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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)教案


1.5 函数 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0)的图象
教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A 版) 》必修 4 课题:1.5 函数 y = Asin(ω x+?)的图象 一、教学目标: 1、知识与技能 1. ?对 y = sin(x+?)的图像的影响。 2. ω 对 y = sin(ω x+?)的图像的影响。 3. A 对 y = Asin(ω x+?)的图像的影响。 4. y = Asin(ω x+?)的图像的画法。 2、过程与方法 1. 会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作 y = sin(x+?)、y = sin(ω x+?)、y = Asin(ω x+?)的图像。 2. 会用五点法和图形变换法作出 y = Asin(ω x+?)的图像。 3、情感态度价值观 1.渗透数形结合思想、增强作图能力;了解由简单到复杂,由特殊到一般的 化归思想;培养全面分析、抽象和概括的能力。 2. 培养动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,并解决问题。 二、教学重点、难点 1、教学重点:将参数 A,ω ,?对函数 y = Asin(ω x+?)图象的影响的问题进行 分解,从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。 2、教学难点:ω 对函数y = Asin(ω x+?)的图象的影响规律的概括 3、教学关键:理解三个参数A、ω、φ对函数y = Asin(ω x+?)(ω >0,A>0) 图像的影响。 三、课前准备 教师准备:教学课件

四、教学过程:
1

一、导入新课,提出课题 师:数学研究生活实际,那在某次实验里面,我们测得交流电电流 y 随着时 间 x 变化的图象图(1) ,如果将图象局部放大,便得到图(2) ,看图(2)它跟 我们上节课讲得正弦曲线非常相似, 那这个图象, 它是一个形如 y = Asin(ω x+?) 的函数,那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢?这就是这节课要研究的问 题。 揭示课题:函数 y = Asin(ω x+?)的图像(一) (板书)

y
6 4 2

y
6 4 2

o2
2 4 6
二、推进新课

4

6 8

x

o 0.01 0
2 4 2 . 0

0.0 0 3 . 0 4
(2)

x

(1)

6

师: 要研究这个函数跟正弦函数的关系,那我们看这个解析式 y = Asin(ω x+?),它分别有三个参数,一个是 A,一个是ω ,还有一个是 ?,那如果以此式 研究它的话,有点困难,并且难以看出这三个参数的影响,因此我们一个一个去 研究它。 探究一:参数 ? 对 y = sin(x+?)的图像的影响 1、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数 y = sinx 和 y = sin(x数图像,并比较这两个函数图像的关系 教师引导学生从图像直接看出来只要将 y= sinx 的图像向右平移

? )的函 3

? 个单位便得到 3

2

函数 y = sin(x-

? )的图像。 3

1.1、请说明怎么由 y = sinx 得图像得到 y = sin(x+

? )的图像? 4

教师用多媒体动画演示让学生发现:只需将 y = sinx 图像向左平移 就能够得到函数 y = sin(x+

? )的图像 4

? 个单位, 4

1.2、怎样由函数 y = sinx 图象得到 y = sin(x+?)的函数图象? 思考 1:如果再变换 ? 的值,类似的情况是否不断出现? 结论:函数 y = sin(x +?)的图象可由函数 y = sinx 的图象向左(?>0)或向右 (?<0) 平移|?|个单位而得到,这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或 减少) |?|个单位,这种变换称为平移变换。 思考 2:当 ? 改变时,? 改变了该函数的那些性质? 结论:教师利用几何画板为学生演示,让学生发现 ? 其实只是改变了函数图像 的位置,其他的没有改变。 探究二:参数ω 对 y = sinω x 的图像的影响 2、用五点作图法在同一个坐标系里作出函数 y = sinx 和 y = sin2x 的简图,并 讨论这两个函数图象的关系 学生通过作图,发现把 y = sinx 图像上点的横坐标缩短到原来的 不变,得到函数 y = sin2x 的函数图像。 思考 3:如果某时候你没有图像,你能否从解析式上看出来这个规律呢? 教师引导学生从列表中看出这些点的关系, y 取 1 的时候对应的那两个自变量 当 1 x,2x 中的 x 恰好是 sinx 里面 x 的 倍,曲线上每一个点都有这种规律,导致 2 整条曲线都有这样的关系,当然可以取一些其他的点,这样我们就可以得到 y = sinx 和 y = sin2x 的关系
1 倍,纵坐标 2

? ? )得图像得到 y = sin(2x+ )的图像? 3 3 ? 教师引导学生观察图像得出要想得到 y = sin(2x+ )的图像,只需将函数 y = 3 1 ? sin(x+ )上点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,就可以了 2 3
2.1、请说明怎么由 y = sin(x+ 2.2、如何由 y = sinx 图象得到函数 y = sinω x (ω >0)的图象呢?
3

结论:将上述结论一般化,归纳出 y = sinω x (ω >0)的图像与 y = sinx 图象 的关系 当ω >1 时,y = sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 便得到 y = sinω x 的图象 当(0<ω <1) 时,y = sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 标不变)便得到 y = sinω x 的图象 思考 4:ω 改变时,ω 究竟影响了函数图像的什么性质? 结论:教师通过几何画板展示, 引导学生发现ω 实际上就是影响了这个函数的周 期 探究三:参数 A 对 y = Asin x 的图像的影响 师:前面我们研究了 2 个参数,接下来研究第三个参数 3、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数 y = sinx 和 y = 并讨论着两个函数图像的关系 学生通过作图发现:要想得到 y = 点的纵坐标缩短到原来的
1 sinx 的图像 2 1 sinx 的图像,只需将 y = sinx 图像上所有 2 1 sinx 的简图, 2 1 倍(纵坐 ? 1 倍(纵坐标不变) ?

1 倍,其中横坐标不变,那么我们就可以得到 y = 2

思考 5:如果某时候你没有图像,从解析式上看它是怎么样的? ? 教师引导学生观察表格中的点发现: 比如 x 取 的时候, 他们的纵坐标一个是 1, 2 1 1 1 另外一个是 , 恰好就是 1 的 倍,因此就形成了这么一种特殊的关系 2 2 2 ? ? 3.1、怎么由 y = sin(2x+ )的图像得到 y = 3sin(2x+ )的图像? 3 3 ? 教师通过几何画板展示引导学生发现:将 y = sin(2x+ )横坐标保持不变,纵 3 ? 坐标扩大到原来的 3 倍,就可以得到 y = 3sin(2x+ )的图像 3 3.2、怎么由 y = sinx 的图像得到 y = Asinx 的图像呢? 结论: 当 A>1 时,将 y = sinx 图像上点的纵坐标伸长到原来的 A 倍, (横坐标不变)便

4

得到了 y = Asinx 的图像 当 0<A<1 时,将 y = sinx 图像上点的纵坐标缩短到原来的 A 倍, (横坐标不变) 便得到了 y = Asinx 的图像 ? ? 3.1、怎么由 y = sin(2x+ )的图像得到 y = 3sin(2x+ )的图像? 3 3 ? 教师通过几何画板展示引导学生发现:将 y = sin(2x+ )横坐标保持不变,纵 3 ? 坐标扩大到原来的 3 倍,就可以得到 y = 3sin(2x+ )的图像 3 思考 6: A 改变时,A 改变了这个函数的那个性质? 结论:A 影响了这个函数的值域,也就是最大值与最小值。 五、练习:(课本练习 1,2) 六、小结与布置作业 (一)小结: 1、函数图象的变换过程 2、作正弦型函数 y=Asin(?x+?) 的图象的方法: (1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图. 3、本课蕴含着数形结合、类比、由简单到复杂、由特殊到一般等数学思想方法。 (二)布置作业: 1、教材 P57 习题 1.5 第 1、2、 (1)(3)题。 、

2、课下思考:由 y ? sin x 到 y ? A sin(wx ? ? ) 的变换过程?

5


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