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江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题:概率


江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题 概率
一、填空题 1、 (2014 年江苏高考)从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率 是 ▲ . 2、 (2012 年江苏高考)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 3、 (2015 届江苏南京高三 9 月调研)从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加 学校会议,则甲被选中的概率是 ▲ . 4、 (2015 届江苏苏州高三 9 月调研)一只口袋内装有大小相同的 5 只球 , 其中 3 只白球 , 2 只黑球 , 从 中一次性随机摸出 2 只球 , 则恰好有 1 只是白球的概率为 ▲ 5、 (南通市 2014 届高三第三次调研)袋中有 2 个红球,2 个蓝球,1 个白球,从中一次取 出 2 个球,则取出的球颜色相同的概率为 ▲ . 6、 (徐州市 2014 届高三第三次模拟)一个正方体玩具的 6 个面分别标有数字 1,2,2,3,3,3.若 连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为 5 的概率为 ▲ 7、 (南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模) )盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从 盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码,则两次抽取的卡片号码中至少有一 个为偶数的概率为 ▲ 8、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二) )在 1,2,3,4 四个数中随机地抽取一个数记为 a,

a 是整数”的概率为 ▲ b 9、 (2014 江苏百校联考一) 投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字
再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 b,则“ 记为 a ,又 n( A) 表示集合的元素个数, A ? x || x 2 ? ax ? 3 |? 1, x ? R ,则 n( A) ? 4 的概率为 10、 (2014 南通二模)某学校有 8 个社团,甲、乙两位同学各自参加其中一个社团,且他俩参加各个 社团的可能性相同,则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ . 11、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 3 月调研(一) )从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙 两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲

?

?

12、 (南京、盐城市 2014 届高三第一次模拟).现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则 甲被选中的概率为 .

·1 ·

二、解答题 1、 (2014 年江苏高考)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外 完全相同. (1)从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球的颜色相同的概率; (2)从盒中一次随机抽出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1 , x2 , x3 ,随机变量 X 表示

x1 , x2 , x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) .

2、 (2012 年江苏高考)设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,

? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 .
(1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

3、 (2015 届江苏南京高三 9 月调研)某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白球,3 个黑球的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 1红1白 1红1黑 2黑 1白1黑 奖励 10 元 5元 2元 不获奖

(1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率.

4、 (南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模) ) 某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且 申请其中任何一所大学是等可能的.
·2 ·

(1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率; (2)求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X).

5、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 3 月调研(一) )甲乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次
投篮投中的概率均为

2 ,且各次投篮的结果互不影响.甲同学决定投 5 次,乙同学决定投中 1 3

次就停止,否则就继续投下去,但投篮次数不超过 5 次. (1)求甲同学至少有 4 次投中的概率; (2)求乙同学投篮次数 x 的分布列和数学期望.

6、 (江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 顶点 A 起跳,每步从一顶 点跳到相邻的顶点. (1)求跳三步跳到 C1 的概率 P ; (2)青蛙跳五步,用 X 表示跳到过 C1 的次数,求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) .
D1 A1 B1 C1

7、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 某初级中学有三个年级,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 370 380 初二年级 z 370 初三年级 200 300
A

D B

C

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中任 选 2 名学生,求至少有 1 名女生的概率; (3) 用随机抽样的方法从初二年级女生中选出 8 人, 测量它们的左眼视力,结果如下:1.2, 1.5,
·3 ·

1.2, 1.5, 1.5, 1.3, 1.0, 1.2.把这 8 人的左眼视力看作一个总体,从中任取一个数,求 该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

8、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽 取 100 名 志 愿 者 , 其 年 龄 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 其 中 年 龄 分 组 区 间 是: ? 20, 25? , ? 25,30? , ?30,35? , ?35, 40 ? , ?40, 45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名 志愿者中年龄在 ?35, 40 ? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方 法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中 采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责 人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

9、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续取球,且取 出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X, 若 P(X=2)= (1)n 的值; (2)X 的概率分布与数学期望. 7 求: 30


10、某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为 P1 ?

2 , 乙的命中率为 P2 , 在射击比武活动中每人 3

射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小 组为“先进和谐组”. 若 P2 ?

1 , 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率; 2

计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为 ? , 如果

E? ? 5 , 求 P2 的取值范围.

·4 ·

参考答案
一、填空题 1\、

1 3

2、

3 5
11、

1 3、 2

4、0.6

5、 1 5

6、

1 3

5 7、 9

8、

1 3

9\

1 3

10、 1 8 二、解答题

2 3

12、

2 3

1、 【答案】 (1) 【解析】

5 20 ; (2) E ( X ) ? . 18 9

2、解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,
·5 ·

∴共有 8C32 对相交棱。 ∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴ P(? ? 2)=

6 6 1 4 1 6 ? ? , P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = 。 2 C12 66 11 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P (? )

0

1

2

6 11 6 1 6? 2 ∴其数学期望 E (? )=1 ? ? 2 ? = 。 11 11 11
C3 3 1 3、解: (1)因为 P(X=10)= 2= ,P(X=5)= 2= , C 10 C 10 1
5 5 1

4 11

1 11

C3 3 C3 3 P(X=2)= 2= ,P(X=0) = 2= , 10 C5 C5 10 所以 X 的概率分布表为: X P 10 1 10 5 3 10 2 3 10 0 3 10

2

1

??????????? 4 分 1 3 3 3 从而 E(X)=10? +5? +2? +0? =3.1 元. 10 10 10 10 ??????????? 6 分

7 (2)记该顾客一次摸球中奖为事件 A,由(1)知,P(A)= , 10 91 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P=1-[1-P(A)]2= . 100 答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91 . 100 ??????????? 10 分

4、解(1)记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A, C42×22 24 8 P(A)= = = . 34 81 27
·6 ·

8 答:恰有 2 人申请 A 大学的概率为 . 27 (2)X 的所有可能值为 1,2,3. 3 1 P(X=1)= 4= , 3 27 C43×A32+3×A32 42 14 P(X=2)= = = , 34 81 27 C42×A33 36 4 P(X=3)= = = . 34 81 9 X 的概率分布列为: X P 1 错误! 2 错误! 3 错误!

?????????4 分

1 14 4 65 所以 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× = . 27 27 9 27

?????????10 分

5.解: (1)设甲同学在 5 次投篮中,有 x 次投中, “至少有 4 次投中”的概率为 P ,则
P ? P( x ? 4) ? P( x ? 5)

???????2 分 ???????4 分

2 2 2 112 5 2 5 = C54 ( )4 (1 ? )1 ? C5 . ( ) (1 ? )0 = 3 3 3 3 243
(2)由题意 x ? 1, 2,3, 4,5 .

P(x ? 1) ?

2 1 2 2 1 1 2 2 ?1? 2 2 , P(x ? 2) ? ? ? , P(x ? 3) ? ? ? ? , P(x ? 4) ? ? ? ? ? , 3 3 3 9 3 3 3 27 ? 3 ? 3 81
4

3

1 ?1? P(x ? 5) ? ? ? ? . ? 3 ? 81
x 的分布表为 x

1

2

3

4

5

P

2 3

2 9

2 27

2 81

1 81
???????8 分

2 2 2 2 1 121 x 的数学期望 Ex ? 1? ? 2 ? ? 3 ? . ???????10 分 ? 4? ? 5? ? 3 9 27 81 81 81 6、解:将 A 标示为 0,A1、B、D 标示为 1,B1、C、D1 标示为 2,C1 标示为 3,从 A 跳到 B 记为 01,从 B 跳到 B1 再跳到 A1 记为 121,其余类推.从 0 到 1 与从 3 到 2 的概率为 1,从 1 到 0 与从 2 到
3 的概率为

1 2 ,从 1 到 2 与从 2 到 1 的概率为 . 3 3
·7 ·

(1)P=P(0123)=1 ? (2)X=0,1,2.

2 1 2 ? = ; ………4′ 3 3 9

P(X=1)=P(010123)+P(012123)+P(012321)

1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 =1 ? ? 1 ? ? +1 ? ? ? ? +1 ? ? ? 1 ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 26 2 1 1 6 = ,P(X=2)=P(012323)=1 ? ? ? 1 ? = , 81 3 3 3 81 49 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 81
或 P(X=0)=P(010101)+P(010121)+P(012101)+P(012121) =1 ?

1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 49 ? 1 ? ? 1+1 ? ? 1 ? ? +1 ? ? ? ? 1+1 ? ? ? ? = , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81 26 6 38 +2 ? = .…………10′ ? E(X)=1 ? X 0 1 2 81 81 81
p

7、答案:

49 81

26 81

6 81

7 (S1, S2);所以任选 2 名学生,至少有 1 名女生的概率为 10 .????10 分

1 10.4 x ? (1.2 ? 1.5 ? 1.2 ? 1.5 ? 1.5 ? 1.3 ? 1.0 ? 1.2) ? ? 1.3 8 8 (3) 样本的平均数为 ,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.1 的数为 1.2, 1.2, 1.3, 1.2.这 4 个数,总的个数为 8,

4 ? 0.5 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.1 的概率为 8 .????15 分
8、答案:
·8 ·

:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除 ?35,40 ? 外的频率和为 0.70,? x ?

1 ? 0.70 ? 0.06 5
………3 分

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40 ? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人). (II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.故 X 的可能取值为 0,1,2,3,

P? X ? 0? ? P? X ? 3? ?

1 2 1 C83 C12 C82 C12 C8 14 28 44 ? ? ? ? , , , ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? 3 3 3 285 95 95 C 20 C 20 C 20 3 C12 11 ,故 X 的分布列为 ? 3 57 C 20

X P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57
…………10 分

14 28 44 11 171 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? . 285 95 95 57 95 5
1 1 A3 ? An 3n 7 ? ? , 2 (n ? 3)(n ? 2) 30 An?3

9、解: (1)由题知 P( X ? 2) ?

即7n 2 ? 55n ? 42 ? 0,即(7n ? 6)(n ? 7) ? 0. 因为n ? N * , 所以n ? 7.????5分
(2)由题知,X 的可能取值为 1,2,3,4,所以

P( X ? 1) ?

1 1 A7 A32 A7 7 7 7 ? , P ( X ? 2 ) ? , P ( X ? 3 ) ? ? , 1 3 30 120 A10 10 A10

P( X ? 4) ? 1 ?

7 7 7 1 ? ? ? , 10 30 120 120

所以,X 的概率分布表为

X P

1

2

3

4

7 10

7 30

7 120

1 120

所以 E ( X ) ? 1 ?

7 7 7 1 11 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 10 30 120 120 8
·9 ·

11 …………10 分 . 8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 10、解: (1)可得 P ? (C 2 ? ? )(C 2 ? ? ) ? ( ? )( ? ) ? ?????4 分 3 3 2 2 3 3 2 2 3
答 X 的数学期望是 (2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为

2 2 2 8 4 2 1 2 1 1 P ? (C 2 ? ? )[C 2 ? P2 ? (1 ? P2 )] ? ( ? ) P2 ? P2 ? P2 ,而 ? ~ B(12, P) ,所以 E? ? 12 P , 3 3 3 3 9 9 8 4 2 3 由 E? ? 5 ,知 ( P2 ? P2 ) ? 12 ? 5 ,解得 ? P2 ? 1 ????????????10 分 9 9 4

·10·


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