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2017-2018学年高中数学第11课时正弦函数、余弦函数的性质(1)—周期性、奇偶性练习新人教A版必修4课件


第 11 课时

正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性

课时目标 1.掌握周期函数概念,会求三角函数周期. 2.能判断三角函数的奇偶性. 识记强化 1.周期性: (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f(x+T)=f(x),则函数 y=f(x)叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.对于 一个周期函数 f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. (2)y=sinx,y=cosx 都是周期函数,2kπ (k∈Z,k≠0)都是它们的周期,最小正周期 是 2π . 2. y=Asin(wx+φ ), x∈R 及 y=Acos(ω x+φ ), x∈R(其中 A、 ω、 φ 为常数且 A≠0, 2π ω >0)的周期为 T= . ω 3.y=sinx,x∈R 是奇函数,y=cosx,x∈R 是偶函数;sin(-x)=-sinx,cos(-x) =cosx. 4.反映在图象上,正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于 y 轴对称. 课时作业 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) π π ? π? A.当 x= 时,sin?x+ ?≠sinx,所以 不是 f(x)=sinx 的周期 6? 2 6 ? 5π π ? π? B.当 x= 时,sin?x+ ?=sinx,所以 是 f(x)=sinx 的一个周期 6 12 6 ? ? C.因为 sin(π -x)=sinx,所以 π 是 y=sinx 的一个周期 π ?π ? D.因为 cos? -x?=sinx,所以 是 y=cosx 的一个周期 2 ?2 ? 答案:A 解析:T 是 f(x)的周期,对应 f(x)的定义域内任意 x 都有 f(x+T)=f(x)成立. 2.函数 y=-5cos(3x+1)的最小正周期为( ) π A. B.3π 3 2π 3π C. D. 3 2 答案:C 2π 2π 解析:该函数的最小正周期 T= = . ω 3 π x ? ? 3.函数 y=cos? - ?的最小正周期是( ) ? 4 3? A.π B.6π C.4π D.8π 答案:B

1

2π 2π = =6π . |ω | 1 |- | 3 4.下列函数中,最小正周期为 π 的是( ) A.y=sinx B.y=cosx 解析:最小正周期公式 T= C.y=sin D.y=cos2x 2 答案:D 解析:A 项,y=sinx 的最小正周期为 2π ,故 A 项不符合题意;B 项,y=cosx 的最小 x 2π 正周期为 2π ,故 B 项不符合题意;C 项,y=sin 的最小正周期为 T= =4π ,故 C 项不 2 ω 2π 符合题意;D 项,y=cos2x 的最小正周期为 T= =π ,故 D 项符合题意.故选 D. ω ?π ? 5.函数 f(x)=xsin? -x?( ) ?2 ? A.是奇函数 B.是非奇非偶函数 C.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:A ?π ? 解析: 由题, 得函数 f(x)的定义域为 R, 关于原点对称. 又 f(x)=xsin? -x?=xcosx, ?2 ? ∴f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x),∴函数 f(x)为奇函数. 6.已知函数 f(x)= cos?sinx?的定义域为 R,则( ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x)既是奇函数又是偶函数 D.f(x)既不是奇函数又不是偶函数 答案:B 解析:∵函数 f(x) = cos?sinx?的定义域为 R ,关于原点对称,且 f( - x) = cos[sin?-x?]= cos?-sinx?= cos?sinx?= f(x),∴ f(x)= cos?sinx?为 偶函数. 二、填空题 2 7.若 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x -sinx,则当 x<0 时,f(x)=________. 2 答案:-x -sinx 解析:利用奇函数的定义求解.当 x<0 时,-x>0,因 f(x)为奇函数,所以 f(x)=- f(-x)=-[(-x)2-sin(-x)]=-x2-sinx. 8.函数 f(x)是以 2 为周期的函数,且 f(2)=3,则 f(6)=________. 答案:3 解析:∵函数 f(x)是以 2 为周期的函数,且 f(2)=3,∴f(6)=f(2×2+2)=f(2)=3. 9.已知函数 f(x)=ax+bsinx+1,若 f(20 15)=7,则 f(-2 015)=________. 答案:-5 解析: 由 f(2 015)=2 015a+bsin2 015+1=7, 得 2 015a+bsin2 015=6, ∴f(-2 015) =-2 015a-bsin2 015+1=-(2 015a+bsin2 015)+1=-6+1=-5. 三、解答题 1 10.已知函数 f(x)=log |sinx|. 2 (1)求其定义域和值域; (2)判断奇偶性; (3)判断周期性,若是周期函数,求其周期.
2

x

解:(1)|sinx|>0? sinx≠0, ∴x≠kπ (k∈Z). ∴定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z} 1 ∵0<|sinx|≤1,∴log |sinx|≥0, 2 ∴函数的值域是{y|y≥0}. (2)定义域关于原点对称 1 ∵f(-x)=log |sin(-x)| 2 1 =log |sinx|=f(x), 2 ∴函数 f(x)是偶函数. (3)∵|sinx|在定义域{x|x≠kπ ,k∈Z}内是周期函数,且最小正周期是 π , 1 ∴函数 f(x)=log |sinx|是周期函数,最小正周期为 π . 2 1-2sinx 11.设 f(x)=log3 . 1+2sinx (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 1-2sinx 解:(1)∵ >0, 1+2sinx 1 1 ∴- <sinx< , 2 2 π π ∴kπ - <x<kπ + ,k∈Z, 6 6 ∴该函数的定义域为 ? ? π π ?xkπ - <x<kπ + ,k∈Z?. 6 6 ? ? (2)由(1)知定义域关于原点对称, 1+2sinx 又 f(-x)=log3 1-2sinx 1 - 2sin x ? ?-1 =log3? ? ?1+2sinx? 1-2sinx =-log3 1+2sinx =-f(x), ∴该函数为奇函数.

能力提升

12.函数 f(x)满足 f(x+2)=- 答案:4

1

f?x?

,则 f(x)的最小正周期是________.

1 =f(x)所以函数 f(x)的最小正周期是 4. f?x+2? 13.求函数 f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 解:设 f(x)的最小正周期为 T,则有 f(x+T)=f(x),对 x∈R 恒成立.即|sin(x+T)| + |cos(x + T)| = |sinx| + |cosx|. 令 x = 0 , 得 |sinT| + |cosT| = 1. 两 边 平 方 , 得 解析:f(x+4)=-
3

|sinT|·|cosT|=0. ∴角 T 的终边在坐标轴上.∴T=


2

(k∈N+).

? π? ? π? ? π? 又 f?x+ ?=|sin?x+ ?|+|cos?x+ ?| 2? 2? 2? ? ? ? =|cosx|+|-sinx|=|cosx|+|sinx|=f(x), π ∴f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期为 . 2

4


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