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1.2.1任意角的三角函数定义


二师附中 高一级

1、复习旧知 1、终边相同的角的集合:

{? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z}
0

或{? | ? ? ? ? k ? 2? , k ? Z}
2、特殊角的度数与弧度数的对应值表:
度 弧 度

0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3? 5? 3 4 6

?

3? 2? 2

2、引 入 初中时学过的锐角三角函数的定义 如图:在Rt△ABC中,

A

b sin ? ? c b tan ? ? a

a cos? ? c

c

b
C

? B a

思考:任意角的三角函数如何定义呢?

3、探究
探究:在直角坐标系中,锐角 终边上的点的坐标表示吗?
r ?| OP |? 记 x2 ? y2 = 1

? 的三角函数能用其
y

MP sin ? ? OP

= =

y ry

P( x, y)
P( x, y)

OM cos? ? OP
MP tan ? ? OM

x x r

?
O M x

y = x

4、任意角三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么: y

(1)y叫做α 的正弦(sine), 记作sinα ,即sinα =y (2)x叫做α的余弦(cosine), 记作cosα,即cosα=x
y (3) x 叫做α的正切(tangent), y

O

?

x

P(x,y)

记作tanα,即tanα=

x

(x≠0)

统称为三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变 量,以单位圆上点的坐标或坐标比值为 函数值的函数,我们将它们统称为三角 函数。 由于角的集合与实数集之间可以建立 一一对应关系,三角函数可以看成是 自变量为实数的函数.

知识建构

x2 ? y 2
y r x r y x
R R

知识建构

? ? ? ?
y

? ? ? ?

? ? ? ?

x

x和y

知识建构

y

x y x

正弦 余弦 正切

sin ?

y

cos? tan ?

x y ( x ? 0) x

单位圆中,r ? 1.

知识建构

0 0
1

? 6
1 2 3 2 3 3

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2 1 2

? 2
1

0

0

1

3

不存在

题组一

解: r ?

x 2 ? y 2 ? (?3) 2 ? 42 ? 5

y 4 x ?3 3 sin ? ? ? ; cos ? ? ? ?? r 5 r 5 5 y 4 4 tan ? ? ? ?? x ?3 3
解: r ?

x 2 ? y 2 ? b 2 ? 42

x b 3 cos ? ? ? ?? r 5 b 2 ? 42 ? b ? ?3

题组二

解:

设? 终边上一点为(x, y) y 由sin ? ? ? 0得y ? 0; r y 再由 tan ? ? ? 0可得x ? 0 x ? ( x, y )在第三象限,从而知? 是第三象限角。

小结

x2 ? y 2
y r x r y x
R R

知识建构

? ? ? ?
y

? ? ? ?

? ? ? ?

x

x和y

y

x y x

正弦 余弦 正切

sin ?

y

cos? tan ?

x y ( x ? 0) x

单位圆中,r ? 1.

4、解题方法总结
已知终边上一点P(x,y)的坐标,直接用定义

r? x ?y
2

2

y sin ? ? ; r x cos ? ? ; r y tan ? ? (x ? 0) x

5 12 5 sin ? ? ? ;cos ? ? ? ; tan ? ? . 13 13 12

3
三 二
二或四

二或三

六、作业 见学案


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