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数列极限


第一章 函数、极限、连续 第二节 数列极限 有关定理及方法: (1)柯西准则(不常用) (2)夹逼定理 (3)单调有界定理 (4)数列 极限与其子列极限的关系 (5)求极限常用方法:适当缩放法,利用等价无穷小,化为函数极限, 利用微分学、积分学及级数的知识及方法,另外极限的定义、性质、重要极限、恒等变形、变量 代换是经常用到的知识和技巧 补充: (1) stolz 定理

b ? bn 0 型 stolz 定理 : 设 {an },{bn } 都是无穷小量 , 数列 {an } 严格单调减少 , 若 lim n ?1 ? l , 则有 n?? a 0 n ?1 ? a n lim bn ?l n ?? a n b ? bn * 型 stolz 定 理 : 设 {an } 是 正 无 穷 大 量 , 数 列 {an } 严 格 单 调 增 加 , 若 lim n ?1 ? l ,则有 n ? ? ? an?1 ? an lim bn ?l n ?? a n
a1 ? ? ? a n ? a 。又若 an ? 0 ,则 lim n a1a2 ? an ? a n ?? n
1 1 ? ? ? ? ln n ? ? ? ? n ( ? ? 0.577? 为欧拉常数, ?n ? 0 ) 2 n

(2)均值极限:若 lim a n ? a ,则 lim
n ??

n n ? 1, n a ? 1(a ? 0),1 ? (3)

例 1:设 x n ?

1 ? 3? (2n ? 1) ,求 lim xn , lim n xn , lim 2n ? 1xn . 2 ? 4 ? ( 2n)

解: (1)由于 2 ? 1? 3,4 ? 3 ? 5,?,2n ? (2n ? 1)(2n ? 1) ,所以 x n ? 由夹逼定理知 lim xn ? 0

1 2n ? 1

,又 xn ? 0

(2)由于

1 1 ? x n ? 1 ,又 lim n ? 1 ,所以 lim n xn ? 1 2n 2n

(3 考虑积分 I n ?

?

?

2 0

sin n xdx

I 2n ?

1 ? 3?(2n ? 1) ? 2 ? 4 ? ( 2n) ? , I 2 n ?1 ? 2 ? 4 ? ( 2n) 2 1 ? 3? (2n ? 1)

又 I 2 n ?1 ? I 2 n ? I 2 n ?1 ?

I I 2n ? 1 2n ? 1 I 2 n ?1 ,故 1 ? 2 n ? ? lim 2 n ? 1 2n I 2 n?1 2n I 2n?1

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I 2n 1 ? 3?(2n ? 1) 2 ? ? 2 ?( ) (2n ? 1) ? (2n ? 1) xn I 2 n?1 2 ? 4?(2n) 2 2
2

所以 lim(2n ? 1) xn ?

2

?

? lim 2n ? 1xn ?

2

?

例 2:求 lim

n
n

n!

解:方法一 :令 an ?

n
n

n!

?n

b b nn nn ,则 a n ? n b1 ? 2 ? n , bn ? b1 bn ?1 n! n!

而 lim

bn n n?1 ? lim( ) ? e ,故 lim an ? e bn?1 n ?1
n ln n ? (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) x n ? , 其中 xn ? n ln n ? (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) n n

方法二: ln a n ?

又 lim

xn?1 ? xn n ?1 ? lim n ln ? 1 ,所以 lim ln an ? 1 ,从而 lim an ? e (n ? 1) ? n n
1 1 1 n k (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? n ln n) ? ? lim ? ln ? ?? ln xdx ? 1 0 n n k ?1 n

方法三: lim ln a n ? ? lim 所以 lim an ? e

例 3:求 lim n ( n ? 1 ? n ? 1 ? 2 n )

3 2

分析: n ( n ? 1 ?

3 2

n ?1 ? 2 n) ? n2 ( 1 ?

1 1 ? 1 ? ? 2) ? n n

1?

1 1 ? 1? ? 2 n n 1 n2

只须求出函数极限 lim
x ?0

1 1? x ? 1? x ? 2 ? , 便可得结果。 此函数极限可用洛必塔法则求出: 2 4 x

或用泰勒公式去求: 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ( ? 1) ? 2 ? ? ( 2 ) n 2n 2! 2 2 n n

1?

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ( ? 1) ? 2 ? ? ( 2 ) , n 2n 2! 2 2 n n
3 2

故 n 2 ( n ?1 ? n ?1 ? 2 n) ? n ( 1?

1 1 1 1 ?1 ? 1 ? ? 2) ? n 2 (? 2 ? o( 2 )) ? n n 4 4n n

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1 f (a ? ) n )n 例 4:设 f ?(a) 存在,且 f (a ) ? 0 ,求 lim( 1 f (a ? ) n 1 f (a ? ) n ? 1 ,该极限属于 1? 型的问题,一般可利用重要极限或利用指数、对数去 分析:易见 1 f (a ? ) n
解决:
n n 1 1 1 f (a? ) f ( a ? )? f ( a ? ) 1 n n n ? ? 1 1 1 1 f ( a ? )? f ( a ? ) f (a? ) n n n n

1? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? f ( a ? f ( a ? ) ? f ( a ? ) f ( a ? ) ? f ( a ? ) ? n ? ? ?1 ? n n ? ? ?1 ? n n ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? f (a ? 1 ) ? ? ? ? ? f (a ? ) f (a ? ) ? ? ? ? ? ? n ? n n ? ? ? ? ?
或:若 f (a ) ? 0
2 f (a) 1 1 )? ? f (a? 1 n (ln f ( a ? ) ?ln f ( a ? )) n n n ? e f (a) ? 1 ? ?e ? f (a? n ) ? ? ? n ?

?e

2 f ?( a ) f (a)

若 f (a) ? 0 ,同样可求出答案 例 5:设 a n ? 1 ?

1 2

???

1 n

? 2 n ,证明 {an } 收敛

分析:为证数列收敛,我们首先想到用收敛准则 先看是否单调:

a n ?1 ? a n ?

1 n ?1
1

? 2( n ? 1 ? n ) ?

1 n ?1

?

2 n ?1 ? n

?

n ? n ?1 n ? 1( n ? 1 ? n )

?0

可见该数列单调减少,下面再说明有下界:

1? ?

2

1 x

1

dx,?,

n

??

n ?1

1 x

n

dx , a n ? ?

n ?1

1 x

1

dx ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2 ? 2 n ? ?2

由此可得结论.这个方法很常规,本题证明有界性不易,本题利用级数的知识证数列收敛更容易:

0 ? an ? an?1 ?

1 n ? 1( n ? 1 ? n ) 2

?

1 n n

由正项级数审敛法知

? (a
n ?1

?

n

? a n ?1 ) 收敛,从而数列 {an } 收敛.

注:利用级数的知识去说明数列收敛一般有两种情况: (1) 若

?a
n ?1

?

n

收敛,则 lim an ? 0
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(2) 数列 {an } 收敛 ? 级数
?

? (an ? an?1 ) 收敛(或级数 ? (an?1 ? an ) 收敛)
n ?1 n ?1

?

?

例6:设级数

?a
n ?1

n

收敛,数列 { p n } 严格单调增加,且 lim pn ? ?? ,求 lim

p1a1 ? ? pn an pn

解:令 An ? a1 ? ? ? an ,则 an ? An ? An?1 (n ? 2), a1 ? A1 由题设 lim An ? A 存在,

p1a1 ? ? ? pn an p1 A1 ? p2 ( A2 ? A1 ) ? ? ? pn ( An ? An?1 ) B ? ? An ? n pn pn pn
其中 Bn ? A1 ( p2 ? p1 ) ? ? ? An?1 ( pn ? pn?1 ) 而 lim

Bn B ? Bn ? lim n?1 ? lim An ? A pn pn?1 ? pn p1a1 ? ? pn an ? A? A ? 0 pn

故 lim 练习题

1 . (1) lim n(a ? a

1 n

1 n2

1 ) ( a ? 0) , ( 2 ) lim n 2 ln( n sin ) , ( 3 ) 设 n

1 1 1 n n s i n ? x n ? (n ? 2) s i n ,求 lim ? xk (4) lim(?1) n n sin n 2 ? 2? n ?1 n ?1 n k ?1
(提示:由拉氏中值定理
2

a ?a

1 n

1 n2

1 1 ? a ? ( ? 2 ) ln a ,易得结果: ln a 。或通过求函数极限: n n

1 1 1 ?1 1 1 ?1 ax ? ax ? o( 2 )) ? 2 ? o( 2 ) ? n 2 ln( n sin ) ? , (2) ln n sin ? ln(1 ? ) , lim 2 x ?0 n n 6 6n n 6n n x
(3)1, (4) ? ) 2.设 a n ? (由

5 6 n?4 ? ??? ,求 lim an 1 3 2n ? 1

?a

n

收敛,易得 an ? 0 )
n k n

3. s n ?

? ln C
k ?0

/ n 2 ,求 lim sn
1 ) 2
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(用两次 stolz 定理可得结果:

0 1 n 4.将二项系数 Cn 的算术平均和几何平均上分别记为 An 和 Gn ,求 lim n An , lim n Gn , Cn ,?, Cn

( An ?

2n 1 , ln n Gn ? 2 n n

? ln C
k ?0

n

k n

?

1 ,答案:2, e ) 2

5.设 a n ? e ? (1 ? (a ?

1 n a ) , a, k 为何值时, an 与 k 为等价无穷小。 n n

e , k ? 1) 2

6.设 (2 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为正整数, 求 lim

an , lim(an ? 3bn ) , lim An ,其中 An ? (2 ? 3) n ? [(2 ? 3) n ] bn

( 由 题 设 知 (2 ? 3) n ? an ? bn 3 , 从 而 得 出 a n , bn 的 表 达 式 , 进 而 得 结 果 :

3 ,0。

An ? 3bn ? [ 3bn ] , 0 ? (2 ? 3) n ? an ? bn 3 ? 1 ? an ? 1 ? 3bn ? an ? [ 3bn ] ? an ? 1 , An ? 3bn ? an ? 1 ? 1 )
几类典型问题 (1) 由递推生成的数列的极限 命题一: 设 xn?1 ? f ( xn ), n ? 1,2,?。 若 f ( x) 为连续函数, 且 lim xn 存在, 则极限值 l ? lim xn 满 足方程 l ? f (l ) 命题二:设 xn?1 ? f ( xn ), n ? 1,2,?。若 f ( x) 在区间 I 上单调,且 xn ? I , n ? 1,2,? ,则只有两种 情况: (1) 当 f ( x) 在 I 上单调增加时 , 则数列 {xn } 为单调数列 , 且 x1 ? x 2 时 , {xn } 单调增加 , ; (2)当 f ( x) 在 I 上单调减少时, {xn } 的两个子列 {x2n },{x2n?1} 分别 x1 ? x 2 时, {xn } 单调减少. 为单调数列,且具有相反的单调性. 例7:设 x1 ? 0 , x n ?1 ?

c(1 ? xn ) ( c ? 1 为常数) ,证明: lim xn 存在,并求其极限. c ? xn

分析: 令 f ( x) ?

c(1 ? x) c2 ? c ,f ?( x) ? 知 f ( x) 在 (0,??) 上单调增加, 又 xn ? (0,??) , ? 0, c?x (c ? x) 2

故 {xn } 为单调数列, 再比较 x1 , x 2 的大小:x1 ? x2 ?

x1 ? c , 易见 x1 ? c 时,x1 ? x2 ? {xn } c ? x1

2

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单调增加,易见 x1 ? 解:当 x1 ?
2

c 时, x1 ? x2 ? {xn } 单调减少。再说明其有界便可得结果。

c 时,

c(1 ? xn ) c(1 ? xn?1 ) c(c ? 1)(xn ? xn?1 ) x ?c , ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 即 x1 ? x 2 ,又 xn?1 ? xn ? c ? xn c ? xn?1 (c ? xn (c ? xn?1 ) c ? x1
可见 xn?1 ? xn 与 xn ? xn?1 同号,由 x 2 ? x1 及归纳法知 xn?1 ? xn ? 0 ,故 xn 单调增加。 设 xn ?

c , xn?1 ? c ?

c(1 ? xn ) (c ? c )(xn ? c ) ? c? ? 0 ? xn?1 ? c ,由归纳法知 c ? xn c ? xn

xn ? c
综上知 {xn } 单调增加且有界,从而 lim xn 存在。 设 lim xn ? a ,则有 a ?

c(1 ? a ) ,得 a ? ? c (不合题意舍去) , a ? c ,故 lim xn ? c 。 c?a

注:本题亦可先证明有界性 xn ? 另解:当 x1 ? 令 f ( x) ?

c ,再利用有界性证明单调性。

c时

c(1 ? x) c2 ? c , f ?( x) ? ? 0 ,知 f ( x) 在 (0,??) 上单调增加, c?x (c ? x) 2
2

x ?c x1 ? x2 ? 1 ? 0 得 x1 ? x 2 ,设 xn?1 ? xn ,那么 xn ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? xn?1 ,由归纳法知 c ? x1
xn ? xn?1 即 xn 单调增加,
又 x1 ?

c ,设 xn ? c ,则 xn?1 ? f ( xn ) ? f ( c ) ?

c(1 ? c ) c? c

? c ,由归纳法知 xn ? c ,

以下的说明同上。 当 x1 ?

c 时,其解法同上(留给同学去完成)
1 生成,求证 lim bn 存在,并求其极限. bn

例8:设数列 {bn } 由 b1 ? 1, bn ?1 ? 2 ? 分析:令 f ( x) ? 2 ?

1 1 , f ?( x) ? ? 2 ? 0 ,知 f ( x) 在 (0,??) 上单调减少。故数列 {bn } 不是单 x x

调数列。此时有以下处理方法: (1)证明 lim b2n?1 , lim b2n 存在且极限值都是 a ,那么 lim bn 存 在且 lim bn ? a , (2)若 | bn ? a |? ? | bn?1 ? a | ,其中 0 ? ? ? 1为常数,则 lim bn ? a . (极限
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值 a 是方程 a ? f (a) 的一个解) (3)若| bn?1 ? bn |? ? | bn ? bn?1 | ,其中 0 ? ? ? 1为常数,则

lim bn 存在,极限值 a 满足方程 a ? f (a) .
解:方法一: 易见 bn ? 2, n ? 2,3,?,记 a ? 1 ?

2 ,则 a 满足 a ? 2 ?

1 a

| bn ? a |?| 2 ?

|b ?a| 1 1 |b ?a| 1 ? 2 ? |? n?1 ? |b n?1 ?a |? ? ? 1 n?1 ? 0 bn?1 a abn?1 4 4

所以 lim bn ? a ? 1 ? 2 方法二: | bn ?1 ? bn |?
?

| bn ? bn?1 | 1 ? | bn ? bn?1 | bn bn?1 4
1 a

所以级数

? (b
n ?1

n ?1

? bn ) 收敛 ? lim bn 存在,设 lim bn ? a ,则 a 满足 a ? 2 ?

解此方程得 a ? 1 ? 2, a ? 1 ? 2 (舍去) ,故 limbn ? 1 ? 2 方法三:易见 2 ? bn ? 3, n ? 2,3,?

bn? 2 ? bn ?

1 bn ?1

?

1 ? bn?1

1 2? 1 bn

? 2?

1 1 bn ?2

?

bn ? bn ?2 (2bn ? 1)(2bn?2 ? 1)

可见 bn? 2 ? bn 与 bn ? bn?2 同号 由 b1 ? b3 及归纳法知 {b2 n?1} 单调增加,由 b2 ? b4 及归纳法知 {b2 n } 单调减少。 所以 lim b2n?1 , lim b2n 都存在,设 lim b2n?1 ? a, lim b2n ? b ,则 a , b 满足

a ? 2?

1 1 ,b ? 2 ? b a

解得 a ? b ? 1 ? 2 ,故 lim bn 存在,且 limbn ? 1 ? 2 例 9:设 0 ? x1 ?

?
2

, xn?1 ? sin xn , n ? 1,2,?,求 (1) lim xn , (2) lim n xn

分析:问题(1)是容易的,只需说明该数列单调有界便可求出 lim xn ? 0 由(1)知 {xn } 是无穷小,自然就有找出该无穷小的阶的问题,同样当数列为无穷大时也会有找 无穷大的阶的问题(如练习题9,10),通过(2)的解答知该数列与

1 n

为同阶无穷小。这种问题

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2 用 stolz 定理去解并不困难,但要注意变形,本题要先求 lim nxn .

解(1)略 (2)
2 xn sin 2 xn n 1 1 x 2 sin 2 x lim nx ? lim ? lim ? lim ? lim 2 ? lim ?3 1 1 1 1 1 xn ? sin 2 xn x?0 x 2 ? sin 2 x ? 2 ? 2 2 2 xn xn xn sin 2 xn xn ?1 2 n

故 lim n xn ? 3 例 10:设数列 {xn } 为正数列,且 x n ?1 ?

1 ? 2 ,证明: lim xn 存在,并求其极限. xn

分析:本题中 x n ?1 , x n 的关系与前面不一样,但用到的方法是一样的,最容易想到单调有界准则. 解:由于 xn ?

1 1 ? 2 ? xn?1 ? ? xn ? xn?1 ,即 xn 单调减少,又 xn ? 0 ,所以 lim xn 存在, xn xn
1 ? 2 ,从而得 a ? 1 ,即 lim xn ? 1 . a

设 lim xn ? a ,则 a 满足 a ? 练习题: 7.设 x1 ? 0 , xn?1 ? 8.设 x1 ? 0 , xn?1 ?

1 5 ?1 ,证明: lim xn 存在,并求之. (答案: ) 1 ? xn 2
(答案: 3 ) 6 ? xn ,证明: lim xn 存在,并求之.

9.设 x1 ? 0 , x n ?1 ? x n ?

x 1 ,求 lim n . (答案:1) xn 2n
2

10.设 b1 ? 1 , bn ?1 ?

bn n ,证明: lim bn ? ?? ,并求 lim . (答案:1) bn bn ? 1
x n ?1 1 . (答案:0, ) 2 xn

11.设 1 ? x1 ? 0 , xn?1 ? 1 ? 1 ? xn ,求 lim xn 及 lim

12.设 x1 ? a, x2 ? b , x n ?

xn ?1 ? xn ?2 , n ? 3,4,? ,求 lim xn . 2

(本题涉及二阶递推, 与前面题目有区别, 用前面的方法求不出答案,先找出 xn?1 ? xn 的表达式:

xn?1 ? xn ? ?

? xn ? xn?1 b?a 2 ,那么 ??? ( x n ?1 ? xn ) ? (b ? a) ? n ?1 3 2 (?2) n ?1

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xn ?1 ? ? ( xk ?1 ? xk ) ? x1 ?
k ?1

n

2 (b ? a) ? a ) 3

13.设 xn ? 0 , x n ?

4
2 xn ?1

(答案:2) ) ? 3 ,证明: lim xn 存在,并求之.

14.设 1 ? xn ? 0 , x n ?1 (1 ? x n ) ?

1 1 ,证明: lim xn 存在,并求之. (答案: ) 4 2

1 5 . 三 角 形 ? 0 的 三 边 长 为 a0 ? a, b0 ? b, c0 ? c , 三 角 形 ? n 的 三 边 长 为

an ?

bn ?1 ? cn ?1 a ? cn ?1 a ? bn ?1 , bn ? n ?1 , cn ? n ?1 , n ? 1,2,3,? 。三角形 ? n 的面积记为 An 。 2 2 2

(1)证明:三角形 ? n 的周长不变而面积单调增加; (2)求 lim an , lim An ( (1) 三边长分别为 a, b, c 的三角形的面积为 A ?

1 (a ? b ? c)( a ? b ? c)( a ? c ? b)( b ? c ? a) 4

An ?

l 4

a n?1bn?1cn?1 , n ? 1,2,3,?, l ? a ? b ? c ,
a l a2 n?2 l l ? ? ? ? ? 2 ??? 0 4 4 4 4 4n

(2) a 2 n ?

?

l l ,同样有 lim b2 n ? lim c 2 n ? ) 3 3

16.设 ? 1 ? a0 ? 1 , an ?

1 ? an?1 ,求 lim an , lim 4 n (1 ? an ) , lim a1a2 ?an 2
t ) 2n

(本题方法与前面不一样,需求出 an 的表达式:设 a0 ? cost (0 ? t ? ? ) ,可求出 a n ? cos

(2)多项之和或积的极限 此类问题常用到的知识和方法有: (1)夹逼定理 (2)利用定积分的知识 (3)stolz 定理 (4)把一般项的表达式求出来,再求极限 (5)取对数将积变为和 例 11:求(1) lim
n??

?
k ?1 n k ?1

n

1 n ?k
2

, (2) lim
n??

?
k ?1

n

1 n ? k2
2

解: (1)

n n2 ? n
n

??
n

1 n2 ? k

?

n n2 ?1
n

而 lim

n ?n
2

? lim

n ?1
2

? 1 ,故 lim ?
n?? k ?1

1 n2 ? k

?1

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(2) lim
n??

?
k ?1

n

1 n2 ? k 2

= lim

1 n ? n ?? n k ?1

1 k 1 ? ( )2 n

??

1

1 1? x2

0

dx ? ln(1 ? 2 )

注:此两题形式上差别很少,但解法完全不同,仔细体会其中的差别: (1)中的 k 相对于 n 是 微不足道的,因此甩掉 k 不会影响极限,这是用夹逼定理时常用的思路. (2)中的 k 就不是如 此,因此在求极限时必须用到 k ,这里要注意变形及熟悉定积分的概念. 例 12:求(1) lim
n??
2 2

2

? sin
k ?1

n

n k k? 2k ? 1 , (2) lim (1 ? ) sin 2 ? 2 n ?? n n n k ?1

解: (1)由 sin

2k ? 1 1 1 2k ? 2 2k sin 2 ? (cos ? cos 2 ) 2 2 2 n n n n



? sin
k ?1

n

2k ? 1 ? n2

1 2 sin 1 n2

? (cos
k ?1

n

2k ? 2 2k ? cos 2 ) ? 2 n n

2 (1 ? cos ) ? 1 1 n 2 sin 2 n

1

或:由 x ?

1 3 x ? sin x ? x( x ? 0) ,得 3!

2k ? 1 (2n) 3 2k ? 1 (2k ? 1) 3 2k ? 1 2k ? 1 ? ? ? ? sin 2 ? 2 6 2 6 n 6n n 6n n n2
所以

?

n 2k ? 1 4 2k ? 1 n 2 k ? 1 ? ? sin ?? 2 ? n2 3n 2 k ?1 n2 n k ?1 k ?1 n n n 2k ? 1 4 2k ? 1 2k ? 1 ,得 ? 1 ? lim( ? ) lim sin 2 ? 1 ? ? ? 2 2 2 n ? ? n 3n n n k ?1 k ?1 k ?1 n

又由 lim

(2)由 x ?

1 3 x ? sin x ? x( x ? 0) ,得 3!

k? (n? ) 3 k? (k? ) 3 k? k? ? ? 2 ? ? sin 2 ? 2 2 6 6 n 6n n 6n n n
所以

? (1 ? n ) n
k ?1
n

n

k k?
2

?

n n k k? k k? ? ( 1 ? ) sin ? (1 ? ) 2 ? ? 2 2 n n n 3n n k ?1 k ?1

?3

又由 lim
n

n 1 ?3 k k? 1 k k 5? lim ?0 及 ( 1 ? ) ? ? lim ? ? ( 1 ? ) ? ? x ( 1 ? x ) dx ? ? ? ?0 n n2 n n 6 n2 k ?1 k ?1 n

得 lim
n ??

? (1 ? n ) sin n
k ?1

k

k?
2

?

5? 6

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1 2 n )(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) 2 n n n 1 2 n 解:令 a n ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) n n n
例 13:求 lim(1 ?

ln a n ? ? ln(1 ?
k ?1

n

k ) n2

由不等式: x ?

1 2 x ? ln(1 ? x) ? x ( x ? 0) 得 2

1 k 1 k k2 k k ? 2 ? 2 ? 4 ? ln(1 ? 2 ) ? 2 及夹逼定理可得 lim ln a n ? 2 2 n 2n n 2n n n
所以 lim an ? 练习题:

e

2? n ? n ? ? ? sin ? ) 17.求 lim( n ?? n ? 1 1 1 n? n? 2 n sin sin
( n ?1) 2

?

(答案:

2

?



18.求 lim
n ??

k ?n2

?

1 k

(答案:2) ,
n

3 5 17 2 2 ? 1 19.设 an ? ? ? ? ,求 lim an n 2 4 16 22
(可求 an 的表达式: a n ? 2(1 ? )(1 ? ) ?(1 ?
1 1

1 2

1 2

1 2
1
2n

) ? 2(1 ? (

1 2
2n

)2 ) )

2 2n ?1 2 2 2n ? 2 2 n?1 ) ( 3 ) ?( n ) 2 ,求 lim an 20.设 a n ? ( 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1
( ln a n ?

1 2

2 k ?2 ln n ?1 ?
k ?2

n

1 2 k ?1 ,再用 stolz 定理可得结果: ln a n ? ln ) k 2 2 ?1

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数列的极限

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数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题

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