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数学2-3,1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质


1.3.2 “杨辉三角”与二项式 系数的性质

复习回顾: 1.二项式定理及展开式:

(a ? b) ? C a ? C a b ? ??? ? C a b ? ??? ? C b (n ? N )
n 0 n n n n n

1 n ?1 n

k n? k k n

?

2.二项式系数:

C

k n

( k ? 0,1, ??? , n)
k n n? k

3.通项:

Tk ?1 ? C a

b

k

计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:
n 1 2 3 4 5 6
(a+b)n展开式的二项式系数

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

1 6

1

通过计算填表,你发现了什么? 每一行的系数具有对称性, 除此以外还有什么规律呢?

(a ? b) 展开式中的二项式系数,如下表所示:
n

(a ? b)

1 2 3 4

1 1 1 2 1

C C
0 3 1 3

0 1

1 1

(a ? b) (a ? b) (a ? b)

0 1 2 C2 C2C2

1 3
1 4 6

3
4

1
1 5 1

C CC C
0 4 1 4 2 4 3 4

2 3

3 3

C CC CC
0 5 1 5 2 5 3 5 4 5

(a ? b)5 1 5
6

4 4

10 10

C CC CC C
……
r n 0 n 1 n 2 n n?1 n

5 5

0 1 2 3 4 5 6 (a ? b) 1 6 15 20 15 6 1 C6 C C C C C C 6 6 6 6 6 6 r r ?1 r

……

(a ? b)

n

C n?1…… ? C n ?C n

C C C ...C ...C C

n n

杨辉三角
这样的二项式系 数表,早在我国南 宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九 章算法》一书里就 已经出现了,在这 本书里,记载着类 似下面的表:

二项式系数的性质

(a ? b) 展开式的二项式系 1 2 n 数依次是: C0 n ,Cn ,Cn ,?,Cn
n

f(r)

20

从函数角度看,C 可看 成是以r为自变量的函数f ( r ) , 其定义域是:?0,1,2,?, n? 当n= 6时, 其图象是7个孤立点

r n

15

6
1 O

3

6

二项式系数的性质
1.对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相 等. 这一性质可直接由公式 m n? m Cn ? Cn 得到.
f(r)

20

15

n 图象的对称轴: r ? 2

6
1 O

3

6

二项式系数的性质 2.增减性与最大值

n(n ? 1)( n ? 2)?( n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 C ? ? Cn ? k ? (k ? 1)! k
k n
k n

n?k ?1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定. k 由:n ? k ? 1 ? 1 ? k ? n ? 1 k 2 n?1 可知,当k ? 时,二项式系数是逐渐增大 2
k ?1 n

的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的, 且中间项取得最大值。

当n是偶数时,中间的一项 f(r) C n 取得最大值.
当n是奇数时,中间的两项 C n 和 C n 相等, f(r) 且同时取得最大值
n为奇数 n为偶数
n 1 ? 2 2
n?1 2

n 2

n ?1 2

n 1 ? 2 2

O

n 2

n

r

O

n 2

n

二项式系数的性质
3.各二项式系数的和

在二项式定理中,令a ? b ? 1 ,则:

C ? C ? C ? ? ? C ? 2 赋值法
0 n 1 n 2 n n n n

(a ? b) 的展开式的各二项式系 这就是说, 数的和等于 2n 0 同时由于Cn ? 1,上式还可以写成:
n

C ? C ? C ??? C ? 2 ?1
1 n 2 n 3 n n n n

这是组合总数公式.

例1.证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明: 在展开式

(a ? b) ? C a ? C a b ? ?? C a b ? ?? C b
n 0 n n 1 n n

r n? r r n

n n n

令a ? 1, b ? ?1
n 0 n


1 n 2 n 3 n

赋值法
n n n

(1 ? 1) ? C ? C ? C ? C ? ? ? (?1) C
0 n 2 n 1 n 3 n

即 0 ? (C ? C ? ?) ? (C ? C ? ?)
所以

C ? C ? ? ? C ? C ? ? =2n-1
0 n 2 n 1 n 3 n

即在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和.

课堂练习 1. 在(a+b)20展开式中,与第五项二项式 系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2. 在(a+b)10展开式中,二项式系数最大 的项是(

A

).

A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 此种类型的题目应该先找准r的值,然后再 确定第几项。

3.已知 C 4. C
1 11

9 5 =a, 15 =b,那么 15

C

C

10 16 =

a+b ;

? C ? ... ? C ? 1024
3 11 11 11
0 1 2 n n n 2

?C ?C C 5. C ?C ?C
0 1 n ?1 n ?1

1 ? n ?1 ? ... ? C n ?1 2 n ?1

? ... ? C n

n

求奇数(次)项偶数(次)项系数的和

例2 已知(3x ? 1) ? a0 x ? a1x ? ? ? a6 x ? a7
7 7 6

求(1)a1 ? a3 ? a5 ? a7

(2)a0 ? a2 ? a4 ? a6

(3) a0 ? a1 ? a2 ? ?? a7
变式 1.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值

1 10 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 (3 ? 1) 2

3

10

1 5 1 n + ) 的展开式中,所有奇数项 例3 若 ( 2 x x 的系数之和为1024,求它的中间项.
3

解:∵展开式中各项的二项式系数与该项的的系 数相等 ∴由已知可得:2n-1=1024 解得 n=11,∴有两个中间项分别为 T6=462x-4,T7=462x
? 61 15

系数最大或最小问题
11 的展开式中, ( x ? 1 ) 例4.在二项式 求系数最小的项的系数.

11? r r ? T ? x ( ? 1 ) 解: r ?1 C11

r

? 要使项的系数最小,则 r 必为奇数,且使 C11
r

为最大,由此得

r ? 5,从 而可知最小项的系数为

C

5 11

( ?1) ? ?462
5

2 8 例5、在 ( x ? 2 ) 的展开式中, x 1)系数的绝对值最大的项是第几项?
2)求二项式系数最大的项; 3)求系数最大的项; 4)求系数最小的项。
注:解决系数最大问题,通常设第r ? 1 项是系数最大的项, 则有

?T r ?1系数 ? T r 系数 ? ?T r ?1系数 ? T r ? 2系数

由此确定r的取值.

近似计算
例6 某公司的股票今天的指数为2, 以后每天的指 数都比上一天的指数增加0.2%, 则100天后这 公司的股票股票指数为_____(精确到0.001) 解: 依题意有2(1+0.2%)
100

100

? 2(1 ? 0.002) 0 1 2 2 ? 2[C100 ? C100 ?0.002 ? C100 ?0.002 ? ?] ? 2(1 ? 0.2 ? 0.0198 ? ?) ? 2.4396 ? 2.44
所以100天后这家公司的股票指数约为2.44 点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项

课堂练习

1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列, 1 则x=____________ x ? 2或x ? 2 7 ( x ? y) 的展开式中,系数绝对值最大的项是( B ) 2、

A.第4项
3

B.第4、5项

C.第5项

D.第3、4项

1 n (3 x ? ) 二项式展开式的各项系数的和为P; 3.设 x
二项式系数的和为S,且P+S=272,则展开式 108 . 的常数项为_________

小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特

殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握
好,同时要注意“系数”与“二项式系数”

的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的
才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,

尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决
有关二项展开式系数的问题的重要手段。



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