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高中数学人教版


2012.3.26

一.不等式
1.两实数大小的比较

?a ? b ? a ? b ? 0 ? ?a ? b ? a ? b ? 0 ?a ? b ? a ? b ? 0 ?
2.不等式的性质:8条性质.

3.基 本不 等式 定理

? ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ? ? a 2 ? b ? 1 (a ? b ) 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?a?b? ?整 式 形 式 ab ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? a2 ? b2 ? ab ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2 ? ? ?根 式 形 式 ? 2 2 ? ?a ? b ? 2(a ? b ) ? ? ? ? b a ? 2(a, b同 号 ) ?分 式 形 式 ? a b ? 1 ? ? ? a? 0? a? a ? 2 ? ? ?倒 数 形 式 1 ?a ? 0 ? a ? ? ?2 ? a ? ?

4.公式:

2 a?b ? ab ? ? a ?1 ? b ?1 2

a 2 ? b2 2
1

3.解不等式
(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式: 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) y x1 O x x2 △>0

? ?x ? ax ? b(a ? 0)? ?x ? ?
△=0

b (a ? 0) a b (a ? 0) a
△<0

y

y

O

x

O x1

x

ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= ?
? b 2a

没有实根

b 2a

ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ (y>0) 的 解 集 ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (y<0) 的 解 集 Φ

}

R

Φ

2

一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式:

? f (x) ? g( x ) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ? 0 ? ? f (x) ?f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ? ?0?? ? g( x ) ? g( x ) ? 0 ?
高次不等式:

( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? an ) ? 0

(4)解含参数的不等式: (1)

(x – 2)(ax – 2)>0

(2)x2 – (a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0;
注:解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论 a 与 0 的大小;2、讨论⊿与 0 的大小;3、讨论两根的 大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想;2、数形结合的思想;3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题:

3

、 ?1 函数 ? ?2、 分离参数后用最值 ?3 用图象 ?、
例 1.已知关于 x 的不等式 x ? (3 ? a ) x ? 2a ? 1 ? 0
2 2

在(–2,0)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 例 2.关于 x 的不等式

y ? log 2 ( ?ax2 ? ax ? 1)

对所有实数 x∈R 都成立,求 a 的取值范围.

例3.若对任意 则

x ? 0,

x ? a恒成立, 2 x ? 3x ? 1

a的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题: 方法: 依据二次函数的图像特征从: 开口方向、 判别式、 对称轴、 函数值三个角度列出不等式组,总之都是转化为一元二次 不等式组求解.
4





























1.x1< x2< k

? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ?? 2a ? ?? ? 0 ?

y
x1
k

O

x2 k

x

y
2.k < x1< x2
? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ?? 2a ? ?? ? 0 ?

k x1 O

x2

x

y
3.x1< k < x2

f (k ) ? 0
k x1 O x
2

x

5

4. k1 < x1 < x2 < k2 y k1 x1 O x2 k2 x

5. x1 < k1 < k2 < x2 y O x1 k1 k2 x2 x

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0 ? ?? ? 0 ? ?k ? ? b ? k 2 ? 1 2a ?
6. k1 <x1 < k2 < x2< k3

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0

y O k2 x2 k3 x

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? 2
4 解线性规划问题的一般步骤:

k1 x1

第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步: 解方程的最优解, 从而求出目标函数的最大值或最小值。

z ? ax ? by

z ? x2 ? y2

z?

y x
6

练习:1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点(横、纵坐标为整数)的 个数。

2.求函f ( x ) ? 2 ? log 2 x ?
3 4.f(x)=x+

1 (0 ? x ? 1)的最大值; log 2 x

1 (x ? 4)的最小值 x ?1
的最小值.
2 8

( x ? 1)2 ? 4 ( x ? ?1) 4.求函数 f ( x ) ? x ?1

5.已知两个正数 a, b 满足 a ? b ? 4, 求使 a ? b ? m 恒成立的 m 的取值范围. 6 已知x> 0, 0,且 1. y>

1 9 + = 1,求x+ y的最小值. x y

7


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