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高中数学复习-导数与函数单调性


第四章

导数及应用(选修· 文/理)

高考总复习 数学

第四章

导数及应用(选修· 文/理)

高考总复习 数学

第四章

导数及应用(选修· 文/理)

1.函数单调的一个充分条件 如果f′(x)>0,则f(x)为 设函数y=f(x)在某个区间内可导, 增函数 ; 如果f′(x)<0,则f(x)为减函数 .

2.函数单调的必要条件 设 函 数 y = f(x) 在 某 个 区 间 内 可 导 , 如 果 f(x) 在 该 区 间 内 单调递增(或递减) ,则在该区间内 f′(x)≥0(或f′(x)≤0) .

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第四章

导数及应用(选修· 文/理)

3.求函数单调区间的一般步骤
(1)确定f(x)的 定义域 .

(2)求导数 f′(x)
(3)由 f′(x)>0时


. 当

f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围

,f(x) 在相应区间内是增函数 ;当 f′(x)<0

时,

f(x) 在相应区间内是减函数 .

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第四章

导数及应用(选修· 文/理)

1.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x)、g′(x)分别为f(x)、 g(x) 的导函数,且 f′(x)g(x) + f(x)g′(x) < 0 ,则当 a < x < b 时,有 ( )

A.f(x)g(b)>f(b)g(x)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

[答案] C
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导数及应用(选修· 文/理)

2.(2011·广州一模)函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数) 在(0,+∞)上( )

A.有极大值
C.是增函数

B.有极小值
D.是减函数

[答案] C

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第四章

导数及应用(选修· 文/理)

3.(2010·江西,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与

水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图
形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图象大致为( )

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第四章 [解析 ]

导数及应用(选修· 文/理) 当五角星匀速地升出水面,五角星露出水面的面

积S(t)单调递增,则S′(t)>0,导函数的图象要在x轴上方,排除
B;当露出部分到达图中的Q点到R点之间时,S(t)增长速度变缓,

S′(t)图象要下降,排除C;当露出部分在Q点上下一瞬间时,S(t)
突然变大,此时在Q点处的S′(t)不存在,排除D,而A符合条件, 故选A. [答案] A

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第四章

导数及应用(选修· 文/理)

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第四章

导数及应用(选修· 文/理)

已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x) 的导函数).下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )

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导数及应用(选修· 文/理)

[解析] 当x<-1时,xf′(x)<0,

∴f′(x)>0,f(x)为增函数,
当-1<x<0时,xf′(x)>0,

∴f′(x)<0,f(x)为减函数,
当0<x<1时,xf′(x)<0,

∴f′(x)<0,f(x)为减函数,
当x>1时,xf′(x)>0,f′(x)>0,f(x)为增函数.

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导数及应用(选修· 文/理)

[答案] C

[点评与警示] 根据题目条件和所给图象,判断f′(x)所在区
间函数值的符号,确定f(x)所在区间的单调性,大致可以确定曲

线的形状.

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导数及应用(选修· 文/理)

当x>0时,证明不等式:1+2x<e2x.

[分析]

假设构造函数f(x)=e2x-1-2x.因f(0)=e0-1-0=

0,如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么f(x)>0,则

不等式就可以得到证明.

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导数及应用(选修· 文/理)

[证明] 令f(x)=e2x-1-2x,

∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1).
∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0,即f′(x)>0. ∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0-1-0=0, ∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0.

∴1+2x<e2x.
[点评与警示 ] 通过构造函数,利用导数判断出所构造的 函数的单调性,再将x赋值,利用单调性证明不等式,这也是证 明不等式的一种有效方法.
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证明不等式:ex≥1+x.

[证明]

构造函数f(x)=ex-1-x,利用导数证明函数f(x)=

ex-1-x是增函数,即ex≥1+x.

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导数及应用(选修· 文/理)

(2009·北京)设函数f(x)=xekx(k≠0)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)求函数f(x)的单调区间.
[解] 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、

解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.
(1)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.

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导数及应用(选修· 文/理)
kx

1 (2)由 f′(x)=(1+kx)e =0,得 x=- (k≠0), k 1 若 k>0,则当 x∈(-∞,- )时,f′(x)<0,函数 f(x) k 单调递减, 1 当 x∈(- k,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 1 若 k<0,则当 x∈(-∞,- k)时,f′(x)>0,函数 f(x) 单调递增, 1 当 x∈(- ,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. k

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导数及应用(选修· 文/理)

设x=1和x=2是函数f(x)=x5+ax3+bx+1的两个极值点.
(1)求a和b的值;

(2)求f(x)的单调区间.
[解] (1)∵f′(x)=5x4+3ax2+b

由题设知: f′(1)= 5+ 3a +b = 0 ,且 f′(2) = 24×5 + 22×3a+b=0. 25 解得 a=- ,b=20. 3
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导数及应用(选修· 文/理)

(2)由(1)知

f′(x)=5x4+3ax2+b=5(x2-1)(x2-4)
=5(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)

当x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)时,f′(x)>0.
当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)<0.

因此f(x)的单调增区间是
(-∞,-2),(-1,1),(2,+∞),

f(x)的单调减区间是(-2,-1),(1,2).

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9 2 (2009· 江西)设函数 f(x)=x -2x +6x-a.
3

(1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.
[解] (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),

因为 x∈(-∞, +∞), f′(x)≥m, 即 3x2-9x+(6-m)≥0 3 恒成立,所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤- ,即 m 的最 4 3 大值为-4
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导数及应用(选修· 文/理)

(2)因为当 x<1 时, f′(x)>0; 当 1<x<2 时, f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0; ∴f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减. 5 ∴当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a; 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a; 结合草图知,当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有 5 一个实根.解得 a<2 或 a> . 2 5 ∴a 的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞).

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(2010·全国Ⅰ,21)已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.

(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围.

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[解] (1)f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1).

当 a =时, f′(x) = 2(x + 2)(x - 1)2 ,当 x <- 2 时, f′(x) < 0 ,
当x>-2时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-2)内单调减,在(-2,+∞)内单调增, ∴在x=-2时,f(x)有极小值. 所以f(-2)=-12是f(x)的极小值.

(2)在(-1,1)上,f(x)单调增加当且仅当
f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0, 即3ax2+3ax-1≤0, ① (ⅰ)当a=0时①恒成立;
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导数及应用(选修· 文/理)

1 2 3a (ⅱ)当 a>0 时①成立,即 3a(x+2) - 4 -1≤0 成立, 当且仅当 3a· 12+3a· 1-1≤0. 1 解得 a≤6. 1 2 3a (ⅲ)当 a<0 时①成立,即 3a(x+2) - 4 -1≤0 成立, 3a 当且仅当- 4 -1≤0. 4 解得 a≥-3.

4 1 综上,a 的取值范围是[- , ]. 3 6
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导数及应用(选修· 文/理)

1 .求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,再由

f′(x)>0(或f′(x)<0)解出在定义域内相应的x的范围.
2 .在求含参数的函数的单调区间或判断其单调性时,应

分类讨论.
3.当求出函数的单调区间(如单调递增区间)有多个时,函 数的单调区间不一定是这些区间的并集. 4.在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为 增(或减)函数的充分条件.

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导数及应用(选修· 文/理)

5.若可导函数y=f(x)在(a,b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)而使导

数f′(x)=0的点仅有有限个,则函数y=f(x)在(a,b)内仍是单调
递增(或递减)函数.

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