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2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数


专题二:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数(新课标 理科)
一、 选择题 1、若 sin ? +2icos ? =2i,则 ? 的取值为( ) k? ? | ? =k ? ,k ? Z} ? | ? = 2 , k ? Z} { { ? { ? | ? =2k ? , k ? Z} { ? | ? =2k ? + 2 , k ? Z
2cos10? ? sin 20? sin70? 2、 的值是 (


2 2

1 3 3 2 2 ? ? 3、若 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,则(
? ? a?b ? ? a ? ?b


? ? ? ? ( a? b ? ? (?ab ) )

? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b)

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a 、 b、 满足 a ? b ? c , a ? b ? c ,则 sin〈 a, b 〉=( c 4、设非零向量
1 .2 1 2

)

.1
? ? ?

.

.
?

3 2

5、 设向量 a 与 b 的夹角为θ ,定义 a 与 b 的“向量积”: a × b 是一个向量,它的模| a × b | =| a |·b |· | sinθ , a = (- 若 .
3 ? ? ? ? 3, -1),b =(1, 3

?

?

?

?

), a × b |= 则| .4

?

?

(

)

.

2 3

.2

6、函数 y=|sinx|-2sinx 的值域是 .[-3,-1] .[-1,3] .[0,3] 2 7、函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是( 3 .0 . π 3 . π 2 π .- 2

( .[-3,0] )

)

π 2 8、已知函数 f(x)= cos(ωx+φ )的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=( 2 3 2 .- 3 π .2kπ+ (k∈Z) 4 1 .- 2 π (k∈Z) 4 2 . 3 . 1 2

)

9、若 sin2θ-1+i( 2cosθ+1)是纯虚数,则 θ 的值为 .2kπ— π .2kπ± (k∈Z) 4

(

)

k π . π+ (k∈Z) 2 4

10、某人在 点测得某塔在南偏西 80° ,塔顶仰角为 45° ,此人沿南偏东 40° 方向前进 10 米到 ,测得塔顶 的仰角为 30° ,则塔高为 ( .15 米 .5 米 .10 米 .12 米

)

二、 填空题
1 ? ? ?? ? ? ? cos ? = 5 ,且 4 2 ,则 cos ? -sin ? =________________ 11、 已知 sin

12、设△ 值为 .

3 tanA 的内角 , , 所对的边长分别为 a,b,c 且 acos -bcos = c.则 的 5 tanB

7π 13.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如下图所示,则 f( )= 12

.

14、 已知向量 a =(2,-1),b =(x,-2),c =(3,y),若 a ∥ b ,( a + b )⊥( b - c ),M(x,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

???? ?
y),N(y,x),则向量 MN 的模为 三、解答题
2 15、 已知 3cos ? +2sin2 ? = ?1 求(1)tan ? 的值 ,(2)3cos2 ? +4sin2 ? 的值

.

1 π 16、已知函数 f(x)=3sin( x- ),x∈R. 2 4 (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sinx 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 17、 在 ? 中,若 b sin
2 2

+c sin

2

2

=2bc ? cos cos ,试判断三角形的形状

π 18、已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωxsin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的第一 2 π 个最高点的横坐标为 . 6 π (1)求 ω;(2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到 6 原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间.
?? ? ?

19、在△
?? ? ?

中,设内角 , , 的对边分别为 a, b, c ,向量 m =(cos ,sin ),向量 n

=( 2-sin ,cos ), 若| m ? n |=2.

(1)求角 的大小; (2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ 4 的面积. 4 4
?? ? x x x 20、已知向量 m =( 3sin ,1), n =(cos ,cos2 ). ?? ? ? 2π (1)若 m ? n =1,求 cos( -x)的值;

3

(2)记 f(x)= m ? n ,在△

?? ? ?

中,角 , , 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos

=bcos , 求函数 f( )的取值范围. 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数(新理)

试题答案
1 解析:选 ,由复数相等的条件得:sin ? =0,cos ? =1,所以 ? 的终边落在 x 轴的正半轴上, 故选 ; 2 解 析 : 选 , 原 式
3 cos 20? 3 cos 20? 2cos 30? -20?) sin 20? 2cos30? cos20? ? 2sin30? sin 20? ? sin 20? ( ? ? ? cos 20? = 3 sin70? sin70? = = = sin 70

? ? ? ? 3 解析:选 ,? (a ? b) ? (a ? b) =(cos ? +cos ? )( cos ? -cos ? )+(sin ? +sin ? )( sin ? -sin ? )
2 2 2 2 =cos ? +sin ? -cos ? -sin ? =0? 选项 正确

?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?2 ?? ? 2 ? ? ?2 c ? a?b a?b?c 4 解析:选 ,∵ a ? b ? c ,∴ = a ? 2ab ? b 又 ∴ 2ab=-b ?2 ??? ? ? ? ? b a || b |cos〈 a , b 〉=- 即 2| .∴cos〈 a,b 〉=

1 -2

3 ? ? ? a, b ? = 2 ? sin

5 解析:选 , ? cos ? =

? ? a? b ? ? a ?b

- 3- 3 = 2 ? 2 =-

3 2

1 1 ? sin? ? ,? a ? b ? a ?b ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2. sin 2 2
6 解析:选 ,当 0≤sinx≤1 时,y=sinx-2sinx=-sinx,此时 y∈[-1,0];当-1≤sinx<0 时, y=-sinx-2sinx=-3sinx,这时 y∈(0,3],求其并集得 y∈[-1,3]. 7 解析: 选 ,因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2, 又其在区间 2π π [- ,θ]上的最大值为 1,结合选项可知 θ 只能取- .,故选 3 2 11 7 2π 2π 2π 8 解析: 选 ,由题意可知,此函数的周期 T=2( π- π)= ,故 = ,∴ω=3,f(x) 12 12 3 ω 3 = cos(3x+φ).

π 3π 2 7π 7π 1 f ( )= cos( +φ)= sinφ=- .又由题图可知 f( )= cos(3× +φ)= cos(φ- π) 2 2 3 12 12 4 = 2 2 ( cosφ+ sinφ)=0,∴f(0)= cosφ= . 2 3

? ? ?? ? k? ? 4 , ? k ? Z, ? ?sin 2? ? 1 ? 0, ? ? ?? ? 2k? ? 3 ? . ? ? 2 cos ? ? 1 ? 0. ? ? 4 9 解析:选 ,由题意,得 ?
π ,k∈Z. 4

∴ θ = 2kπ +

10 解析:选 ,如图,设塔高为 h,在 Rt△ O 中,∠

O=45° ,

则 O =O =h.在 Rt△ O 中,∠ O=30° ,则 O = 3h, 在△O 中,∠O =120° , =10, 由 余弦 定理 得:O 2 = O 2+ 2 - 2O · cos ∠O , 即 ( 3 h)2 = h2+ 102 - 2h× cos120° 10× , ∴h2-5h-50=0,解得 h=10,或 h=-5(舍). 二 填空题
2 2 2 11 解析: ? -sin ? =— (cos? ? sin?) =— cos ? ? 2cos? sin ? ? sin ? =— cos

1? 2?

1 15 ? 5= 5

答案:

?

15 5

12 解析:由 acos -bcos sin cos -sin cos

3 = c 及正弦定理可得 sin 5

cos

-sin cos

3 = sin 5

,即

3 = sin( + ),即 5(sin cos -sin cos )=3(sin cos +sin cos ),即 sin cos = 5 4sin cos ,因此 tanA tan =4tan ,所以 =4. tanB 答案:4 3 2π π 13 解析:由图象知,函数的周期为 × T=π,∴T= . ∵f( )=0, 2 3 4 7π π π π T π ∴f( )=f( + )=f( + )=-f( )=0. 12 4 3 4 2 4
? ?

答案:0
? ? ? ?

14 解析:∵ a ∥ b ,∴x=4,∴b=(4,-2),∴ a + b =(6,-3), b - c =(1,-2-y).∵

( a + b )⊥( b - c ), ∴( a + b )·b - c )=0,即 6-3(-2-y)=0,∴y=-4,故向量 MN =(-8,8), (
? ? ? ?

?

?

?

?

???? ?

???? ? MN |=8 2. |
三解答题

答案:8 2

2 2 2 15 解析:(1)由已知条件得 4cos ? +4sin ? cos ? +sin ? =0,(2cos ? +sin ? ) =0,

所以 2cos ? =-sin ? ? tan ? =-2
(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 8sin ? cos? ?3tan 2 ? ? 8tan ? ? 3 3 ? +4sin2 ? = sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1 (2) 3cos2 = =-5 16 解析:(1)列表取值:

x
1 π x? 2 4

π 2
0 0

3 π 2 π 2
3

5 π 2

7 π 2 3 π 2
-3

9 π 2

0

π
0

f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

? (2)先把 y=sinx 的图象向右平移 4 个单位,然后纵坐标不变,把所有点的横坐标扩大
为原来的 2 倍,再横坐标不变,把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. a b c ? ? s Ai n B C s =2R n , i s 17 解 析 : 由 及 i条 n 件 得
? sin ? sin 4R sin +4R sin =8R sin sin cos cos ? sin sin =cos cos ,即 cos( + )=0,又 0°< + <180°? + =90° 又 sin sin ≠0 ? =90° 故? 是直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2

18 解析:(1)f(x)=

3 1 3 π 3 sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ . 2 2 2 6 2

π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 1 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ .经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ . 6 2 2 6 2

4 5 π 1 π 3 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π, 3 2 2 2 6 2 4π 10 即[4kπ+ ,4kπ+ π],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3 19 解析: (1) ∵| m ? n |2=(cos + 2-sin )2+(sin +cos )2=4+2 2(cos -sin )=4 π +4cos( + ), 4 π π π π π ∴4+4cos( + )=4,∴cos( + )=0,∵ ∈(0,π),∴ + = ,∴ = . 4 4 4 2 4 π (2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos , 即 a2=(4 2)2+( 2a) 2-2× 2× 2acos , 4 4 解得 a=4 2,∴c=8, ∴S△ 1 1 2 = bcsin = × 2× 4 8× =16. 2 2 2
?? ?

?? ? ? x x x 3 x 1 x 1 20 解析:(1)∵ m ? n =1,即 3sin cos +cos2 =1,即 sin + cos + =1, 4 4 4 2 2 2 2 2

x π 1 2π 2π π ∴sin( + )= .cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 2 6 2 3 3 3 x π 1 1 =-[1-2sin2( + )]=2· )2-1=- . ( 2 6 2 2 (2)∵(2a-c)cos =bcos ,由正弦定理得(2sin -sin )cos =sin cos . ∴2sin cos -cos sin =sin cos ,∴2sin cos =sin( + ), ∵ + + =π, 1 π ∴sin( + )=sin ,且 sin ≠0,∴cos = , = , 2 3 2π π A π π 1 A π ∴0< < .∴ < + < , <sin( + )<1. 3 6 2 6 2 2 2 6
?? ? ? x π 1 A π 1 又∵f(x)= m ? n =sin( + )+ ,∴f( )=sin( + )+ . 2 6 2 2 6 2

3 故函数 f( )的取值范围是(1, ). 2

天 · 星 o

T 天 · 星 o e s o o n

m 权

m 权 t

. c o


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