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编号44 2.1.1 曲线与方程


2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的

y ? kx ? b

x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为_______________________.

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

为什么?

问题探究一 分析特例归纳定义

思考?
1.坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线

l ?点的横坐标与纵坐标相等 ?x=y(或x-y=0)
条件 方程

曲线
y
0

l

得出关系:
x-y=0 x

(1) l 上点的坐标都是方程x-y=0的解;

(2) 以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上.

∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .

思考?
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上

2.过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系?

结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y

0

A 2

x

思考? 2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r

表示如图的圆
2

图像上的点M与此方程 ( x ? a)

? ( y ? b) ? r
2

2

有什么关系?

y

满足关系:
(1) 如果 M ( x0 , y0 )是圆上的点,那么

· ·
M

0

x

M ( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解;
的解, 那么以它为

(2) 如果 M ( x0 , y0 ) 是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 坐标的点一定在圆上 .

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.

说明:

0

x

1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0

问题探究二

解决例题、巩固定义:

例1 :判断下列命题是否正确

(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0), D为BC中点,则中线AD的方程x=0

解:(1)不正确,应为x=3,

(2)不正确,应为y=±1. (3)正确.
(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

证明: (1)如图,设M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点, 因为点M与x轴的距离为y0 , 与y轴的距离为x0 , 所以 x0 ? y0 ? k ,即( x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解。
o y

M
x

(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy ? ? k的解, 即x1 y1 ? ? k ,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离, 因此点M 1到两条直线的距离的积 是常数k , 点M 1是曲线上的点。

由(1), (2)可知,xy ? ?k是与两条坐标轴的距离 。 的积为常数k (k ? 0)的点的轨迹方程。

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.

练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折 线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距 离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1

y

y

x

-2 -1 0 1 2

x







练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?
① xY 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

y =0

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部

练习4:设圆M的方程为( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
2 2

A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 D.点P既不在圆上,也不在直线上 练习5:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 4 4 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, n =______.
2 2

5

5

课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) =0 的解” 是“方程 f ( x, y) =0 是曲线 C 的方程”的(C )条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(?4, ?3) , B(2, ?1) , C (5,7) , 则 AB 边上的中线的方程为___________.

3x ? 2 y ? 0(?1≤ x ≤ 5)

小结:
? 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和 方程,当说某方程是曲线的方程或某曲线 是方程的曲线时就意味着具备:
(1)曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解;

(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上.

? 两个条件,只有具备上述两个方面的要求, 才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问 题化为代数问题,以数助形正是解析几何 的思想,本节课正是这一思想的基础.


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