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高一数学人教A版必修1课后强化作业:1.3.1 第2课时《函数的最值》


第一章

1.3

1.3.1

第二课时

一、选择题 1.设函数 f(x)的定义域为 R,以下三种说法:①若存在常数 M,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤M,则 M 是 f(x)的最大值;②若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,且 x≠x0 有 f(x)<f(x0), 则 f(x0)是 f(x)的最大值;③若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,且 x≠x0 有 f(x)≤f(x0),则 f(x0) 是 f(x)的最大值.其中正确的个数为( A.0 C.2 [答案] C
? ?2x+6,x∈?1,2], 2.函数 f(x)=? 则 f(x)的最大值、最小值是( ?x+7,x∈[-1,1], ?

) B .1 D.3

)

A.10,6 C.8,6 [答案] A

B.10,8 D.以上都不对

[解析] f(x)=2x+6,x∈[1,2]最大值为 10,最小值为 8,f(x)=x+7,x∈[-1,1)最大值
?2x+6?1≤x≤2? ? 为 8,最小值 6.因此 f(x)=? 最大值为 10,最小值为 6,故选 A. ? ?x+7?-1≤x<1?

3. (2013~2014 石家庄高一检测)若函数 y=ax+1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2, 则实数 a 的值是( A.2 C.2 或-2 [答案] C [解析] 当 a=0 时,不满足题意;当 a>0 时,y=ax+1 在[1,2]上为增函数,∴2a+1- (a+1)=2,解得 a=2;当 a<0 时,y=ax+1 在[1,2]上为减函数,∴a+1-(2a+1)=2,解 得 a=-2,故 a=± 2. 4.函数 f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4],则 f(x)的最大值为( A.-1 C.3 [答案] C [解析] f(x)=x2-4x+3 的对称轴为 x=2,所以最大值为 f(4)=42-4×4+3=3. 5.函数 f(x)= 2x-1+x 的值域是( ) B .0 D.-2 ) ) B.-2 D.0

1 A.[ ,+∞) 2 C.(0,+∞) [答案] A

1 B.(-∞, ] 2 D.[1,+∞)

1 1 [解析] ∵y= 2x-1和 y=x 在[ ,+∞)上都是增函数,∴f(x)在[ ,+∞)上是单调增 2 2 函数. 1 1 ∴f(x)≥f(x)min=f( )= . 2 2 1 1 6.若 0<t≤ ,则 -t 的最小值是( 4 t A.-2 C.2 [答案] B 1 1 1 15 [解析] y= -t 在(0, ]上为减函数,当 t= 时 y 有最小值 ,故选 B. t 4 4 4 二、填空题 k 7.若函数 y= (k>0)在[2,4]上的最小值为 5,则 k 的值为________. x [答案] 20 k k k [解析] ∵k>0,∴函数 y= 在[2,4]上是减函数,∴当 x=4 时,ymin= ,此时 ,此时 x 4 4 k =5,∴k=20. 4 8.函数 f(x)=x2+bx+1 的最小值是 0,则实数 b=________. [答案] ± 2 [解析] f(x)是二次函数,二次项系数 1>0, b b2 b2 则最小值为 f(- )= - +1=0, 2 4 2 解得 b=± 2. f?x1?-f?x2? 9. (能力拔高题)定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1, x2, 总有 > x1-x2 0 成立,且 f(-3)=a,f(-1)=b,则 f(x)在[-3,-1]上的最大值是________. [答案] b f?x1?-f?x2? [解析] 由 >0, 得 f(x)在 R 上是增函数, 则 f(x)在[-3, -1]上的最大值是 f(- x1-x2 1)=b. ) 15 B. 4 D.0

三、解答题 10.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)函数 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. ∵x∈[-5,5],∴f(x)min=f(1)=1; f(x)max=f(-5)=37. (2)∵f(x)=(x+a)2+2-a2, ∴函数的对称轴为直线 x=-a. ∵函数 f(x)在[-5,5]上是单调的, ∴-a≤-5 或-a≥5, 即 a≥5 或 a≤-5. ∴实数 a 的取值范围是{a|a≥5 或 a≤-5}. x2+2x+3 11.已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)). x (1)证明函数 f(x)为增函数; (2)求 f(x)的最小值. 3 [解析] 将函数式化为:f(x)=x+ +2. x (1)任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 3 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1- ). x1x2 ∵x1<x2, ∴x1-x2<0, 3 又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1- >0. x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即:f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 (2)当 x=2 时,f(x)有最小值 . 2 12.某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价为 60 元,该厂为鼓励销售 订购,决定当一次订量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式. (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1 000 个,利 润又是多少元(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本价)?

[分析] 本题属于函数建模应用题, 解决此类问题的关键在于读懂题, 恰当设出未知量, 列出函数关系. [解析] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 60-51 x0=100+ =550. 0.02 因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价格为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60. 当 100<x<550 时, P=60-0.02(x-100)=62- 当 x≥550 时,P=51. 60,0<x≤100 ? ? x 所以 P=f(x)=?62-50,100<x<550,x∈N ? ?51,x≥550. x . 50

.

(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则 20x,0<x≤100 ? ? x L=(P-40)x=?22x-50,100<x<550,?x∈N? ? ?11x,x≥550.
2

当 x=500 时,L=6 000; 当 x=1 000 时,L=11 000. 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6 000 元;如果订购 1 000 个,利润是 11 000 元.


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