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空间直角坐标系1


空间直角坐标系

问题提出

对于直线上的点, 对于直线上的点,我们可以通 过数轴来确定点的位置; 过数轴来确定点的位置;对于平面 上的点, 上的点,我们可以通过平面直角坐 标系来确定点的位置; 标系来确定点的位置;对于空间中 的点,我们也希望建立适当的坐标 的点, 系来确定点的位置. 因此, 系来确定点的位置. 因此,如何在 空间中建立坐标系, 空间中建立坐标系,就成为我们需 要研究的课题. 要研究的课题.

知识探究( ):空间直角坐标系 知识探究(一):空间直角坐标系

思考1:数轴上的点M 思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 1:数轴上的点 表示,它是一维坐标 一维坐标; 数x表示,它是一维坐标;平面上的 点M的坐标用一对有序实数(x,y) 的坐标用一对有序实数( 表示,它是二维坐标 设想: 二维坐标. 表示,它是二维坐标.设想:对于空 间中的点的坐标, 间中的点的坐标,需要几个实数表 示? (x,y) y
O x x O x

思考2:平面直角坐标系由两条互相 思考2:平面直角坐标系由两条互相 2: 垂直的数轴组成,设想: 垂直的数轴组成,设想:空间直角 坐标系由几条数轴组成? 坐标系由几条数轴组成?其相对位 置关系如何? 置关系如何?

三条交于一点且两 两互相垂直的数轴

思考3:在空间中, 思考3:在空间中,取三条交于一点 3:在空间中 且两两互相垂直的数轴: 且两两互相垂直的数轴:x轴、y轴、 组成空间直角坐标系Oxyz Oxyz, z轴,组成空间直角坐标系Oxyz,在 平面上如何画空间直角坐标系? 平面上如何画空间直角坐标系?
z

∠xOy=135° ∠xOy=135° ∠yOz=90° ∠yOz=90°
x

O

y

思考4:在空间直角坐标系中, 思考4:在空间直角坐标系中,对三条数 4:在空间直角坐标系中 轴的方向作如下约定:伸出右手, 轴的方向作如下约定:伸出右手,拇指 指向为x轴正方向,食指指向为y 指向为x轴正方向,食指指向为y轴正方 中指指向为z轴正方向, 向,中指指向为z轴正方向,并称这样 的坐标系为右手直角坐标系 右手直角坐标系. 的坐标系为右手直角坐标系.那么下列 空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标 z 系?
O

y

x

z y O x x

z y O

(1)
z x y O y

(2)

O z

x

(3)

(4)

思考5:在空间直角坐标系Oxyz中 思考5:在空间直角坐标系Oxyz中, 5:在空间直角坐标系Oxyz 坐标原点, 其中点O叫做坐标原点 其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、 轴叫做坐标轴 坐标轴, z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面 坐标平面, 的平面叫做坐标平面,并分别称为 xOy平面 yOz平面 xOz平面 平面、 平面、 平面. xOy平面、yOz平面、xOz平面.这三 个坐标平面的位置关系如何? 个坐标平面的位置关系如何?
z

O

y

x

思考6:如图,在长方体ABCD思考6:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 6:如图 ABCD 以点D 中,以点D为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,那么x 直角坐标系,那么x轴、y轴、z轴 应如何选取? 应如何选取? z
D1 A1 D A B B1 C1 C

y

x

思考7:在空间直角坐标系Oxyz中 思考7:在空间直角坐标系Oxyz中, 7:在空间直角坐标系Oxyz 三个坐标平面将空间分成几个部分? 三个坐标平面将空间分成几个部分?
z

y

x

知识探究( 知识探究(二)空间直角坐标系中点的坐标

思考1:在平面直角坐标系中, 思考1:在平面直角坐标系中,点M的 1:在平面直角坐标系中 横坐标、纵坐标的含义如何? 横坐标、纵坐标的含义如何?
y (x,y) |x| |y| O x

思考2:在空间直角坐标系中,设点M 思考2:在空间直角坐标系中,设点M为空 2:在空间直角坐标系中 间的一个定点,过点M分别作垂直于x 间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、 轴的平面,垂足为A y轴、z轴的平面,垂足为A、B、C. 设点 A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别 那么点M 为x、y、z,那么点M的位置与有序实数 是一个什么对应关系? 组(x,y,z)是一个什么对应关系?
z z M x x A O y x O M y B y x z C z O M y

思考3:上述有序实数组( 思考3:上述有序实数组(x,y,z) 3:上述有序实数组 称为点M 空间坐标,其中x 称为点M的空间坐标,其中x、y、z 分别叫做点M 横坐标、纵坐标、 分别叫做点M的横坐标、纵坐标、 竖坐标, 竖坐标,这三个坐标的值一定是正 数吗? 数吗? z
C M O A x

z x y

B

y

思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 思考4:x 4: 有何特点?xOy平面 yOz平面 平面、 平面、 有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点? 平面上的点的坐标有何特点?
z

x轴上的点:(x,0,0) 轴上的点:(x,0,0)
O

y

x

xOy平面上的点:(x,y,0) xOy平面上的点:(x,y,0) 平面上的点

思考5:设点M的坐标为( 思考5:设点M的坐标为(a,b,c) 5:设点 过点M分别作xOy平面、yOz平面 xOy平面 平面、 过点M分别作xOy平面、yOz平面、 xOz平面的垂线 平面的垂线, xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐 标分别如何? 标分别如何?
z

B(0,b,c)
B

C(a,0,c)
C O

M y A

x

A(a,b,0)

思考6:设点M的坐标为( 思考6:设点M的坐标为(x,y,z) 6:设点 那么点M关于x 那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点 对称的点的坐标分别是什么? 对称的点的坐标分别是什么?
z

M(x,y,z)
O

y

x

N(x,-y,N(x,-y,-z)

结论: P(x,y,z)关于原点对称点P1(-x,-y,-z) P(x,y,z)关于x轴对称点P2(-x,-y,-z) P(x,y,z)关于xoy平面对称点P3(-x,-y,-z)

思考7:设点A ),点 思考7:设点A(x1,y1,z1),点 7:设点 ),则线段AB的中点 则线段AB B(x2,y2,z2),则线段AB的中点 的坐标如何? M的坐标如何?

x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 M( , , ) 2 2 2

理论迁移

如图,在长方体OABC OABC例1 如图,在长方体OABC|OA|=3,|OC|=4, D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4, A |OD′|=2,写出长方体各顶点的坐标. |OD′|=2,写出长方体各顶点的坐标.
z D′ A′ O x A B B′ C y C′

结晶体的基本单位称为晶胞, 例2 结晶体的基本单位称为晶胞,下 图是食盐晶胞的示意图( 图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长 0.5的小正方体堆积成的正方体),其中 的小正方体堆积成的正方体), 为0.5的小正方体堆积成的正方体),其中 红点代表钠原子,白点代表氯原子. 红点代表钠原子,白点代表氯原子.如图建 立直角坐标系Oxyz Oxyz, 立直角坐标系Oxyz,试写出全部钠原子所在 z 位置的坐标. 位置的坐标.

O y x

练习: 练习: P90练习 练习: P90练习:1,2,3.4.5.6



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