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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第3章 第7节 正弦定理和余弦定理


课时作业 一、选择题 1.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C [a<b? A<B? cos A>cos B.] π 3 2.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= 3 ,b=1,△ABC 的面积为 2 , 则 a 的值为 ( ) A.1 3 C. 2 B.2 D. 3

π 1 1 3 D [由已知得2bcsin A=2×1×c×sin 3 = 2 , 解得 c=2, π 则由余弦定理可得 a2=4+1-2×2×1×cos 3 =3? a= 3.] 3.(2014· “江南十校”联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 3, tan A 2c c=2 2,1+tan B= b ,则 C= ( ) A.30° B.45° C.45°或 135° D.60° B tan A 2c [由 1+tan B= b 和正弦定理得

cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A, 1 即 sin C=2sin Ccos A,所以 cos A=2,则 A=60°. 2 3 2 2 2 由正弦定理得sin A=sin C,则 sin C= 2 , 又 c<a,则 C<60°,故 C=45°.] 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2, 则 cos C 的最小值为 ( ) 3 A. 2 1 C.2 C 2 B. 2 1 D.-2 [由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,

1 1 又 c2=2(a2+b2),得 2abcos C=2(a2+b2),

a2+b2 2ab 1 即 cos C= 4ab ≥4ab=2.] 5.(2012· 上海高考)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是 ( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 C B.直角三角形 D.不能确定

a2+b2-c2 [由正弦定理得 a2+b2<c2,所以 cos C= <0,所以 C 是钝角,故△ABC 是钝角 2ab

三角形.] tan A → → → 3 → 6.(2014· 乌鲁木齐一诊)△ABC 中,若(CA+CB)· AB=5|AB|2,则tan B的值为 ( A.2 ) B.4

C. 3 D.2 3 B [设△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边, → → → 3 → 由(CA+CB)· AB=5|AB|2 得, → → → → 3 → CA·AB+CB·AB=5|AB|2, 3 即 bccos(π -A)+accos B=5c2, 3 ∴acos B-bcos A=5c, 3 由正弦定理得 sin Acos B-cos Asin B=5sin C 3 3 =5sin(A+B)=5(sin Acos B+cos Asin B), tan A 即 sin Acos B=4cos Asin B,∴tan B=4.] 二、填空题 7. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c.若 b=2asin B, 则角 A 的大小为________. 解析 由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0, 1 ∴sin A=2,∴A=30°或 A=150°. 答案 30°或 150° 8.(2014· 长春调研)△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a2-c2=2b,且 sin B =6cos Asin C,则 b 的值为__________. 解析 由正弦定理与余弦定理可知, b2+c2-a2 sin B=6cos Asin C 可化为 b=6· 2bc ·c, 化简可得 b2=3(b2+c2-a2), 又 a2-c2=2b 且 b≠0,得 b=3. 答案 3

1 9.(2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=-4,则 b=________.

? 1? 解析 根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)× -4 ,解得 b=4. ? ?
答案 4 三、解答题 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 解析 (1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 2 故 cos B= 2 ,因此 B=45°. (2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= 2+ 6 . 4

2+ 6 sin 60° sin A sin C 故 a=b×sin B= =1+ 3,c=b×sin B=2× = 6. sin 45° 2 11.(2014· 北京朝阳统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且 满足 3a-2bsin A=0. (1)求角 B 的大小; →→ (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求AB· AC的值. 解析 (1)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0, 3 因为 sin A≠0,所以 sin B= 2 . π 又 B 为锐角,所以 B= 3 . π (2)由(1)可知,B= 3 .因为 b= 7.

π 根据余弦定理,得 7=a2+c2-2accos 3 , 整理,得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,得 ac=6. 又 a>c,故 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= = = 14 , 2bc 4 7 7 → → → → 所以AB· AC=|AB|· |AC|cos A=cbcos A=2× 7× 14 =1. 12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且满足(2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小;

3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= 4 ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 解析 (1)解法一:由(2b-c)cos A-acos C=0 及正弦定理,得 (2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0, sin B(2cos A-1)=0. 1 ∵0<B<π ,∴sin B≠0,∴cos A=2. π ∵0<A<π ,∴A= 3 . 解法二:由(2b-c)cos A-acos C=0, b2+c2-a2 a2+b2-c2 及余弦定理,得(2b-c)· 2bc -a· 2ab =0, b2+c2-a2 1 整理,得 b2+c2-a2=bc,∴cos A= =2, 2bc ∵0<A<π , π ∴A= 3 . 1 3 3 (2)∵S△ABC=2bcsin A= 4 , π 3 3 1 即2bcsin 3 = 4 , ∴bc=3, ① π ∵a2=b2+c2-2bccos A,a= 3,A= 3 , ∴b2+c2=6, ② 由①②得 b=c= 3, ∴△ABC 为等边三角形.



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