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浙江省嘉兴一中2015届高三上学期期中考试数学(理)


嘉兴市第一中学 2014 学年第一学期期中考试

高三数学(理科)
命题:王璐 吴献超 满分[ 150]分 ,时间[120]分钟 参考公式:

试题卷
审题:沈志荣 2014 年 11 月

柱体的体积公式: V ? Sh ( 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高)

1 锥体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) 3

1 台体的体积公式: V ? h S1 ? S1S2 ? S2 (其中 S1 , S 2 分别表示台体的上底、下底面积, h 表示台体的高) 3
球的表面积公式: S ? 4πR2 , 球的体积公式 V ?

?

?

4 3 πR (其中 R 表示球的半径) 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1.若集合 A= x | x ? 2,x ? R , B= y | y ? ? x ,x ? R ,则 A ? B =( ▲ )

?

?

?

?

A. ?x | 0 ? x ? 2?

B. ?x | x ? 2?

C. ?x | ?2 ? x ? 0?

D. ?

2.函数 y ? log1 x ? 6 x ? 17 的值域是 ( ▲ )
2 2

?

?

A. R

B. ?? ?,?3?

C. ?3,???

D. ?0,3?

3.已知 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ ) A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? C.若 m // ? , ? ? ? , 则m ? ? 4.已知函数 f ( x) ? log 2 A.2 B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? D. 若 m ? ? , ? // ? , 则m ? ?

1? x 1 , 若f (a) ? , 则f (?a) =( ▲ ) 1? x 2
B.—2 C.

1 2

D.—

1 2

5.已知 p : m ? 1 ? x ? m ? 1, q : ( x ? 2)(x ? 6) ? 0,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的取值 范围为(▲) A. 3 ? m ? 5 B.

3? m?5

C. m ? 5或m ? 3

D. m ? 5或m ? 3

6.函数 f ?x? ? 1 ? 2 sin x(sin x ? 3 cos x) 的图象向左平移 则函数 g ?x ? 的解析式是 ( ▲ ) A. g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? 个单位得函数 g ?x ? 的图象, 3

? ?

??
? 2?

B. g ?x ? ? 2 cos2 x

第 1 页 共 9 页

C. g ?x ? ? 2 cos? 2 x ?

? ?

2? ? ? 3 ?

D. g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 2?

7. 已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n 且满足 S17 ? 0, S18 ? 0 , 则 项为( ▲ ) A.

S1 S 2 S , ,? , 17 中最大的 a1 a 2 a17

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

8.已知点 P 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1,F2 是双曲线 a 2 b2


的左、右两个焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 与两条渐近线相交 M,N 两点(如图) , 点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是( ▲ A. 5 B.2 C. 3

D. 2

9.已知 A, B 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上的两个点, P 是 AB 线段上的动点 ,当 ?AOB 的面积 最大时,则 AO ? AP ? AP 的最大值是( ▲ ) A. ?1 B. 0 C.
2

1 8
2

D.

1 2

10.设非空集合 S ? x m ? x ? n 满足:当 x ? S 时,有 x ? S ,给出如下三个命题: ①若 m ? 1, 则 S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确命题的是( ▲ ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

?

?

1 1 2 1 , 则 ? n ? 1 ; ③若 n ? , 则 ? ? m ? 0. 4 2 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.若 sin ? ? cos? ?

3 ,则 sin 2? ? ▲ . 3

12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2, 高为 3,俯视图是半径为 1 的圆,则该几何体 的体积是_▲ .

? x ? y ? 0, ? 13.若 x,y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 10 ? 0, 则 2x+y 的最大值是__▲ . ? ? 3x ? y ? 5 3 ? 0,
14.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2 ,且 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等, 则 a ? b 等于__▲



第 2 页 共 9 页

15.设抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A, B 两点,过 AB 的中 点 M 作准线的垂线与抛物线交于点 P,若 PF ? 16.记数列 ?an ? 的前 n 和为 s n ,若 ? 的值为 ▲ .

3 ,则弦长 AB 等于__▲ . 2

? sn ? ? 是公差为 d 的等差数列,则 ?an ? 为等差数列时, d ? an ?

x2 y2 17.设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则 的最小值是___▲ . ? x ? 2 y ?1
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? sin ? x ?

1 ? (? ? 0) ,其相邻两个零点间的距离为 . 2 2

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)锐角 ?ABC 中, f (

A ? 1 ? ) ? , AB ? 4, ?ABC 的面积为 6 ,求 BC 的值. 2 8 2

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N * ) an ? 3

(1)求证: ?

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式 an ; a ? n 2?
n

( 2 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? (3 ? 1) ?

n ? a n , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式 2n

(?1) n ? ? Tn ?

n 2
n ?1

对一切 n ? N 恒成立,求 ? 的取值范围.
*

第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 14 分) 如图, 在梯形 ABCD 中,AB / / CD ,AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60 , 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 . (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所 成二面角的平面角为 ? (? ? 90 ) ,试求 cos ? 的取值范围.

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,且经过点 A(0, ?1) . ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

(1)求椭圆的方程;

3 (2)如果过点 (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合) , 5
1 求 AM ? AN 的值; ○ 2 当 ?AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程. ○

22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x . (1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图 象的下方; (3) 若存在 a ?[?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 有三个不相等的实数根, 求实数 t 的取值范围.

第 4 页 共 9 页

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ?

1 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin(2?x ? ) …………………3 分 2 2 2 4
T ? 2? ? ,?T ? ? ,? 2? ? ? ? ? 1………………………5 分 2 2 T

由题可知,

? f ( x) ?

2 ? s i n2(x ? ) …………………………………………………7 分 2 4

(2)? f (

A ? 1 2 1 2 ? ) ? ,? sin A ? ,? sin A ? 2 8 2 2 2 2

又由锐角 ?ABC 知,角 A 为锐角,? A ?

?
4

…………………………9 分

? S ?ABC ?

1 1 ? AB ? AC ? sin A ? ? 4 ? AC ? sin A ? 2 AC ? 6 2 2

? AC ? 3 2 ……………………………………………………………12 分
? BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 10

? BC ? 10 ……………………………………………………………14 分
19. (本小题满分 14 分)
第 5 页 共 9 页

(2) bn ?

n

2 n ?1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2
两式相减得

Tn 1 1 1 1 ?    1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2
Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? Tn ? 4 ? n ?1 2 2 ? (?1) n ? ? 4 ? n ?1 2 2 若 n 为偶数,则? ? ? 4 ? n ?1 ,? ? ? 3 2 2 若 n 为奇数,则? ?? ? 4 ? n ?1 ,? ?? ? 2,? ? ? ?2 2 ? ?2 ? ? ? 3

(2)由(I)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系, 令 FM ? ? (0 ? ? ? ∴ AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1? 设 n1 ? ?x, y, z ? 为平面 MAB 的一个法向量,

?

?

3) ,则 C(0,0,0), A( 3,0,0) , B?0,1,0?, M ?? ,0,1?

第 6 页 共 9 页

由?

? n1 ? AB ? 0 ?n1 ? BM ? 0

得?

取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,…………8 分 ∵ n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量 ∴ cos ? ?

?

?? 3x ? y ? 0 ??x ? y ? z ? 0

?

| n1 ? n2 | | n1 |? | n2 |

? 1? 3 ?

1

?

3??

?

2

? ?1

1

?? ? 3 ?

2

…10 分

?4

∵ 0?? ? 当? ?

3

∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值 ∴

1 3 时, cos ? 有最大值 。 2

7 , 7 ? 7 1? cos ? ? ? , ? …………………14 分 ? 7 2?

21. (本小题满分 15 分) 解: (1)因为椭圆经过点 A(0, ?1) b ? 1 ,因为 e ? 所以椭圆的方程为

c a2 ? 1 3 ? ? ,解得 a ? 2 , a a 2

x2 ? y2 ? 1 . 4

3 1 若过点 (0, ) 的直线的斜率不存在,此时 M , N 两点中有一个点与 A 点重合,不满足 (2)○ 5 题目条件.
所以直线 MN 的斜率存在,设其斜率为 k ,则 MN 的方程为 y ? kx ? 把 y ? kx ?

3 , 5

3 24 64 代入椭圆方程得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? kx ? ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),则 5 5 25 24k 64 x1 ? x 2 ? ? , x 1? x 2 ? ? , 5(1 ? 4k 2 ) 25(1 ? 4k 2 ) 6 6 3 9 ?100k 2 ? 9 2 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ? y ? y ? k x ? x ? k ( x ? x ) ? ? , , 1 2 1 2 1 2 5 5(1 ? 4k 2 ) 5 25 25(1 ? 4k 2 )

因为 A(0, ?1) ,所以 AM ? AN ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1

??

64 ?100k 2 ? 9 6 ? ? ?1 ? 0 2 2 25(1 ? 4k ) 25(1 ? 4k ) 5(1 ? 4k 2 )

2 由○ 1 知: ?MAN ? 90 ,如果 ?AMN 为等腰直角三角形,设 MN 的中点为 P ,则 ○ 12k 3 AP ? MN ,且 P (? , ) 2 5(1 ? 4k ) 5(1 ? 4k 2 )

3 3 若 k ? 0 ,则 P(0, ) ,显然满足 AP ? MN ,此时直线 MN 的方程为 y ? ; 5 5
若 k ? 0 , 则 k AP ? ?

5 20k 2 ? 8 1 , 所 以 直 线 MN 的 方 程 为 ?? ,解得 k ?? 5 12k k

y??

5 3 x ? ,即 5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 . 5 5
第 7 页 共 9 页

3 综上所述:直线 MN 的方程为 y ? 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 . 5
22. (本小题满分 15 分)
2 ? 5? ? ? x -x, x ≥ 3, 解: (1)由 f ( x) ? ? 2 得函数的单调递增区间为 ? -?, ? 和 ?3, +? ? ; 2 ? ? ? x ? 5 x , x ? 3 ? ?

(2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x) 恒成立, 即 x x ? a ? 1 ,当 x ?[1, 2] 恒成立,即 x ? a ? 故只要 x ?

1 1 1 1 1 ,? ? x?a? ,x? ?a? x? , x x x x x

1 1 ? a 且 a ? x ? 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x x 1 1 在 x ?[1, 2] 时,只要 x ? 的最大值小于 a 且 x ? 的最小值大于 a 即可, x x
1? 3 1 ?? 1 1 ? ? 而当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? ; x ? max 2 x? x x ? ? 1? 1 ?? 1 3 1 ? ? 当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? 2 ,所以 ? a ? 2 ; x ?min x? x 2 x ? ?
(3)当 ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 不可能有三个不
2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, 等的实数根; 则当 a ? (2 , 4] 时,由 f ( x) ? ? 2 得 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a

x ≥ a 时, f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?

a?2 ? a ,则 f ( x) 在 x ?[a, ? ?) 为增函数,此时 2 a?2 ?a, 2

f ( x) 的值域为 [ f (a), ? ?) ? [2a, ? ?) ,

x ? a 时, f ( x) ? ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?

? (a ? 2)2 ? a ? 2? ? f ( x ) ?? , 则 f ( x) 在 x ? ? ??, 为增函数,此时 的值域为 ? ?, 2 ? 4 ? ? ? ?
?a ? 2 , f ( x) 在 x ? ? ? 2

? (a ? 2)2 ? ? a ? 为减函数,此时 f ( x) 的值域为 ? 2a, ?; 4 ? ? ? ? ? (a ? 2)2 ? ?, 4 ?

由存在 a ? (2 , 4] ,方程 f ( x) ? t f (a) ? 2ta 有三个不相等的实根,则 2ta ? ? 2a,

即存在 a ? (2 , 4] ,使得 t ? ?1,

? ?

(a ? 2)2 ? (a ? 2)2 1 ? 4 ? g ( a ) ? ? ? a ? ? 4? , 即可,令 ? 8a 8? a 8a ? ?

只要使 t ? ? g (a) ?max 即可,而 g (a) 在 a ? (2 , 4] 上是增函数, ? g (a) ?max ? g (4) ?
第 8 页 共 9 页

9 , 8

? 9? ? 9? 故实数 t 的取值范围为 ?1, ? ; 同理可求当 a ?[?4, ? 2) 时, t 的取值范围为 ?1, ? ; ? 8? ? 8? ? 9? 综上所述,实数 t 的取值范围为 ?1, ? . ? 8?

第 9 页 共 9 页


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