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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书文


4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1. sin α (2)商数关系: =tan α . cos α 2.各角的终边与角 α 的终边的关系 2kπ + 角 α (k∈Z) π +α -α
2 2

图示

与角 α 终边的关系 角

相同 π -α

关于原点对称 π -α 2

关于 x 轴对称 π +α 2

图示

与角 α 终边的关系

关于 y 轴对称

关于直线 y=x 对称

3.六组诱导公式 组数 角 α (k∈Z) 正弦 余弦 正切 口诀 sin α cos α tan α 一 2kπ + 二 π +α -sin α -cos α tan α 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π -α sin α -cos α -tan α 函数名改变符号看
1

五 π -α 2 cos α sin α

六 π +α 2 cos α -sin α

函数名不变

符号看象限

象限

【知识拓展】 1.诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ; (sin α +cos α ) +(sin α -cos α ) =2; (sin α +cos α ) -(sin α -cos α ) =4sin α cos α . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α ,β 为锐角,则 sin α +cos β =1.( × ) sin α (2)若 α ∈R,则 tan α = 恒成立.( × ) cos α (3)sin(π +α )=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( × ) π (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶 2 数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ )
2 2 2 2 2 2 2

5 1.(2015·福建改编)若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值为 13 5 答案 - 12 5 12 解析 ∵sin α =- ,且 α 为第四象限角,∴cos α = , 13 13 sin α 5 ∴tan α = =- . cos α 12 3 3π 2.(教材改编)已知 cos θ = ,且 <θ <2π ,那么 tan θ 的值为 5 2 4 答案 - 3 解析 因为 θ 为第四象限角,所以 tan θ <0,sin θ <0, 4 sin θ 4 2 sin θ =- 1-cos θ =- ,所以 tan θ = =- . 5 cos θ 3 3.(2016·连云港模拟)计算:sin 11 10 π +cos π = 6 3 . .

.

2

答案 -1 解析 ∵sin cos 11 5 5π 1 π =sin(π + π )=-sin =- , 6 6 6 2

10 4π 4π 1 π =cos(2π + )=cos =- , 3 3 3 2 11 10 π +cos π =-1. 6 3 .

∴sin

2sin α -cos α 4.(教材改编)已知 tan α =1,则 = sin α +cos α 答案 1 2

2tan α -1 2-1 1 解析 原式= = = . tan α +1 1+1 2 tan?3π -α ? 5.(教材改编)化简: 3π sin?π -α ?sin? -α ? 2 7π sin?2π -α ?cos?α - ? 2 + = 3π sin? +α ?cos?2π +α ? 2 答案 1 解析 因为 tan(3π -α )=-tan α ,sin(π -α )=sin α , 3π sin( -α )=-cos α ,sin(2π -α )=-sin α , 2 7π π cos(α - )=cos(α + )=-sin α , 2 2 3π sin( +α )=-cos α ,cos(2π +α )=cos α , 2 -tan α -sin α ?-sin α ? 所以原式= + sin α ?-cos α ? -cos α cos α = = = 1 sin α - 2 2 cos α cos α 1-sin α 2 cos α cos α =1. 2 cos α
2 2 2

.

题型一 同角三角函数关系式的应用

3

1 5π 3π 例 1 (1)已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值为 8 4 2

.

2 (2)(2016·苏州期末)已知 θ 是第三象限角,且 sin θ -2cos θ =- ,则 sin θ +cos θ 5 = 答案 (1) . 3 2 31 (2)- 25

5π 3π 解析 (1)∵ <α < , 4 2 ∴cos α <0,sin α <0 且 cos α >sin α , ∴cos α -sin α >0. 1 3 2 又(cos α -sin α ) =1-2sin α cos α =1-2× = , 8 4 ∴cos α -sin α = 3 . 2

2 ? ?sin θ -2cos θ =- , 5 (2)由? 2 2 ? ?sin θ +cos θ =1,



8 21 3 7 2 5cos θ - cos θ - =0,解得 cos θ = 或- . 5 25 5 25 7 因为 θ 是第三象限角,所以 cos θ =- , 25 24 31 从而 sin θ =- ,所以 sin θ +cos θ =- . 25 25 sin α 2 2 思维升华 (1)利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 = cos α tan α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1-sin α . 已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α = 答案 -1 .
2 2 2 2 2 2 2

?sin α -cos α = 2, 解析 由? 2 ?sin α +cos2α =1,
消去 sin α 得 2cos α +2 2cos α +1=0, 即( 2cos α +1) =0,
2 2

4

∴cos α =-

2 . 2

又 α ∈(0,π ), 3π ∴α = , 4 3π ∴tan α =tan =-1. 4 题型二 诱导公式的应用 例 2 (1)(2016·宿迁模拟)已知 f(x)= 3 sin?2π -x?·cos? π +x? 2 21π ,则 f(- )= 11 4 cos?3π -x?·sin? π -x? 2

.

sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? (2)已知 A= + (k∈Z), 则 A 的值构成的集合是 sin α cos α 答案 (1)-1 (2){2,-2} -sin x·sin x 2 解析 (1)f(x)= =-tan x, -cos x·?-cos x?

.

f(-

21π 21π 2 23 )=-tan (- )=-tan π =-1. 4 4 4

sin α cos α (2)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α 当 k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α ∴A 的值构成的集合是{2,-2}. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数 倍去掉后再进行运算,如 cos(5π -α )=cos(π -α )=-cos α . 3π tan?π +α ?cos?2π +α ?sin?α - ? 2 (1)化简: = cos?-α -3π ?sin?-3π -α ? (2)(2016·南京模拟)已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则

.

5

π cos? +α ?·sin?-π -α ? 2 的值为 11π 9π cos? -α ?·sin? +α ? 2 2 3 答案 (1)-1 (2)- 4

.

π tan α cos α sin[-2π +?α + ?] 2 解析 (1)原式= cos?3π +α ?[-sin?3π +α ?] π tan α cos α sin? +α ? 2 tan α cos α cos α = = ?-cos α ?sin α ?-cos α ?sin α tan α cos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α ?-sin α ?sin α (2)原式= =tan α , ?-sin α ?cos α 3 根据三角函数的定义得 tan α =- . 4 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3 (1)已知 α 为锐角, 且有 2tan(π -α )-3cos( +β )-1=0,则 sin α 的值是 答案 3 10 10 . π +β )+5=0, tan(π +α )+6sin(π 2

π 解析 2tan(π -α )-3cos( +β )+5=0 化简为 2 -2tan α +3sin β +5=0, tan(π +α )+6sin(π +β )-1=0 化简为 tan α -6sin β -1=0. 由①②消去 sin β ,解得 tan α =3. 又 α 为锐角,根据 sin α +cos α =1, 3 10 解得 sin α = . 10 1 (2)已知-π <x<0,sin(π +x)-cos x=- . 5 ①求 sin x-cos x 的值; sin 2x+2sin x ②求 的值. 1-tan x 1 解 ①由已知,得 sin x+cos x= , 5
2 2 2





6

1 2 2 sin x+2sin xcos x+cos x= , 25 24 整理得 2sin xcos x=- . 25 49 2 ∵(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= . 25 由-π <x<0,知 sin x<0, 又 sin x+cos x>0, ∴cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=- . 5 ② sin 2x+2sin x 2sin x?cos x+sin x? = 1-tan x sin x 1- cos x 2sin xcos x?cos x+sin x? cos x-sin x
2



24 1 - × 25 5 24 = =- . 7 175 5 引申探究 本题(2)中,若将条件“-π <x<0”改为“0<x<π ”,求 sin x-cos x 的值. 24 解 若 0<x<π ,又 2sin xcos x=- , 25 ∴sin x>0,cos x<0, ∴sin x-cos x>0, 49 2 又(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= , 25 7 故 sin x-cos x= . 5 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时, 关键是寻求条件、 结论间 的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响. 已知 sin α 是方程 5x -7x-6=0 的根, 3π 3π 2 sin?α + ?sin? -α ?tan ?2π -α ?tan?π -α ? 2 2 求 的值. π π cos? -α ?cos? +α ? 2 2
2

7

3 2 解 由于方程 5x -7x-6=0 的两根为 2 和- , 5 3 所以 sin α =- , 5 4 2 2 2 再由 sin α +cos α =1,得 cos α =± 1-sin α =± , 5 3 所以 tan α =± , 4 -cos α ?-cos α ?·tan α ?-tan α ? 所以原式= sin α ·?-sin α ? 3 =tan α =± . 4
2

7.分类讨论思想在三角函数中的应用

? 5π sin? +α 2 5 ? 2 典例 (1)已知 sin α = ,则 tan(α +π )+ 5 ? 5π cos? -α ? 2

? ? ? = ? ? ?
.

.

sin?kπ -α ?cos[?k-1?π -α ] (2)已知 k∈Z,化简: = sin[?k+1?π +α ]cos?kπ +α ?

思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时, 要根据角的范围对开方 结果进行讨论. (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论. 2 5 解析 (1)∵sin α = >0,∴α 为第一或第二象限角. 5

?5π ? sin? +α ? 2 cos α ? ? tan(α +π )+ =tan α + 5 π sin α ? ? cos? -α ? 2 ? ?
= sin α cos α 1 + = . cos α sin α sin α cos α
2

①当 α 是第一象限角时,cos α = 1-sin α = 1 5 原式= = . sin α cos α 2

5 , 5

②当 α 是第二象限角时,cos α =- 1-sin α =- 1 5 原式= =- . sin α cos α 2

2

5 , 5

8

5 5 综合①②知,原式= 或- . 2 2 (2)当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ -α ?cos[?2n-1?π -α ] 原式= sin[?2n+1?π +α ]cos?2nπ +α ? = = sin?-α ?·cos?-π -α ? sin?π +α ?·cos α -sin α ?-cos α ? =-1; -sin α ·cos α

当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[?2n+1?π -α ]·cos[?2n+1-1?π -α ] 原式= sin[?2n+1+1?π +α ]·cos[?2n+1?π +α ] = = sin?π -α ?·cos α sin α ·cos?π +α ? sin α ·cos α =-1. sin α ?-cos α ?

综上,原式=-1. 5 5 答案 (1) 或- (2)-1 2 2

4 1.(2016·盐城模拟)已知 cos α = ,α ∈(0,π ),则 tan α 的值为 5 答案 3 4

.

解析 ∵α ∈(0,π ), ∴sin α = 1-cos α =
2

4 2 3 1-? ? = , 5 5

sin α 3 由 tan α = ,得 tan α = . cos α 4 1 π 2.已知 cos α = ,且- <α <0, 3 2 则 cos?-α -π ?sin?2π +α ?tan?2π -α ? = 3π π sin? -α ?cos? +α ? 2 2 .

答案 -2 2 ?-cos α ?·sin α ·?-tan α ? 解析 原式= =tan α , ?-cos α ?·?-sin α ? 1 π 2 2 2 ∵cos α = ,- <α <0,∴sin α =- 1-cos α =- , 3 2 3
9

sin α ∴tan α = =-2 2. cos α 3.若角 α 的终边落在第三象限,则 答案 -3 解析 由角 α 的终边落在第三象限, 得 sin α <0,cos α <0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2 |cos α | |sin α | -cos α -sin α =-3. π 4.若 sin(π -α )=-2sin( +α ),则 sin α ·cos α 的值为 2 2 答案 - 5 π 解析 由 sin(π -α )=-2sin( +α ),可得 sin α =-2cos α ,则 tan α =-2,sin 2 sin α ·cos α tan α 2 α ·cos α = = =- . 2 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5 5. 已 知 函 数 f(x) = asin(π x + α ) + bcos(π x + β ) , 且 f(4) = 3 , 则 f(2 017) 的 值 为 答案 -3 解析 ∵f(4)=asin(4π +α )+bcos(4π +β ) =asin α +bcos β =3, ∴f(2 017)=asin(2 017π +α )+bcos(2 017π +β ) =asin(π +α )+bcos(π +β ) =-asin α -bcos β =-3. 6.(2016·扬州模拟)若 sin θ , cos θ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根, 则 m 的值为 答案 1- 5 解析 由题意知 sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 2 4 又(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ ,∴ =1+ , 4 2 解得 m=1± 5,又 Δ =4m -16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5.
2 2 2

cos α 1-sin α
2



2sin α 1-cos α
2

的值为

.

.

.

.

m

m

m2

m

10

7. 已 知 = 答案 - 7 4

α

为 钝 角 , sin(

π 4 .

+ α ) =

3 , 则 4

sin(

π 4

- α )

π 7 解析 因为 α 为钝角,所以 cos( +α )=- , 4 4 π π π π 7 所以 sin( -α )=cos[ -( -α )]=cos( +α )=- . 4 2 4 4 4 8.(2016·江苏如东高级中学期中)若 sin α =2cos α , 则 sin α +2cos α 的值为 答案 6 5
2 2

.

解析 由 sin α =2cos α ,得 tan α =2, sin α +2cos α 2 2 因此 sin α +2cos α = 2 2 sin α +cos α = tan α +2 4+2 6 = = . 2 tan α +1 4+1 5
2 2 2

9.已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2x-y=0 上,则 3π sin? +θ ?+cos?π -θ ? 2 = π sin? -θ ?-sin?π -θ ? 2 答案 2 解析 由题意可得 tan θ =2, -cos θ -cos θ -2 原式= = =2. cos θ -sin θ 1-tan θ 10.(2016·无锡模拟)已知 α 为第二象限角,则 cos α 答案 0 解析 原式=cos α =cos α sin α +cos α +sin α 2 cos α
2 2

.

1+tan α +sin α

2

1 1+ 2 = tan α

.

sin α +cos α 2 sin α

2

2

1 1 +sin α , |cos α | |sin α |

因为 α 是第二象限角,所以 sin α >0,cos α <0, 所以 cos α 1 1 +sin α =-1+1=0,即原式等于 0. |cos α | |sin α |

11.已知 sin(3π +α )=2sin?

?3π +α ? 2

?,求下列各式的值: ? ?

11

sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α . 解 由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5×2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α sin α +sin α 8 = = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4 1 12.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 2 解 (1)∵(sin A+cos A) = , 25 1 ∴1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 (2)∵sin Acos A<0, 又 0<A<π ,∴cos A<0, ∴A 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形. 49 2 (3)(sin A-cos A) =1-2sin Acos A= . 25 又 sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= , 5 4 3 ∴sin A= ,cos A=- , 5 5 4 故 tan A=- . 3 cos ?nπ +x?·sin ?nπ -x? 13.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007
2 2 2 2 2 2

12

解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,

f(x)=
2

cos ?2kπ +x?·sin ?2kπ -x? 2 cos [?2×2k+1?π -x]
2 2 2

2

2



cos x·sin ?-x? cos x·?-sin x? = 2 2 cos ?π -x? ?-cos x?
2

=sin x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时, cos [?2k+1?π +x]·sin [?2k+1?π -x] f(x)= 2 cos {[2×?2k+1?+1]π -x} = = cos [2kπ +?π +x?]·sin [2kπ +?π -x?] 2 cos [2×?2k+1?π +?π -x?] cos ?π +x?·sin ?π -x? ?-cos x? sin x 2 = =sin x, 2 2 cos ?π -x? ?-cos x?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

综上得 f(x)=sin x. π 503π (2)由(1)得 f( )+f( ) 2 014 1 007 =sin =sin =sin
2

π 21 006π +sin 2 014 2 014 π π 2 π +sin ( - ) 2 014 2 2 014 π 2 π +cos =1. 2 014 2 014

2

2

13



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