 i ?2 i ?2
n n i ?1

即 an

? 3n ? n ?1 , n ? 2 ,上式对于 n ? 1 也成立,所以, an ? 3n ? n ?1 , n ? N * 。

补充练习:

1、已知数列

?a n ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? n ( n ? N ? ) ,则数列 ?a n ? 的通项公式为 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 3n?1 ( n ? N ? ) ,则数列 ?a n ? 的通项公式为 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ?
2
2



2、已知数列 3、已知数列



1 ( n ? N? ) ,则数列 ?a n ? 的通项公式为 n ? 3n ? 2


an ?

4、已知数列

?a n ?满足 an?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,则数列 ?a n ? 的通项公式为 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9


an ?
n2 ? n ? 2 答案:1、 a n ? 2
2、递推公式满足: a n ?1

3n ?1 ? 1 2、 an ? 2

n 3、 n ?1

(2n ? 1) 2 ? 1 4、 an ? (2n ? 1) 2

? f (n)a n 型或 a n ? g (n)an?1 ( n ? 2 )型

思路:利用累乘法,将

an a a ? f ?n ? 1?, n ?1 ? f ?n ? 2?,?, 2 ? f ?1? an?1 an?2 a1

各式相乘得,

an a n?1 a ? ? ? ? 2 ? f ?n ? 1? ? f ?n ? 2?? f ?1? ,得 a n , a n?1 an ?2 a1 a a 2 a3 ? ? ...? n a1 a 2 a n ?1
n

即 an

? a1 ?

, an

? 0;

用累乘符号 ? 表示为 an ? a1 ? ?
i ?2

n ai ? a1 ? ? f (i), (n ? 2, an ? 0) 。 ai ?1 i ?2

例 4:在数列

?a n ? 中, a1 ? 1 ,

a n ?1 n ? ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 an n ?1

解:由条件等式

a n ?1 an an?1 a n 1 n ?1 n ? 2 1 1 ? 得, ? ? ?? 2 ? ? ? ? ,得 an ? an n ?1 n an?1 an?2 a1 n n ?1 2 n



评注:此题亦可构造特殊的数列,由

?n ? 1?a n ?1 a n ?1 n ? 1 ,则数列 ?nan ? 是以 a1 为首项,以 1 为公比的 ? 得, nan an n ?1
-2-

等比数列,? nan 例 5:设数列

? a1 .q n?1 ? 1 ? 1 ? 1得 an ?

1 n



?a n ? 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an?12 ? nan 2 ? an?1an ? 0 , n ? N * ,则数列 ?a n ?


的通项公式是 解:原递推式可化为: [(n ? 1)an?1

? nan ](an?1 ? an ) ? 0

∵ a n ?1

? an ? 0,

a n ?1 a a 2 1 a3 2 a 4 3 n n ?1 ? ,则 , ? , ? , ? , ……, n ? an n ?1 a n ?1 n a1 2 a2 3 a3 4
,即 a n

逐项相乘得:

an 1 ? a1 n

?

1 n



补充练习:

1、若数列

?a n ?满足 a1 ? 1 , an
? n ?1? B、 ? ? ? n ?
n ?1

? n(an?1 ? an ) , n ? N ? ,则数列 ?a n ?通项公式为(

D )

A、 2n ? 1

C、 n

2

D、 n

2、已知数列

?a n ?满足 an?1 ? 2(n ?1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 ?a n ?的通项公式。
? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

解:因为 an?1

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2)??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
所以数列
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!
n ( n ?1) 2

?a n ?的通项公式为 an ? 3? 2n?1 ? 5

? n!.

3、已知数列

?a n ?满足 a1 ? 1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ??? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求数列 ?a n ?的通项公式。
? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ......①

解:因为 an

所以 an?1

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ......②

-3-

用②—①式得 an ?1 ? an

? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ,故

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) ; an

所以 an

?

an an?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . ......③ an?1 an?2 a2 2

由 an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,
? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? n! 。 2

代入③得 an

所以,

?a n ?的通项公式为 an ? n !.
2

-4-


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