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湖北省枣阳市高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


湖北省枣阳市高级中学高一年级 2015-2016 学年度下学期期中考试数 学试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.向量 、 的夹角为 60°,且 A.1 B. C. D.2 , ,则 等于( )

2.已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x (ω >0)的图象与直线 y=-2 的两个相邻公共点之间的 距离等于 π ,则 f ( x) 的单调递减区间是( A、 ? k ? ? ? , k ? ? 2? ? , k ? Z ? 6 3 ? C、 ? 2k ? ? ? , 2k ? ? 4? ? , k ? Z ? 3 3 ? )

B、 ? k ? ? ? , k ? ? ? ? , k ? Z ? 3 6? D、 ? 2k ? ? ? , 2k ? ? 5? ? , k ? Z ? 12 12 ? )

3. a、b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.30
0

B.45

0

C.60

0

D.90

0

4. a、b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.30
0



B.45

0

C.60

0

D.90

0

5. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 若 A ? 135? , B ? 30?oO 0 , a ? 于( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2 ( )

2 ,则 b 等

6.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
? ?

D.不能确定 )

7.在 ?ABC 中, B ? 45 ,C ? 60 ,c ? 1, 则 b ? (

A.

6 3

B.

6 2

C.

1 2

D.

3 2


8.在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

9.等差数列 {a n }中,已知a1 ? a 4 ? a 7 ? 39, a3 ? a 6 ? a9 ? 27, 则前9项和S 9 的值为( A.66 B.99 C.144 D.297



10.等差数列 {a n }中,已知a1 ? a 4 ? a 7 ? 39, a3 ? a 6 ? a9 ? 27, 则前9项和S 9 的值为( A.66 B.99 C.144 D.297 ) D.4 11.已知数列 ?a n ? 是公比为 2 的等比数列,若 a4 ? 16 ,则 a1 = ( A.1 B.2 C.3



12 .数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 并且 ( ) B.

an ?1 ? an an ? an ?1 ? (n ? 2) 。则数列的第 100 项为 an ? an ?1 an ? an ?1
1 100 1 50

1 A. 100 2

1 250

C.

D.

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13. 在锐角 V ABC 中, AC ? 4, BC ? 3 , 三角形的面积等于 3 3 , 则 AB 的长为___________. 14.设 ?ABC 在的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且满足 a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 5

tan A ? tan B

.

* 15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,( n ? 2, n ? N ) ,则 an =___________.
. .

16.循环小数 0.4 31 化成分数为__________. 三、解答题(70 分) 17. (本题 12 分)在 ?ABC 中,已知内角 A ? (1)若 x ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,面积为 y .

?
4

,求边 AC 的长;

(2)求 y 的最大值. 18. (本题 12 分)已知 ?ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,它们的对边分别为 a,b,c , 且满足 a : b ? 2 : 3 , c ? 2 . (1)求 A, B,C ; (2)求 ?ABC 的面积 S . 19. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中 m ? (1,sin 2 x), n ? (cos 2 x, 3), 在 ?ABC 中,

?? ?

??

?

a, b, c 分别是角的对边,且 f ( A) ? 1 .
(1)求角A; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

20. (本题 12 分)已知等比数列{an}满足:a1=2,a2?a4=a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列 bn= ,求该数列{bn}的前 n 项和 Sn.

21 . ( 本 题 12 分 ) 已 知 数 列 {a n } 的 各 项 均 为 正 数 , S n 是 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 , 且

4 S n ? a n ? 2a n ? 3 .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)已知bn ? 2 , 求Tn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn 的值.
n

2

22. (本题 10 分)等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 n ? 2an ? 1 ( n ? N* ) , Sn 是数列 {an } 的前 n 项 和. (1)求 an,Sn ; (2)设数列 {bn } 满足
b b1 b2 1 ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . ? ? ? ? n ? 1 ? n ( n ? N* ) a1 a2 an 2

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:欲求 ,只需自身平方再开方即可,这样就可出现两向量的模与数量积,

最后根据数量积公式解之即可. . 解:∵向量 、 的夹角为 60°,且 ∴ ? =1×2×cos60°=1 ∴|2 ﹣ |= = =2 , ,

故选 D. 点评:本题主要 考查了向量的数量积的概念,以及向量的模的求法,属于向量的综合运算, 同时考查了计算能力,属于基础题. 2.A 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2 sin(? x ? ? ) 最小值为-2,可知 y=-2 与 f(x)两 6

个相邻公共点之间的距离就是一个周期,于是 T ? 2? ? ? ,即 ω =2,即 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ) ? 6 令 2 x ? ? ? ? 2k ? ? ? , 2k ? ? 3? ? ,k∈Z,解得 x∈ ? k ? ? ? , k ? ? 2? ? , k ? Z ,选 A ? 6 ? 2 2 ? 6 3 ? 考点:三角函数恒等变形,三角函数的图象及周期、最值、单调性. 3.A 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以,向量 a , b, a ? b 围成一等边三角形, ? a, b ? =60 ,
0

a ? b 平分 ? a, b ? ,故 a 与 a ? b 的夹角为 300 ,选 A.
考点: 平面向量的线性运算,平面向量的夹角. 4.A 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以,向量 a , b, a ? b 围成一等边三角形, ? a, b ? =60 ,
0

a ? b 平分 ? a, b ? ,故 a 与 a ? b 的夹角为 300 ,选 A.
考点: 平面向量的线性运算,平面向量的夹角. 5.A 【解析】 试题分析:由正弦定理 考点:正弦定理的运用 6.A. 【解析】 试题分析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,结合正弦定理可得, a 2 ? b 2 ? c 2 ,由余弦定理可得

2 b 2 a b 得, 即b ? ? ? sin 30? ? 1 。 ? ? ? ? sin 135 sin 30 sin 135 sin A sin B

cos C ?

a2 ? b2 ? c2 ? ? 0 ,所以 ? C ? ? .所以 ?ABC 是钝角三角形. 2ab 2

考点:余弦定理的应用;三角形的形状判断. 7.A 【解析】

试题分析: 由正弦定理

c sin B 1? sin 45 b c 可得,b ? ? ? ? sin B sin C sin C sin 60?
?

1?

2 2 6。 故 A 正确。 3 3 2

考点:正弦定理。 8.B 【解析】 试题分析:由 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc 可得 (b ? c) ? a ? 3bc 即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,又由
2 2

余弦定理可得 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 2bc cos A ? bc 即 cos A ? 所以 A ? 60? ,选 B. 考点:余弦定理. 9.B 【解析】由已知及等差数列的性质得, 3a4 ? 39,3a6 ? 27, 所以, a4 ? 13, a6 ? 9,S9 ?

1 ,因为 A ? (0, ? ) , 2

9(a1 ? a 9 ) 9(a 4 ? a 6 ) ? ? 99, 选 B. 2 2

考点:等差数列及其性质,等差数列的求和公式. 10.B 【解析】由已知及等差数列的性质得, 3a4 ? 39,3a6 ? 27, 所以, a4 ? 13, a6 ? 9,S9 ?

9(a1 ? a 9 ) 9(a 4 ? a 6 ) ? ? 99, 选 B. 2 2

考点:等差数列及其性质,等差数列的求和公式. 11.B 【解析】 试题分析:由等比数列的通项公式 an ? a1q 考点:等比数列的通项公式 12.D 【解析】 试题分析:
n ?1

得 a4 ? a1q ,所以 a1 ?
3

a4 16 ? ? 2。 q3 8

an ?1 ? an an ? an ?1 1 1 2 , 由等差数列的定义可知数列 ? (n ? 2) ? ? ? an ? an ?1 an ? an ?1 an ?1 an ?1 an

?1? ?1? 1 1 1 1 1 ? ? 为等差数列首项为 ? ,公差为 ? ? ,所以数列 ? ? 的通项公式为 a1 2 a2 a1 2 ? an ? ? an ?
1 1 1 n 2 2 1 .故 D 正确. ? ? ? n ? 1? ? ,所以 an ? .所以 a100 ? ? an 2 2 2 n 100 50
考点:1 等差中项;2 等差数列的通项公式. 13. 13 【解析】 试题分析:已知三角形的两条边长,要求第三边,一般可用余弦定理,则必须求得已知两边 的夹角,那么三角形的面积我们选用公式 S ?ABC ?

1 AC ? BC sin C ,可得 sin C ,从而得 2

cos C ,再由余弦定理可得结论.
考点:三角形的面积公式与余弦定理. 14.4 【解析】

试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 可 得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 sin C , 即 5

3 sin A cos B ? sin B cos A ? sin ? A ? B ? 5 3 3 ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 sin A cos B tan A ? ?4? ? 4. cos A sin B tan B
考点:1 正弦定理;2 两角和差公式, 15. 3n ? 2 【解析】

? sin A cos B ? 4 cos A sin B

试题分析:这是一个等差数列,已知条件中有其公差 d ? an ? an ?1 ? 3 ,首项为 a1 ? 1 ,通项 公式为 an ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2 . 考点:等差数列的通项公式. 16.

427 990

【解析】

? ? ? 0.4 ? 试题分析:由题意 0.431
考点:无穷递缩等比数列的和.

0.031 427 . ? 1 990 1? 100

17. (1) 2 2 .(2) y 取得最大值 3 3 . 【解析】 试题分析: (1)由正弦定理即可得到 AC ? ( 2 ) 由 ?ABC 的 内 角 和 A ? B ? C ? ?

BC ? sin B 2 3 ? sin 45? ? ?2 2. sin A sin 60?
, A?

?
3

及 正 弦 定 理 得 到 AC ? 4sin x , 将

y ? 4 3 sin x(

3 1 cos x ? sin x) 化简为 2 2

? y ? 2 3 sin(2 x ? ) ? 3, 根据角的范围得到 6 ? x ? 时, y 取得最大值 3 3 . 3
试题解析: (1)由正弦定理得: AC ?

BC ? sin B 2 3 ? sin 45? ? ?2 2. sin A sin 60?

6分

(2)由 ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? , A ?

?
3

?0 ? B ?

2? , 3

由 AC ?

BC sin B ? 4sin x sin A

8分

?y ?

3 1 1 2? cos x ? sin x) AC ? BC sin C ? 4 3 sin x sin( ? x) = 4 3 sin x( 2 2 2 3
10 分

? ? 6sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) ? 3, 6 2? ? ? 7? 因为 0 ? x ? ,?? ? 2 x ? ? 3 6 6 6 ? ? ? 当 2 x ? ? 即 x ? 时, y 取得最大值 3 3 . 6 2 3
考点:正弦定理的应用,和差倍半的三角函数. 18. (1) A ? 45?,B ? 60?,C ? 75? ; (2) S?ABC ? 3 ? 3 . 【解析】

14 分

试题分析: (1)由 A, B,C 成等差数列及 A ? B ? C ? 180? 可知 B ? 60? , A ? C ? 120? 。再由 正弦定理

a b 2 a sin A 变形可知 ? , sin A ? , 结 合 0? ? A ? 120? , 可 求 得 ? 2 b sin B sin A sin B

A ? 45? , C ? 120? ? A ? 75? ;
由(1) C ? 75? 结合两角和的正弦公式,可知 sinC ? sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ? 弦定理
a b c a b 2 a b ,可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 45 sin 60 sin 75 2 3 2 2

6? 2 ,再由正 4 2 , 6? 2 4

1 1 3 ac sin B ? ? 2( 3 ? 1) ? 2 ? ? 3? 3 . 2 2 2 试题解析: (1)∵ A , B , C 成等差数列,∴ A ? C ? 2 B ,

从而 a ? 2( 3 ? 1),b ? 6( 3 ? 1) ,则 S?ABC ?

又∵ A ? B ? C ? 180? ,∴ B ? 60?,A ? C ? 120? , a b c a sin A 由正弦定理 ,可知 ? , ? ? sin A sin B sin C b sin B ∴
2 ?

2分

sin A sin A 2 , 4分 ? ? sin A ? ? sin 60 2 3 3 2 ? ? ∵ 0 ? A ? 120 ,∴ A ? 45? , C ? 120? ? A ? 75? ,综上, A ? 45?,B ? 60?,C ? 75? ; 分
6? 2 , 8分 4 a b 2 a b 2 由 , ? ? ? ? ? sin 45? sin 60? sin 75? 2 3 6? 2 2 2 4

6

(2) sinC ? sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ?

得 a ? 2( 3 ? 1),b ? 6( 3 ? 1) ,

10 分

1 1 3 ac sin B ? ? 2( 3 ? 1) ? 2 ? ? 3? 3 . 2 2 2 考点:1.正弦定理解三角形;2.三角恒等变形.

∴ S?ABC ?

12 分

19.(1) A ? 【解析】

? 3 (2) 2 3

试题分析:(1)根据向量的数量积运算可得函数的解析式.然后将 A 代入可得. (2)根据题中所给条件以及角 A ,利用余弦定理,联立可得 b, c .最后根据 S ? 面积. 试题解析: (1)因为 f ( x) ? m ? n ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ?

1 bc sin A 求得 2

?
6

) ,且 f ( A) ? 1 .

所以 2 sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 ,可得 2 A ?

?
6

?

?
6



5? . 6

解得 A ?

? 或 A ? 0 (舍) 3
b 2 ? c 2 ? ( 3) 2 2 2 ,整理得 bc ? b ? c ? 3 2bc

(2)由余弦定理得 cos A ?

联立方程

b?c ?3

解得

?b ? 2 ? ?c ? 1

或?

?b ? 1 。 ?c ? 2

所以 S ?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? S ?ABC ? bc sin A ? . 2 2 2
n

考点:向量的数量积运算;三角函数特殊角;余弦定理;三角形面积公式. 20. (1) (2)Sn= 【解析】 试题分析: (1)设等比数列{an}的公比为 q,根据等比数列的通项公式和条件,列出关于 q 的 方程求出 q,再代入 化简即可; 化简后裂项,代 =2

(2)由(1)求出 a2n﹣1、a2n+1 的表达式,代入 入数列{bn}的前 n 项和 Sn,利用裂项相消法进行化简. 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,

由 a1=2,a2?a4=a6 得, (2q) (2q )=2q , 解得 q=2, 则 =2 , , = , ,
n

3

5

(2)由(1)得, ∴ = 则 Sn=b1+b2+b3+?+bn = (1﹣ = =

点评:本题考查了等比数列的通项公式,对数的运算,以及裂项相消法求数列的前 n 项和, 属于中档题.
n ?1 21. (1) an ? 2n ? 1 . (2) Tn ? (2n ? 1)2 ? 2 。

【解析】 试题分析: (1)令 n = 1,解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) , 2 由 4Sn = an + 2an-3 ① 及当 n ? 2 时
2

4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3
2

2



①-②得到 a n ? a n ?1 ? 2(a n ? a n ?1 ) ? 0 , 确定得到 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (2)利用“错位相减法”求和. 试题解析: (1)当 n = 1 时, a1 ? s1 ? 分 2 又 4Sn = an + 2an-3 当n?2时 ①-②
2

1 2 1 3 a1 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) 4 2 4

1

① ②

4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3

2 2 2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2( an ? an ?1 ) , 即 a n ? a n ?1 ? 2( a n ? a n ?1 ) ? 0 ,

∴ (a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ,

4分

? a n ? a n ?1 ? 0 ? a n ? a n ?1 ? 2 ( n ? 2 ) , ? 数列{a n } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ? a n ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .
6分

(2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1)2 n ?1
1 2 3 n

③ ④
n ?1

④-③ Tn ? ?3 ? 2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2n ? 1)2

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2
12 分

考点:等差数列及其求和,等比数列的求和, “错位相减法”. 22. (1) an ? 2n ? 1 , Sn ? n 2 ; (2) Tn ? 3 ? 【解析】 试题分析: (1)由等差数列 {an } , a1 ? 1 ,从而可将条件中的关系式 a2 n ? 2an ? 1 转化为关于 公差 d 的方程:
a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ? d ? a1 ? 1 ? 2 ,再由等差数列的通项公式及前 n 项和公式可

2n ? 3 . 2n

知: (2)根据关系式 an ? 2n ? 1 , Sn ? n 2 ;
b 1 b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n 可知 b1 ? , 2 a1 a2 an 2

b 1 ? b1 b2 ? ?? ? n ?1? n , ? b 1 1 1 ?1 3 2n ? 1 2 ? n ? 1 ? n ? (1 ? n ?1 ) ? n ,验证当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, ? 2n ? 1 2 2 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 1 ? 1 n ?1 ? 2n ? 3 2 ?1 3

也有上述关系式,因此数列 {bn } 的通项公式为 bn ?

2n ? 1 ,其通项公式为一个等差数列与一个 2n

等 比 数 列 的 乘 积 , 考 虑 采 用 错 位 相 减 法 求 其 前 n 项 和 :
1 3 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , ? 1 1 2 2 2 2n ? 1 ? 2 2 2 2 ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1 , ? 2 2 2 2 2 ? 1 T ? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3 ? 2n ? 1 2 n 2 3 n n ?1 ? ?2 2 2 2 2

1 1 ? n ?1 1 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ? 1 ? 1 2 2 2 2n 2n ? 2 2n 1? 2
2n ? 3 . 2n 试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d .由 a2 n ? 2an ? 1 知, Tn ? 3 ?
a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ? d ? a1 ? 1 ? 2 ,

? 3?

2n ? 3 2n

, 即

2分

∴ an ? 2n ? 1 , Sn ? n 2 ;

4分

(2)由

b 1 b 1 b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n ,可知 1 ? 1 ? ,∴ b1 ? , a1 2 2 a1 a2 an 2

5分

b 1 ? b1 b2 ? ?? ? n ?1? n , ? b 1 1 1 ?1 3 2n ? 1 2 当 n ? 2 时, ? ? n ? 1 ? n ? (1 ? n ?1 ) ? n , 2n ? 1 2 2 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 1 ? 1 n ?1 ? 2n ? 3 2 ?1 3

当 n ? 1 时,也符合 a1 ?

1 1 2n ? 1 , ? 1 ,综上, bn ? n ( n ? N* ) 2 2 2

8分

1 3 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , ? 1 1 2 2 2 2n ? 1 ? 2 2 2 2 ∴? ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , 1 1 3 2 n ? 3 2 n ? 1 2 2 2 2 2 2 ? T ? ? 3 ??? ? n ?1 n 2 n ? ?2 2 2 2 2

12 分

1 1 ? n ?1 1 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 , ? Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ? 1 ? 1 2 2 2 2n 2n ? 2 2n 2n 1? 2

即 Tn ? 3 ?

2n ? 3 . 2n

13 分

考点:1.等差数列的通项公式及其前 n 项和;2.数列的通项公式与错位相减法求数列的和.


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