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浙江省台州中学2016届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年浙江省台州中学高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设 A. B. ,B={x|x>a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是( C.a≤1 D.a<1 )

2.若 ab<0,且 a+b>0,则以下不等式中正确的是( A. B. C.a2<b2 D.|a|>|b|



3.函数 f(x)=lg(|x|﹣1)的大致图象是(



A.

B.

C.

D.

4.公比为 A.4 B.5

的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=( C.6 D.7



5.已知 α∈R, A. B. C.﹣ D.﹣

,tan2α=(



6.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



7.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0



B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0
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C.若 0<a1<a2,则 a2

D.若 a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0

8.已知函数 f(x)=

g(x)=

,则函数 f[g(x)]的所

有零点之和是( A. B.

) C. D.

二、填空题:(本大题共 7 小题,9-12 题每空格 3 分,13-15 题每小题 6 分,共 36 分) 9.已知 ,则 = ,tanα= .

10. f x) =ax2﹣4x+c +∞) 设二次函数 ( (x∈R) 的值域为[0, , 则 + 的最小值为 若 ax2﹣4x+c>0 的解集为 (﹣1,2),则 a﹣c= .



11.已知平面上三点 A,B,C,

=(2﹣k,3),

=(2,4). , .

(1)若三点 A,B,C 不能构成三角形,则实数 k 的值是 (2)若△ ABC 为直角三角形,且∠B=90°,则 k 的值是

12.若实数 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为

,点(x,y)

所在的区域的面积为



13.在扇形 OAB 中,∠AOB=120°,P 是 小值是 .

上的一个动点,若

=x

+y

,则 + 的最

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14.已知 f(x)为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)单调递增,若 f(ax+1)﹣f(x﹣2)≤0 在 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

15.已知函数 f(x)=x2﹣2x,若关于 x 的方程|f(x)|+|f(a﹣x)|﹣t=0 有 4 个不同的实数 根,且所有实数根之和为 2,则实数 t 的取值范围为 .

三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),其图象经过点 M( 与 x 轴两个相邻的交点的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式; (2)在△ ABC 中,a=13,f(A)= ,f(B)= ,求△ ABC 的面积. , ),且

17.三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC, (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; (2)若 PA= ,PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 ,PB 与底面 ABC 成 60°角,求二

面角 B﹣PC﹣A 的大小.

18.设 x1,x2 为函数 f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0)两个不同零点. (1)若 x1=1,且对任意 x∈R,都有 f(2﹣x)=f(2+x),求 f(x); (2)若 b=2a﹣3,则关于 x 的方程 f(x)=|2x﹣a|+2 是否存在负实根?若存在,求出该负 根的取值范围,若不存在,请说明理由.

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19.已知椭圆 C: 方形.

+

=1(a>b>0)的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相较于 A,B 两点,且点 P(4,3),记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1,k2,当 k1?k2 取最大值时,求直线 l 的方程.

20.已知数列{an}的前 n 项和 Tn 满足 an+1=2Tn+6,且 a1=6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn; + +… <3.

(3)证明:

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2015-2016 学年浙江省台州中学高三(上)期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设 A. B. ,B={x|x>a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是( C.a≤1 D.a<1
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【考点】集合关系中的参数取值问题;集合的包含关系判断及应用. 【专题】阅读型.

【分析】根据题意 A 集合中的元素是在区间( ,5)内的整数,再利用 A?B,求出 a 符合 的条件即可. 【解答】解:∵A={x| <x<5,x∈Z},∴A={1,2,3,4} ∵A?B,∴a<1 故选 D 【点评】本题考查集合中参数的取值问题.正确理解集合语言是解决此类题的关键.

2.若 ab<0,且 a+b>0,则以下不等式中正确的是( A. B.
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C.a2<b2

D.|a|>|b|

【考点】不等式比较大小. 【专题】计算题.

【分析】把不等式 a+b>0 的两边同时除以负数 ab 可得 而得出结论. 【解答】解:∵a+b>0,ab<0,∴ 故选 A. <0,∴ ,

<0,化简可得

,从

【点评】本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质的应用,属于基础题.
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3.函数 f(x)=lg(|x|﹣1)的大致图象是(



A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】计算题.

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【分析】利用特殊值法进行判断,先判断奇偶性; 【解答】解:∵函数 f(x)=lg(|x|﹣1), ∴f(﹣x)=lg(|x|﹣1)=f(x),f(x)是偶函数, 当 x=1 或﹣1 时,y<0, 故选 B; 【点评】此题主要考查对数函数的图象及其性质,是一道基础题;

4.公比为 A.4 B.5

的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=( C.6 D.7
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【考点】等比数列的通项公式;对数的运算性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由公比为

的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,知

,故 a7=4,

=32,由此能求出 log2a16. 【解答】解:∵公比为 ∴ ∴a7=4, ∴ =32, , 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,

∴log2a16=log232=5. 故选 B. 【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

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5.已知 α∈R, A. B. C.﹣
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,tan2α=( D.﹣



【考点】二倍角的正切.

【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】由已知和平方关系可得 sinα 和 cosα 的值,进而可得 tanα,代入二倍角的正切公式 计算可得. 【解答】解:∵ ∴ ∵sin2α+cos2α=1, ∴( ﹣3cosα)2+cos2α=1, cosα+2=0, , , ,

∴5cos2α﹣3 ∴cosα= ∴sinα=﹣

或 cosα= 或

∴tanα=﹣ 或 tanα=2,

∴当 tanα=﹣ 时,tan2α=

=

=﹣ ;

当 tanα=2 时,tan2α= 故选 D.

=

=﹣ .

【点评】本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,属中档题.

6.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑.
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【分析】根据函数的性质:a≤0,﹣ >0,“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内不 是单调递增”;a=10,“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内单调递增,可判断答案.
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【解答】解:函数 f(x)=|(ax+1)x|, ∵a≤0,﹣ >0, ∴“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内不是单调递增”, ∵“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”, ∴a≤0,不一定成立,如 a=10,“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”, ∴根据充分必要条件的定义判断: “a≤0”是“函数 f(x)=|(ax+1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的既不充分也不必要条件. 故选:D 【点评】本题考查了函数的性质,充分必要条件的定义,属于中档题.

7.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 C.若 0<a1<a2,则 a2 【考点】等差数列的性质.
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B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 D.若 a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0

【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:若 a1+a2>0,则 2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0 时,结论成立,即 A 不 正确; 若 a1+a3<0,则 a1+a2=2a1+d<0,a2+a3=2a1+3d<2d,d<0 时,结论成立,即 B 不正确; {an}是等差数列,0<a1<a2,2a2=a1+a3>2 ,∴a2> ,即 C 正确;

若 a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=﹣d2<0,即 D 不正确. 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.

8.已知函数 f(x)=

g(x)=

,则函数 f[g(x)]的所

有零点之和是(



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A.

B.
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C.

D.

【考点】函数的零点.

【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先求得 f[g(x)]的解析式,x≥0 时,由 ﹣ (小于 0,舍去);x<0 时,由 ,可解得:x=1 或1

=0,可解得:x=﹣ ,从而可求函数 f[g(x)]的

所有零点之和.

【解答】解:∵f(x)=

g(x)=



∴f[g(x)]=

,且 f[g(x)]=x2﹣2x+2,( 0<x<2)

分情况讨论:①x≥2 或 x=0 时,由 舍去); ②x<0 时,由 =0,可解得:x=﹣ .

,可解得:x=1

或 1﹣

(小于 0,

③当 0<x<2 时,由 x2﹣2x+2=0,无解. ∴函数 f[g(x)]的所有零点之和是 1 故选:B. 【点评】本题主要考察了函数的零点,函数的性质及应用,属于基本知识的考查. = .

二、填空题:(本大题共 7 小题,9-12 题每空格 3 分,13-15 题每小题 6 分,共 36 分) 9.已知 ,则
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=

,tanα=



【考点】两角和与差的正切函数.

【专题】方程思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用两角和的正切公式,求得 【解答】解:∵ 再根据 = ,求得 tanα= ,
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以及 tanα 的值. ,∴ = .

故答案为: ; . 【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题.

10.设二次函数 f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 + 的最小值为 3 ; 若 ax2﹣4x+c>0 的解集为 (﹣1,2),则 a﹣c= 12 【考点】二次函数的性质.
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【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)根据二次函数的性质求出 ac=4,根据基本不等式的性质求出 + 的最小值即 可;(2)问题转化为﹣1,2 是方程 ax2﹣4x+c=0 的解,求出 a,c 的值即可. 【解答】解:∵二次函数 f(x)=ax2﹣4x+c 的值域为[0,+∞), ∴ ,

解得 a>0,c>0,ac=4, ∴ + ≥2 =2 =3,

若 ax2﹣4x+c>0 的解集为 (﹣1,2), 则﹣1,2 是方程 ax2﹣4x+c=0 的解, ∴ ∴a﹣c=12, 故答案为:3,12. 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查基本不等式的性质,是一道基础题. ,解得: ,

11.已知平面上三点 A,B,C,

=(2﹣k,3),

=(2,4). ,

(1)若三点 A,B,C 不能构成三角形,则实数 k 的值是

(2)若△ ABC 为直角三角形,且∠B=90°,则 k 的值是 3 或﹣1 . 【考点】平面向量的坐标运算.
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【专题】计算题;函数思想;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】(1)根据条件利用 A,B,C 三点共线,所以存在实数 λ,有 即可求 k.
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,带入坐标

(2)△ ABC 为直角三角形,所以两条直角边相互垂直,所以对应的两个向量的数量积为 0, 从而求出 k 的值. 【解答】解:(1)∵A,B,C 三点不能构成三角形,∴三点 A,B,C 共线; ∴存在实数 λ,使 ∴ =λ ;

,解得 k= .

∴k 满足的条件是:k= . 故答案为: . (2) = =(2﹣k,3), ﹣ =(2,4).

=(k﹣2,﹣3)﹣(﹣2,﹣4)=(k,1)

∵△ABC 为直角三角形; ∴若∠B 是直角,则 ⊥ ,∴ ? =﹣k2+2k+3=0,解得 k=﹣1 或 3;

综上可得 k 的值为:3 或﹣1. 故答案为:3 或﹣1. 【点评】本题考查的知识点为:共线向量基本定理,向量的相等,数量积的坐标运算,相互 垂直的两向量的数量积为 0,注意第二问对于角为直角的讨论.

12.若实数 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为

,点(x,y)所在

的区域的面积为 1 . 【考点】简单线性规划.
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【专题】计算题;数形结合;函数思想;方程思想;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域, 的几何意义是区域内的点到定点(﹣,1)的

斜率的一半,利用数形结合进行求解即可.直接求解可行域的面积即可得到第二问.

【解答】解:作出束条件

所对应的可行域(如图阴影),

的几何意义是区域内的点到定点 P(﹣1,0)的斜率的一半, 由图象知可知 CD 的斜率最大,
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,得

,即 C(1,3),

则 即

= , 的最大值为 ,

故答案为: .

,可得 A(1,1);

,可得 B(2,2).

点(x,y)所在的区域的面积为: 故答案为:1.

|AC|×(xB﹣xA)=

=1.

【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中 档题.

13.在扇形 OAB 中,∠AOB=120°,P 是 小值是 2 .

上的一个动点,若

=x

+y

,则 + 的最

【考点】向量加减混合运算及其几何意义;基本不等式.

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【专题】作图题;数形结合;向量法;平面向量及应用;不等式. 【分析】设 =a ,则 ≤a≤1,从而可得 =a =ax +ay ,从而可得 ax+ay=1,从而

利用基本不等式求最小值即可. 【解答】解:如图,设 =a ,则 ≤a≤1,
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∵ ∴

=x =a

+y =ax

, +ay ,

∵A,Q,B 三点共线, ∴ax+ay=1, 故 + = =a(2+ + ) ≥4a, (当且仅当 = ,即 x=y= 时,等号成立), 此时 a= ;4a=2; 故答案为:2. +

【点评】本题考查了基本不等式的应用及平面向量的应用.

14.已知 f(x)为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)单调递增,若 f(ax+1)﹣f(x﹣2)≤0 在 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 【考点】奇偶性与单调性的综合.
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[﹣2,0] .

【专题】综合题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反,根据已知中 f(x)是偶函数,且 f(x)在 (0,+∞)上是增函数,易得 f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,又由若 x∈[ ,1]时,不等 式 f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,结合函数恒成立的条件,求出 x∈[ ,1]时 f(x﹣2)的最 小值,从而可以构造一个关于 a 的不等式,解不等式即可得到实数 a 的取值范围.
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【解答】解:∵f(x)是偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数 ∴f(x)在(﹣∞,0)上为减函数 当 x∈[ ,1]时,x﹣2∈[﹣ ,﹣1] 故 f(x﹣2)≥f(1) 若 x∈[ ,1]时,不等式 f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立, 则当 x∈[ ,1]时,|ax+1|≤1 恒成立,解得﹣2≤a≤0 故答案为[﹣2,0] 【点评】本题的考点是函数恒成立问题,主要考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中 根据已知条件结合偶函数在对称区间上单调性相反,证得 f(x)在(﹣∞,0)上为减函数, 进而给出 x∈[ ,1]时 f(x﹣2)的最小值,是解答本题的关键.

15.已知函数 f(x)=x2﹣2x,若关于 x 的方程|f(x)|+|f(a﹣x)|﹣t=0 有 4 个不同的实数 根,且所有实数根之和为 2,则实数 t 的取值范围为 【考点】根的存在性及根的个数判断.
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【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用. 【分析】令 h(x)=|f(x)|+|f(a﹣x)|,从而可判断 h(x)的图象关于 x= 对称,从而可 得 a=1;进而化简 h(x)=|x2﹣2x|+|(1﹣x)2﹣2(1﹣x)|,再作图求解即可. 【解答】解:令 h(x)=|f(x)|+|f(a﹣x)|, 则 h(a﹣x)=h(x); 故 h(x)的图象关于 x= 对称, 又∵方程|f(x)|+|f(a﹣x)|﹣t=0 有 4 个不同的实数根,且所有实数根之和为 2, 故 4× =2; 故 a=1; 故 h(x)=|f(x)|+|f(a﹣x)|=|x2﹣2x|+|(1﹣x)2﹣2(1﹣x)|

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=



作函数 h(x)=

的图象如下,

关于 x 的方程|f(x)|+|f(a﹣x)|﹣t=0 有 4 个不同的实数根可转化为 函数 h(x)=|x2﹣2x|+|(1﹣x)2﹣2(1﹣x)|与 y=t 有四个不同的交点, 故结合图象可知,实数 t 的取值范围为: 故答案为: . .

【点评】 本题考查了绝对值函数的应用及函数的性质应用, 同时考查了数形结合的思想应用, 属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),其图象经过点 M( 与 x 轴两个相邻的交点的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式; , ),且

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(2)在△ ABC 中,a=13,f(A)= ,f(B)=

,求△ ABC 的面积.
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【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理. 【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】①由图象与 x 轴两个相邻的交点的距离为 π 确定周期,然后以点 M( 人函数解析式求 φ, ②由 f(A)= ,f(B)= =sinAcosB+cosAsinB= ,求出 sinA= ,sinB= ,再求 sinC=sin(A+B)

, )代

,根据正弦定理求边 b,然后应用面积公式即可.

【解答】解:①依题意 T=2π,∴ω=1, ∴函数 f(x)=sin(x+φ) ∵f( ∴ ∴φ= < . )=cosx ,∴A,B∈(0, ), )=sin( +φ)= ,且 0<φ<π, +φ= π,

+φ< π,

∴f(x)=sin(x+

②∵f(A)=cosA= ,f(B)=cosB= ∴sinA= ,sinB= ,

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∵在三角形 ABC 中, =



,∴b=15, =84

∴S△ ABC= absinC= ×13×15×

【点评】本题主要考查怎样求函数解析式,灵活运用诱导公式,同角三角函数的基本关系, 正弦定理及面积公式.

17.三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC, (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; (2)若 PA= ,PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 ,PB 与底面 ABC 成 60°角,求二

面角 B﹣PC﹣A 的大小.
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【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 【专题】综合题;空间角.

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【分析】 (1)由 PA⊥面 ABC,知 PA⊥BC,由 AB⊥BC,且 PA∩AB=A,知 BC⊥面 PAB, 由此能够证明面 PAB⊥面 PBC. (2)法一:过 A 作 AE⊥PB 于 E,过 E 作 EF⊥PC 于 F,连接 AF,得到∠EFA 为 B﹣PC ﹣A 的二面角的平面角.由此能求出二面角 B﹣PC﹣A 的大小. 法二:由 AB= ,BC=1,以 BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法

能求出二面角 B﹣PC﹣A 的大小. 【解答】(1)证明:∵PA⊥面 ABC,∴PA⊥BC, ∵AB⊥BC,且 PA∩AB=A, ∴BC⊥面 PAB 而 BC?面 PBC 中,∴面 PAB⊥面 PBC.… (2)解法一:过 A 作 AE⊥PB 于 E,过 E 作 EF⊥PC 于 F,连接 AF,如图所示 则∠EFA 为 B﹣PC﹣A 的二面角的平面角 … 由 PA= ,在 Rt△ PBC 中,cos∠COB= .

Rt△ PAB 中,∠PBA=60°. ∴AB= ∴AE= 同理:AF= ∴sin∠EFA= ,PB=2 = … ,… ,PC=3

∴∠EFA=60.… 解法二:向量法:由题可知:AB= 建立如图所示的空间直角坐标系… B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, ,0),P(0, , ), ,BC=1,

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假设平面 BPC 的法向量为 =(x1,y1,z1), ∴ 取 z1= 可得平面 BPC 的法向量为 =(0,﹣3 ,0)… , )…

同理 PCA 的法向量为 =(2,﹣ ∴cos< , >=

= ,∴所求的角为 60°.…

【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的求法,解题时要认真审题,注意向 量法的合理运用.

18.设 x1,x2 为函数 f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0)两个不同零点. (1)若 x1=1,且对任意 x∈R,都有 f(2﹣x)=f(2+x),求 f(x); (2)若 b=2a﹣3,则关于 x 的方程 f(x)=|2x﹣a|+2 是否存在负实根?若存在,求出该负 根的取值范围,若不存在,请说明理由. 【考点】函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意可得函数 f(x)=ax2+(b﹣1)x+1(a,b∈R,a>0)两个不同零点分 别为 x1=1,x2=3,从而解得; (2)由题意只需讨论 即可,从而化简可得 ax2+(2a﹣2)x﹣a﹣1=0,从而可知
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, 从而解 得. 【解答】解:(1)∵f(2﹣x)=f(2+x),
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∴函数 f(x)关于 x=2 对称, ∵x1=1,∴x2=3, 故 1+3=﹣ 解得: 故 ,1?3= , , ; 即可,当 时,

(2)∵a>0,∴只需讨论 ∵f(x)=|2x﹣a|+2, ∴ax2+(2a﹣4)x+1=a﹣2x+2, 即 ax2+(2a﹣2)x﹣a﹣1=0, ∵



∴关于 x 的方程 f(x)=|2x﹣a|+2 存在唯一负实根 x0, ,







上单调递增,





【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用,同时考查了分类讨论的应用.

19.已知椭圆 C: 方形.

+

=1(a>b>0)的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相较于 A,B 两点,且点 P(4,3),记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1,k2,当 k1?k2 取最大值时,求直线 l 的方程.

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【考点】椭圆的简单性质.

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【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)由题意可得:b=c= ,a=2,即可得出椭圆 C 的标准方程为 =1.

(2)当直线 l 的斜率为 0 时,利用向量计算公式可得 k1k2= ; 当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭 圆方程联立可得(m2+2)y2+2my﹣3=0,利用斜率计算公式与根与系数的关系可得 k1?k2= 质即可得出. 【解答】解:(1)由题意可得:b=c= ∴椭圆 C 的标准方程为 =1. ,a=2, = ,令 t=4m+1,只考虑 t>0 时,再利用基本不等式的性

(2)当直线 l 的斜率为 0 时,k1k2=

= ;

当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ,化为(m2+2)y2+2my﹣3=0,

,y1y2= 又 x1=my1+1,x2=my2+1, ∴k1?k2=



=

=

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=

=



令 t=4m+1,只考虑 t>0 时, ∴k1?k2= + = ≤1,当且仅当 t=5 时取等号.

综上可得:直线 l 的方程为:x﹣y﹣1=0. 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、直线斜率计算公式、基本不等式的性质,考查了换元法,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

20.已知数列{an}的前 n 项和 Tn 满足 an+1=2Tn+6,且 a1=6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn; + +… <3.

(3)证明:

【考点】数列的求和;数列与不等式的综合. 【专题】等差数列与等比数列.

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【分析】(1)运用数列的通项和前 n 项和的关系,以及等比数列的通项公式,即可得到; (2)运用等比数列的求和公式计算即可得到; (3)运用裂项相消求和方法,变形整理即可得证. 【解答】解:(1)由 an+1=2Tn+6①,得 an=2Tn﹣1+6(n≥2)② ②﹣①:有 an+1﹣an=2Tn﹣2Tn﹣1, 即 an+1=3an(n≥2), 又 a1=6,由②有 a2=2T1+6=2a1+6=18,知 a2=3a1, ∴数列{an}是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列, ∴an=6?3n﹣1=2?3n; (2)由(1)得: ,

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得 Sn=

+

+…+

= ( + + …+

)= ?

=



(3)证明:



, ∴

=



【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,同时考查数列的求和方法:裂项 相消求和,属于中档题.

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