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吉林省实验中学2016届高三上学期第五次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


吉林省实验中学 2016 届高三年级第五模拟次考试

数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x y ? ln 1 ? x
2

?

?

?

?

A. ?1, 2 ?

B.

? ?1,1?

C. ?1, 2 ?

?? ,则 A ? ?CR B? D. ?1, 2?

2.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z ?

A.

1 2
x

B.

2 2

C. 2

D. 2

3.下列有关命题的说法中,正确的是 A. ?x0 ? R ,使得 3 0 ? 0 B. ?x ? R , lg x ? 0 C. “x?
?

π 3 ”是“ cos x ? ”的必要不充分条件 6 2

D. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 4.过点 (5, 2) ,且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 A. 2 x ? y ? 12 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 5. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? A.

?

1 3 [ , ] 2 4

B. [ , ]

1 5 2 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 2 4 1 C. (0, ] D. (0, 2] 2

?

6.抛物线 y 2 ? 4 x ? 0 上的点 P 到直线 x ? 2 的距离等于 4,则 P 到焦点 F 的距 | PF |? A.1 B.2 C.3 D.4

7.若椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有共同焦点 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点,则 25 16 4 5

PF 1 ? PF 2 的值为
A. 3 B.

21 2

C.21

D.84

-1-

? 3x ? y ? 0 ? 8.若点 P ( x, y ) 满足线性约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , O 为坐标原点则 OA? OP 的 点 A(3, 3) , ? y?0 ?
最大值为 B. 0 B.3
? 1 2

C.6 , x3 满足 ( ) x3 ? log3 x3 ,则 C. x2 ? x1 ? x3
2 2

D.8

9.已知 x1 ? log 1 2 , x2 ? 2
3

1 3

A. x1 ? x2 ? x3

B. x1 ? x3 ? x2

D. x3 ? x1 ? x2

10.已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 1 相交于 A,B 两点, 且 ?ABC 为等腰直 角三角形,则实数 a 的值为 A. 1 B. ?1 C.

1 或 ?1 7

D. 1或 ? 1

? ?log 2 x, x ? 1, 11.已知函数 f ? x ? ? ? 则 ? ? f ? 2 x ? , 0 ? x ? 1.
A.

1 ? ? 2 1 ? ? f ?? ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?

?1

B.

1 2

C. 1

D.

3 2

2 12. 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,则关于 x 的方

程 f ( x) ? 10?| x| 在 [ ? A.10 个

10 10 , ] 上根的个数是 3 3
B.8 个 C.6 个 D. 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,那么 2 a b

该双曲线的渐近线方程为_________. 14.若点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为 15. 已知 P 是抛物线 y ? 4 x 上的一个动点, 则 P 到直线 l1 :4 x ? 3 y ? 11 ? 0 和 l 2 :x ? 1 ? 0
2

的距离之和的最小值是

-2-

16. 对于下列命题:其中所有真命题的序号是 ____

.

① 函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间 (0,1) 内有零点的充分不必要条件是

1 2 ?a? ; 2 3

②已知 E , F , G, H 是空间四点,命题甲:E , F , G, H 四点不共面,命题乙: 直线 EF 和 GH 不 相交,则甲是乙成立的充分不必要条件; ③“ a ? 2 ”是“对任意的实数 x , | x ? 1| ? | x ? 1|? a 恒成立”的充要条件; ④“ 0 ? m ? 1 ”是“方程 mx2 ? (m ?1) y 2 ? 1 表示双曲线”的充分必要条件. ⑤ cos 20 ? cos 40 ? cos 80 ?
? ? ?

1 16

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已 知 向 量 m ? (2 sin ?x, sin ?x), n ? ( c ? o x,? s2 3 s i?n x) (? ? 0) , 函 数 直线 x ? x1 , x ? x2 是函数 y ? f ? x ? 的图像的任意两条对称轴, 且 x1 ? x2 f ( x) ? m ?n ? 3 , 的最小值为

? . 2
(II)求函数 f ? x ? 的单调增区间;

(I)求 ? 的值; (III)若 f ?? ? ?

2 ? ,求 sin( 4? ? ) 的值. 6 3

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC , ?ADC ? 90 PA ? PD ? AD ? 2BC ? 2 ,
o

CD ? 3, PB ? 6 ,Q 是 AD 的中点.
(I)求证:平面 PAD ? 底面 ABCD; (II)求三棱锥 C ? PBD 的体积.

19. (本小题满分 12 分)已知曲线Γ 上的点到 F (1,0) 的距离比它到直线 x ? ?3 的距离小 2, 过 F 的直线交曲线Γ 于 A, B 两点。 (1)求曲线Γ 的方程; (2)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率;

-3-

(3)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C ,求四边形 OACB 面积的 最小值。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的左、 右顶点分别为 A ,B , a 2 b2

F1 为左焦点,且 AF1 ? 2 ,又椭圆 C 过点 (0, 2 3) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x +y ? 16 上(点 A, B 除外) ,设直线 PB , QB 的斜率分
2 2

别为 k1 , k2 ,若 k1 ?

3 k 2 ,证明: A , P , Q 三点共线. 4

21. (本小题满分 12 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ?

5 2 7 x ? ax ? b , g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln x ? b , ( a , b 为常数) . 2 2

(Ⅰ)若 g ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0 , ? 5) ,求 b 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) , 若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? xf ?( x ) 有唯一解, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 F ( x) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln 2 ,求实

-4-

数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 (1)如图,已知 AD 为圆 O 的直径,直线 BA 与圆 O 相切于点 A,直线 OB 与弦 AC 垂直并相 交于点 G,与弧 AC 相交于 M,连结 DC,AB=10,AC=12. (I)求证:BA· DC=GC· AD(II)求 BM 的长. A B

O D

G C

M

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系。已知曲线

? 2 x ? ?1 ? t ? ? 2 2 C : ? sin ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(?1,2) 的直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 2 t ? 2 ?
是参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值。

(t

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】设函数 f ( x) ? x ?1 ? a ? x ? a . (1)若 a ? 2 , x ? R ,证明: f ( x) ? 3 ; (2)若 f (1) ? 2 ,求 a 的取值范围.

-5-

-6-

吉林省实验中学 2016 届高三年级第五模拟次考试

数学试卷答案(文科)
一.CCDDB 二.13 CCCAD BC 14

y ? ? 3x

2

15

3

16

①②④ 4分

三.17: (1) f ( x) ? 2 sin( 2?x ? (2) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

? ?1
? ?

?
3

) )? ? 2 3

增区间: ?k? ?

5? ?? , k? ? ? 12 12?

k ?Z

8分

(3) f (? ) ? 2 sin( 2? ?

?

sin( 4? ?

?
6

) ? sin( 4? ?

?

3

?

2

3

) ? ? cos 2(2? ?

?
3

)??

7 9

19(1) y ? 4 x
2

4分 4分

(2) k ? ?2 2 (3)4

2 2 2 20:解: (Ⅰ)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 ,又 b ? a ? c ? 12 ,解得 a ? 4 .

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,

-7-

所以 kPA ? k1 ?

y1 y y2 ? 1 ? 2 1 .因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上, x1 ? 4 x1 ? 4 x1 ? 16

3 12 ? x12 3 x12 y12 3 ?? . ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 .所以 k PA ? k1 ? 2 4 所以 x1 ? 16 4 4 16 12
又因为 k1 ?

3 k 2 ,所以 kPA ? k2 ? ?1 . 4
2 2

(1)

由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径, 所以 QA ? QB .所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA .因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线. …………………………12 分

21 解: (Ⅰ)设 g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? kx ? 5 ,
2 因为 g ?( x) ? 3 x ? 7 x ?

1 , g ?(1) ? 11 , x

所以 k ? 11 ,故切线方程为 y ? 11x ? 5 . 当 x ? 1 时, 将6 y ? 6, , 1 ) ( 分
3 (Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x ? 5x ? a ,由题意得方程 x ? 3 代入 g ( x) ? x ?

7 2 3 x ? ln x ? b , 得 b ? . …………3 2 2

2

5 2 x ? ax ? b ? 3x 3 ? 5 x 2 ? ax ? x 有唯一 2

解,
3 即方程 2 x ?

5 2 x ? x ? b 有唯一解. 2 5 2 x ? x ,则 h '( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 2 1 3 1 2 1 3

3 令 h( x ) ? 2 x ?

所以 h( x) 在区间 ( ??, ? ), ( ? , ?? ) 上是增函数,在区间 (? , ? ) 上是减函数.

又 h( ? ) ? ? , h( ? ) ? ?

1 2

1 8

1 3

7 ,故实数 b 的取值范围是 54

(??, ?

7 1 ) U (? , ??) . ??????????7 分 54 8

-8-

(Ⅲ) F ( x) ? ax ? x2 ? ln x, 所以 F '( x) ? ? 因为 F ( x) 存在极值,所以 F '( x) ? ? 即方程 2x
2

2 x 2 ? ax ? 1 . x

2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根, x

? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根,则有 ? =a 2 ? 8 ? 0 .

显然当 ? =0 时, F ( x) 无极值,不合题意; 所 以 方 程 必 有 两 个 不 等 正 根 . 记 方 程 2x
2

? ax ? 1 ? 0 的 两 根 为 x 1 , x 2 , 则

1 ? x1 x2 ? ? 0, ? ? 2 ? ?x ? x ? a , 1 2 ? ? 2

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x22 ) ? (ln x1 ? ln x2 )
5 ? ln 1 , 2 a ? 0 ,即 a ? 0 , 2

?

a2 a2 1 ? ? 1 ? ln 2 4 2

?

2 解得 a ? 16 ,满足 ? ? 0 .又 x1 ? x2 ?

故所求 a 的取值范围是 (4,??) .

……………12 分

22. 证明: (I)连结 BC,则 BC=BA,且 BC 为⊙O 的切线,在△BCG 和△ACD 中,∠ACD= ∠BGC=90°, ∠BCG=∠ADC ∴△BCG∽ACD∴BC:AD=CG:DC∴BC· DC=GC· AD 即 BA· DC= GC· AD
(II)∵AC=12,∴AG=6∵AB=10,∴在直角三角形 OAB 中,GB=8

由 AG2=OG· GB,可知 OG= 23:(1) l : x ? y ? 1 ? 0 (2) a ?

9 15 25 ,∴OM=OA= ,∴OB= ∴BM=OB-OM=5 2 2 2 C : y 2 ? 2ax(a ? 0)

1 2

-9-

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- 10 -



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