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【名校试卷】甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学(理)试题 Word版含答案


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ?

A. 2
【答案】D

B. 1

C. 0

D. ? 1

2 2 2 2 【KS5U 解析】 (a ? i ) i ? a ? 1 ? 2ai i ? ?2a ? a ? 1 i ,因为 (a ? i) i 为正实数,所以

?

?

?

?

?a 2 ? 1 ? 0 ,解得a ? ?1 。 ? ?2a ? 0 ?
(1,? )P(? ? 4)=0.79, P(-2 ? ? ? 1)= 2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N , 则
2

A.0.21 【答案】D

B. 0.58

C. 0.42

D. 0.29

【KS5U 解析】因为 P(? ? 4)=0.79, 所以 P(? ? 4)=0.21, 所以 P(1 ? ? ? 4)=0.29 ,所以

P(-2 ? ? ? 1)= 0.29.
3.下列说法正确的是

A. 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱, B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形, C. 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台, D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
【答案】B 【KS5U 解析】选项 A 不正确,如图:

棱台是由棱锥截来的,故要求梯形的腰延长后要交与一点,故 C 不正确;以直角三角形的一 条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥,故 D 不正确。 4. ( x ? A. ?40 【答案】D 【KS5U 解析】 x ? 1 ,得 1 ? a ? 2 , 令 所以 a ? 1 , 所以 ( x ? )(2 x ? ) ? ( x ? )(2 x ? ) ,
5 5

a 1 )(2 x ? )5 展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为 x x
B. ?20 C. 20 D. 40

a x

1 x

1 x

1 x

1 (2 x ? )5 x

的 展 开 通 项 为 :

C ? 2x ?
r 5

5? r

r ? 1? r 5? r 5? 2 r , 由 ? ? ? ? ? ?1? C5 2 x ? x?

r

5 ? r2 ? 得 r, 由 1 ?

1 5 所 ?1 2 ,?r 得 ? 2 r 以-( 2x ?, ) 展 开 式,中 x 项 的 系 数 为 80 , 5 3 x 1 1 1 (2 x ? )5 展 开 式 中 x ?1 项 的 系 数 为 -40 , 所 以 ( x ? )(2 x ? )5 的 展 开 式 中 常 数 项 为 x x x

80-40=40。

?x ? y ?1 ? 0 ? x?2 y 5.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3 的最小值为 ? x?0 ?
A. 0
【答案】B

B. 1

C.

2

D. 9

?x ? y ?1 ? 0 ? x?2 y 【KS5U 解析】 画出约束条件 ? x ? y ? 0 的可行域, t ? x ? 2 y , 令 要求目标函数 z ? 3 ? x?0 ?
的最小值,只需求 t ? x ? 2 y 的最小值。由可行域知:过点 ? 0, 0? 时 t ? x ? 2 y 取最小值, 且 tmin ? 0 ? 2 ? 0 ? 0 ,所以 z ? 3
x?2 y

的最小值为 3 ? 1 。
0

6. 函数 y ?

x ln x x

的图像可能是

【答案】B 【KS5U 解析】 因为 f (? x) ?

? x ln ? x ?x

?

? x ln x x x ln x x ?

所以函数 y ? ? ? f ? x? ,

x ln x x

是奇函数,

因此选项 A、C 排除;又 x ? 0 时, y ?

x ln x ? ln x ,因此选 B。 x

7.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x , a , b 为常数, a ? 0, x ? R )在 x ? ( 则函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,

3? ? x) 4

A. 是偶函数,且它的图像关于 (? ,0) 对称 C. 是奇函数,且它的图像关于 (
【答案】D

B. 是偶函数,且它的图像关于 (

3? , 0) 对称 2

3? , 0) 对称 2

D. 是奇函数,且它的图像关于 (? ,0) 对称

【KS5U 解析】已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ?

a 2 ? b2 sin ? x ? ? ? ,所以函数的周期为

2? ,又因为在 x ?
不 妨 设

?
4

处取得最小值,

3? ? f ? x ? ? sin ? x ? 4 ? 3? ? i ? n ?x 4 ?

3? ? ? 3? ? ? 3? ? x ? ? sin ? ?x? ? , 则y ? f ? 4 ? ? 4 ? ? 4

? ? ? ? sin x , 故 ?

f

x ? ??s

? ? 是奇函数且它的图像关于点 ?? ,0? 对称,因此选 D。 ?
*

8.在数列 ?an ? 中,若对任意的 n 均有 an ? an?1 ? an? 2 为定值( n ? N ) , 且 a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 ,则数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ?

A. 132
【答案】B

B. 299

C. 68

D. 99

【KS5U 解析】不妨设 an ? an?1 ? an?2 ? T ,同理:an?1 ? an?2 +an +3 ? T ,所以 an ? an?3 ,所 以 数 列 ?an ? 是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列 , 所 以 a1 ? a7 ? 2, a3 ? a9 ? 3, a2 ? a98 ? 4 ,

S100 ? 33? a1 ? a2 ? a3 ? ? a1 ? 299 。
9.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 且 g(3)=0.则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是

A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)
【答案】D

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

【KS5U 解析】构造函数 F ? x ? ? f ( x) g ( x) ,因为当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 所以当 x<0 时, F
'

? x ? ? ? f ( x) g ( x) ?

'

? 0 ,所以函数 F ? x ? ? f ( x) g ( x) 在 ? ??,0? 上单调

递增,又因为 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 F ? x ? ? f ( x) g ( x) 是奇 函 数 , 所 以 函 数 F ? x ? ? f ( x) g ( x) 在 ? 0, ??? 上 单 调 递 增 , 又 g(3)=0. 所 以

F ?3? ? F ( 3?) ,所以不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是(-∞,- 3)∪(0, 3)。 ? 0
10.如图所示,两个不共线向量 OA , OB 的夹角为 ? ,

??? ??? ? ?

B
M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上,
且 OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为

??? ?

??? ?

??? ?

M
1 D. 2

C N A

2 A. 4
【答案】B 【 KS5U

1 B. 8

2 C. 2

O

解 析 】 因 为 M, N

分 别 为 OA 与 OB

的 中 点 , 所 以

??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? OC ? xOA ? yOB ? 2xOM ? 2 yON , 因 为 点 C 在 直 线 MN 上 , 所 以
1 ? x ? y ? ? 1 ,当 2 x ? 2 y ? 1, x ? 0, y ? 0, 即x ? y ? , x ? 0, y ? 0 ,所以 x 2 ? y 2 ? 2 2 8
2

且仅当 x=y 时取等号,因此选 B。 11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,如果实数

m, n 满足不等式 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,那么 m2 ? n2 的取值范围是

A. (9,49)

B. (13,49)

C. (9,25)

D. (3,7)

【答案】A 【KS5U 解析】对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x ) 是奇函数,又因为

f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 所 以 由 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 得 :
2 2 f ( m ? 6 m? 2 1 ? ? f 2( ? 8 )? f ? n ?? ,n所 以 m2 ? 6m ? 21 ? ?n2 ? 8n , 即 ) n n ? 8

? m ? 3?

2

? ? n ? 4 ? ? 4 ,所以 m2 ? n2 的最大值为 ? r ? 2 ? ,即 49;因此最小值为 ? r ? 2 ? ,
2 2 2

即 9, m ? n 的取值范围是(9,49) ,故选 A。
2 2

12.对于定义在 D 上的函数 f ( x ) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 , 使得对任意 x ? D 都有 kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x)( x ? D) 有一个宽 度为 d 的通道.给出下列函数:① f ( x) ?

1 ,② f ( x) ? sin x ,③ f ( x) ? x 2 ? 1 ,其中在 x

区间 [1, ??) 上通道宽度可以为 1 的函数有:

A. ①②
【答案】B

B. ①③

C. ①

D. ③

【KS5U 解析】因为在区间 [1, ??) 上, 0 ?

1 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) ? 在区间 [1, ??) 上通道 x x

宽度可以为 1;当 x ? 1 时,?1 ? sin x ? 1 ,所以函数 f ( x) ? sin x 的宽度最小为 2;当 x ? 1 时, f ( x) ?

x2 ? 1 表示双曲线 x2 ? y 2 ? 1在第一象限的部分,双曲线的渐近线为 y=x,故

可取另一直线为 y=x-2,满足在[1,+∞)有一个宽度为 1 的通道,因此选 B。

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 ______. 【答案】

1 3

【KS5U 解析】长方形的面积为 S ? 1? 3 ? 3 ,阴影部分的面积为 S1 ? 所以点 M 取自阴影部分的概率为

?

1

0

3x2 dx ? x3 ? 1 ,
0

1

1 。 3

14.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为 _______________。

【答案】

(8 ? ? ) 3 6

【KS5U 解析】由三视图知,该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体,其中圆锥的底 面半径为 1,高为 3 。四棱锥的底面为边长是 2 的正方形,高为 3 ,所以这个几何体的 体积为 V ?

1 1 1 (8 ? ? ) 3 ? ? ?12 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 。 3 2 3 6

15.等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表中的同一列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ______________. 第一列 第一行 第二行 第三行 【答案】 2 ? 3
n?1

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

【KS5U 解析】易知 a1 , a2 , a3 分别是 2,6,18,所以 q ?
x

6 ? 3, 所以an ? 2 ? 3n ?1 。 2

16.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

2 ?1? , g ( x) ? ? ? ? m .若 ?x1 ?[1, 2] , ?x2 ?[?1,1] x ?2?

使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是________________. 【答案】 [? , ??) 【KS5U 解析】 要使 ?x1 ?[1, 2] , ?x2 ?[?1,1] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 使 只需 f ( x ) ? x ?
2

5 2

2 在 [1, 2] x

的 最 小 值 大 于 等 于 g ( x) ? ? ? ? m 在 [?1,1] 上 的 最 小 值 , 因 为
3 2 2 2 ? x ? 1? ? ? 0 在 [1, 2] 上成立,所以 f ( x ) ? x 2 ? 在 [1, 2] 单调递 2 2 x x x

?1? ?2?

x

f ' ( x) ? 2 x ?

2 ?1? 增,所以 f min ( x) ? f ?1? ? 1 ? ? 3 。因为 g ( x) ? ? ? ? m 是单调递减函数,所以 1 ?2?
2

x

5 ?1? ?1? gmin ( x) ? g ?1? ? ? ? ? m ,所以 ? ? ? m ? 3,即m ? ? 。 2 ?2? ?2?

选择、填空题答案: 1—5:DDBDB 6—10:BDBDB, 11—12:AB

13.

1 5 (8 ? ? ) 3 n?1 ; 14. ;15. 2 ? 3 ;16. [? , ??) 3 2 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的 两个观测点,现位于 A 点北偏东 45 ,B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60 且与 B 点
? ? ?

相距 20 3 海里的 C 点救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:

18.已知函数 f ( x) ?

2x ? 3 1 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f ( ), n ? N * , 3x an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2 na2 n?1 , 求 Tn ; (3)若 Tn ?

m * 对 n ? N 恒成立,求 m 的最小值. 2
2 2x ? 3 2 1 1 2 ? ? , an ?1 ? f ( ) ? ? an , ?an ? 是以 1 为首项, 又 即 以 3 3x 3 x an 3

解: (1)因为 f ( x) ?

为公差的等差数列,所以 an ?

2 1 n? . 3 3

(2) Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2n a2n?1

4 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n?1 ? a2n?1 ) ? ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) 3 4 ? ? (2n 2 ? 3n) 9

(3)由 n ? N ,?Tn ? 递减,所以 n ? 1 ,Tn 取最大值 ?
*

20 m * ,由 Tn ? 时,n ? N 恒成立, 9 2

所以, m ? (2Tn ) max ? ?

40 40 , 所以, mmin ? ? . 9 9

? 19. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 是 边 长 为 2 3 的 菱 形 , ?BAD ? 120 且

PA ? 面ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点.
(1)证明: MN / /面ABCD (2)过点 A 作 AQ ? PC ,垂足为点 Q ,求二面角 A ? MN ? Q 的余弦值. 19.

P N M A B C Q D

20.现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

1 2 ,去参加乙游戏的概率为 .设 3 3 1 i 2 4 ?i i “这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏” 为事件 Ai ,(i ? 0,1, 2,3, 4) , P( Ai ) ? C4 ( ) ( ) . 则 3 3 8 2 1 2 2 2 (1)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 27
解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 (2) “这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数” 设 为事件 B ,B ? A3 ? A4 , 故, P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ?
3 3 4 4

1 3

2 3

1 3

1 . 9
1 . 9

所以,这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

P (? ? 0) ? P( A2 ) ?

8 27 40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , 81 81



P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?
所以, ? 的分布列是

?
P

0

2

4

8 27

40 81

17 81

E? ?

148 . 81

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x , (1)讨论 f ( x ) 的单调性, (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) , a a a

(3)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证明:

f '( x0 ) ? 0
解:(1) f (x)的定义域为(0,+∞)
f ?( x) ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? x x

(ⅰ) 若 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x)在(0,+∞)内单调递增

(ⅱ) 若 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 1 , 且 x ? (0, ) 内单调递增 a a

1 x ? ( , ??) 时 f (x)单调递减 a 1 1 (2) 设 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x) a a

? g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax

g ?( x) ?

a ?a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

1 时, g ?( x) ? 0 ,而 g (0) ? 0 ∴ g ( x) ? 0 a 1 1 1 即 0 ? x ? 时 f ( ? x) ? f ( ? x) a a a
当0 ? x ? (3) 由(1)可得,当 a ? 0 ,f (x)单调递增,所以 f (x)与 x 轴至多有一个交点,不合题

1 1 意. 故 a>0,从而 f ( x ) max ? f ( ) , 且 f ( ) ? 0 a a
不妨设 A( x1 ,0), B( x2 ,0),0 ? x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? 由(2)知 f ( ? x1 ) ? f ( ?

1 ? x2 a

1 1 1 1 ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) a a a a x1 ? x2 1 2 ? ? f ?( x0 ) ? 0 即 x2 ? ? x1 ? x0 ? a 2 a
22.选考题(本小题 10 分) 请从下列三道题当中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,请在答题卷上注 明题号。
22—1.设函数

2 a

f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3

(1)解不等式 f ( x) ? 5x ? 1 , (2)若 g ( x) ?

1 定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

解:(1)原不等式等价于:
1 3 3 ? ?1 ? ?x ? ? ?x? ?x ? 2 或 ?2 2 或 ? 2 ? ?9 x ? 3 ?1 ? 5 x ? x ? ?5 ? ? ?

? 1? 因此不等式的解集为 ? x x ? ? 3? ?

(2) 由于 g ( x) ?

1 的定义域为 R f ( x) ? m

∴ f ( x) ? m ? 0 在 R 上无解 又 f ( x) ?| 2 x ?1| ? | 2 x ? 3|?| 2 x ?1 ? 2 x ? 3|? 2 ∴-m<2, 即 m>-2
22—2.如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交

即 f ( x)min ? 2

BC 于 E ,

AB ? 2 AC ,
(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
B D

A

C E

证明:(1)连接 DE, ∵ACDE 为圆的内接四边形. 又∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即
BE DE ? BA CA

∴∠BDE=∠BCA

而 AB=2AC ∴BE=2DE 又 CD 是∠ACB 的平分线 ∴AD=DE 从而 BE=2AD.


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