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2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系


8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题 1.下列命题正确的个数为( ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3 ).

解析 ①④错误,②③正确. 答案 C 2.设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 ( . A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 解析 A 中,若 AC 与 BD 共面,则 A、B、C、D 四点共面,则 AD 与 BC 共面; B 中,若 AC 与 BD 是异面直线,则 A、B、C、D 四点不共面,则 AD 与 BC 是异面 直线; C 中,若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC; D 中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥BC. 答案 C 3. 若三个平面两两相交, 且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分为( A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 解析 垂直于交线的截面如图,把空间分为 7 部分. ) )

答案 C 4.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( A.3 B.4 C.5 D.6 ).

解析 依题意, AB 和 CC1 都相交的棱有 BC; AB 相交且与 CC1 平行的棱有 AA1, 与 与

BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1,故符合条件的棱共有 5 条.
答案 C 5.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是 BD1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M, 则下列结论错误的是( A.A1、M、O 三点共线 C.A、O、C、M 四点共面 ). B.M、O、A1、A 四点共面 D.B、B1、O、M 四点共面

解析 因为 O 是 BD1 的中点.由正方体的性质知,O 也是 A1C 的中点,所以点 O 在直线 A1C 上,又直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则 A1、M、O 三点共线,又直线与 直线外一点确定一个平面,所以 B、C 正确. 答案 D 6.如图,四棱锥 SABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是( ).

A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析 选项 A 正确,因为 SD 垂直于平面 ABCD,而 AC 在平面 ABCD 中,所以 AC 垂直于 SD;再由 ABCD 为正方形,所以 AC 垂直于 BD;而 BD 与 SD 相交,所以,

AC 垂直于平面 SBD,进而垂直于 SB.选项 B 正确,因为 AB 平行于 CD,而 CD 在平
面 SCD 内,AB 不在平面 SCD 内,所以 AB 平行于平面 SCD.选项 C 正确,设 AC 与

BD 的交点为 O,连接 SO,则 SA 与平面 SBD 所成的角就是∠ASO,SC 与平面 SBD
所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.选项 D 错误,AB 与 SC 所成的角等于 ∠SCD,而 DC 与 SA 所成的角是∠SAB,这两个角不相等. 答案 D 7.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点,则以这 4 个顶点为顶点构成 的几何形体可能是:①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角

形,一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体;⑤每个 面都是直角三角形的四面体.则其中正确结论的序号是( A.①③④⑤ C.①②③⑤ B.①②④⑤ D.①②③④ ).

解析 由长方体的性质知①正确,②不正确;对于③,长方体 ABCDA1B1C1D1 中的 四面体 A1ABD 符合条件,③正确;对于④,长方体 ABCDA1B1C1D1 中的四面体 A1BC1D 符合条件,④正确;对于⑤,长方体 ABCDA1B1C1D1 中的四面体 A1ABC 符合条件. 答案 A 二、填空题 8.下列四个命题中,真命题为_______(写出所有正确结论的编号). ①若两个平面有三个不共线的公共点,则这两个平面重合;②两条直线可以确定 一个平面;③若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l;④空间中,相交于同一点 的三条直线必在同一个平面内. 解析 根据公理容易判断①③是正确的.故选 B. 答案 ①③ 9.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 ________部分. 解析 如图所示,三个平面 α 、β 、γ 两两相交, 交线分别是 a、b、c 且 a∥b∥c. 观察图形,可得 α 、β 、γ 把空间分成 7 部分. 答案 7 10.以下四个命题中,正确命题的序号是________. ①不共面的四点中,任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 解析 ①可以用反证法证明, 假设有三点共线,则由直线和直线外一点确定一个 平面,得这四点共面;②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、 C 共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所 得的四边形四条边可以不在一个平面上.

答案 ① 11.已知线段 AB、CD 分别在两条异面直线上,M、N 分别是线段 AB、CD 的中点, 1 则 MN____________ (AC+BD)(填“>”,“<”或“=”). 2 解析 如图所示,四边形 ABCD 是空间四边形, 而不是平面四边形,要想求 MN 与 AB、CD 的关系, 必须将它们转化到平面来考虑.我们可以连接 AD, 取 AD 的中点为 G,再连接 MG、NG,在△ABD 中,

M、G 分别是线段 AB、AD 的中点,则 MG∥BD,且 MG= BD,同理,在△ADC 中, NG∥AC,且 NG= AC,又根据三角形的三边关系知,MN<MG+NG,即 MN< BD+ AC= (AC+BD).
答案 < 12.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,将△ABD 沿对角线 BD 折起到△A′BD 的位置, 使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落在 BC 边上,则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为 ________. 解析 如题图所示, 由 A′O⊥平面 ABCD, 可得平面 A′BC⊥平面 ABCD, 又由 DC⊥BC 可得 DC⊥平面 A′BC,DC⊥A′B, 即得异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为 90°. 答案 90° 三、解答题 13.如图,已知平面 α ,β ,且 α ∩β =l.设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB? α ,CD?β .求证:AB,CD,l 共点(相交于一点). 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

证明 ∵梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两腰. ∴AB,CD 必定相交于一点. 设 AB∩CD=M. 又∵AB?α ,CD?β ,∴M∈α ,且 M∈β . ∴M∈α ∩β . 又∵α ∩β =l,∴M∈l. 即 AB,CD,l 共点. 14.如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD 1 1 =∠FAB=90°,BC 綉 AD,BE 綉 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2

(1)求证:四边形 BCHG 是平行四边形;

(2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 解析 (1)证明 由题设知,FG=GA,FH=HD,

1 1 所以 GH 綉 AD.又 BC 綉 AD,故 GH 綉 BC. 2 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綉 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綉 GF, 2 所以 EF 綉 BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面.又点 D 在直线 FH 上,所以 C、

D、F、E 四点共面.
15.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1C 与截面 DBC1 交于 O 点,AC,BD 交于 M 点,求证:C1,O,M 三点共线.

证明 ∵C1∈平面 A1ACC1, 且 C1∈平面 DBC1, ∴C1 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点. 又∵M∈AC,∴M∈平面 A1ACC1. ∵M∈BD,∴M∈平面 DBC1, ∴M 也是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点, ∴C1M 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的交线. ∵O 为 A1C 与截面 DBC1 的交点, ∴O∈平面 A1ACC1,O∈平面 DBC1, 即 O 也是两平面的公共点, ∴O∈直线 C1M,即 C1,O,M 三点共线. 16.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、AB 的中点,G、H 分别在 BC、

CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.

(1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)设 FG 与 HE 交于点 P,求证:P、A、C 三点共线. 证明 (1)△ABD 中,E、F 为 AD、AB 中点, ∴EF∥BD. △CBD 中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2, ∴GH∥BD,∴EF∥GH(平行线公理), ∴E、F、G、H 四点共面. (2)∵FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE,

∴P∈面ABC,P∈面ADC? ??P∈直线 AC. 又面ABC∩面ADC=AC ? ∴P、A、C 三点共线.


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