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辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷


沈阳铁路实验中学 2014-2015 学年度下学期期末考试

高二数学
时间:120 分钟
一、选择题(每题 5 分) 1.设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. 1 ? i
3 2

分数:150 分

2 ? z 2 =( ) z C. ?1 ? i D. ?1 ? i
)

2.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为(

A.-1 ? a ? 2 B.-3 ? a ? 6 C. a ? -1 或 a ? 2 D. a ? -3 或 a ? 6 3.某单位为了了解用电量 y (千瓦时)与气温 x ( ?C )之间的关系,随机统计了某 4 天的用 电量与当天气温,并制作了对照表: 气温 x ( ?C ) 用电量 y (千瓦时) 18 24 13 34 10 38

?1
64

? ? ?2 ,预测当气温为 ?4?C 时,用电量约为 ? ?a ? ? bx ? 中b 由表中数据得线性回归方程 y
( ) A.58 千瓦时 B.66 千瓦时 C.68 千瓦时 D.70 千瓦时

?? (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ) ? ? y ? bx ,a

2 i

4.某一批花生种子,若每 1 粒发芽的概率为 ( A. ).

3 ,则播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 5
D.

18 125

B.

36 125

C.

48 125

54 125
)

5.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是( A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D.0

6.某人射击 8 枪命中 4 枪,这 4 枪中恰有 3 枪连在一起的不同种数为( ) A. 720 B. 480 C. 224 D. 20 7.已知箱中共有 6 个球,其中红球、黄球、蓝球各 2 个.每次从该箱中取 1 个球 (有放回, 每球取到的机会均等), 共取三次. 设事件 A: “第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同” , 事件 B: “三次取到的球颜色都相同” ,则 P ( B | A) ? ( A. )

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

8.将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,浙江大学等三所大学就读,
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则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( A.240 B.180 C.150 D.540 9.设 k 是一个正整数, ? 1 ?

)种.

? ?

1 x? 2 ? 的展开式中第四项的系数为 ,记函数 y=x 与 y=kx 的图 16 k?

k

像所围成的阴影部分为 S,任取 x ? [0,4],y ? [0,16],则点(x, y)恰好落在阴影区域内的 概率为( )

A.

17 96

B.

5 32

C.

1 6

D.

7 48

10.平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 ( A. )

3 a ,类比上述 2

4 a 3

B.
3

5 a 4
2

C.

6 a 3

D.

6 a 4

11. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 , 若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 , 则关于 x 的 方程 3( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数为(
2

) D.6

A.3

B.4

C.5

12.定义在 (0, ?? ) 上的单调递减函数 f ( x ) ,若 f ( x ) 的导函数存在且满足 则下列不等式成立的是( A. 3 f (2) ? 2 f (3) C. 2 f (3) ? 3 f (4) 二、填空题(每题 5 分) ) B. 3 f (4) ? 4 f (3) D. f (2) ? 2 f (1)

f ( x) ? x, f ' ( x)

2 13 . 如 果 随 机 变 量 ? ~ N ( ?1, ? ) , 且 P (?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 , 则 P (? ? 1)





14 . 若 (1 ? 2 x) 2009 ? a0 ? a1 x ? _______ 15. .

? a2009 x 2009 ( x ? R ) , 则

a1 a2 ? ? 2 22

?

a2009 的值为 22009

?

3

1

( 4 ? ( x ? 2) 2 ? 3)dx ? ___________ .
2 x

16.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e ,若 f ( x) 在 [?1,1] 上是单调减函数,则 a 的取值
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范围是_______ 三、解答题

.

17. (满分 12 分)已知函数 f ( x) =

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828……是自然对数的底数) , ex

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行。 (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间; 18. (满分 12 分)为了解七班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查 得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理 由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布列 与期望. 下面的临界值表供参考:
P ( K ? k0 )
2

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05[ 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (满分 12 分)观察下列式子: 1 ? (1)由此猜想一个一般性的结论, (2)请证明你的结论.

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4

20. (满分 12 分)旅游公司为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁 4 条旅游线路,每个旅游团任
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选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率; (3)设选择甲线路旅游团的个数为 ? ,求 ? 的分布列. 21. (满分 12 分)已知函数 f (x ) ?

1? x ? ln x ax

(1)若函数 f (x ) 在 [1,??) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求函数 f (x ) 在 [ ,2] 上的最值; 当 a ? 1 时,对大于 1 的任意正整数 n ,试比较 ln

1 2

n 1 与 的大小关系. n ?1 n

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (满分 10 分)几何证明选讲. 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与 ⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连结 AC .

求证:(1) ?BAC ? ?CAG ; (2) AC 2 ? AE ? AF .

23. (满分 10 分)已知曲线 C1 : ? 数) .

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参 ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

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(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 :

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)距离的最小值. ? ? y ? ?2 ? t

24. (满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若存在实数 x ,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围.

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参考答案 1.A.2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C 11.A 12.A 13.0.1 17. 14.-1 15. . 16. a ?

3 . 4

1 ? k ? ln x ln x ? k x ? (1) :由 f ( x) = 可得 f ( x) ? ( x ? 0) ex ex
∵ y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线与 x 轴平行,∴ f ?(1) ? 0 5分

3分

1? k ? 0 ,解得 k ? 1 e 1 ? 1 ? ln x x (Ⅱ) f ?( x) ? ( x ? 0) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1 , ex 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 x 1 当 x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 x
即 ∴ f ( x) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1,??) 内为减函数。 18. 解:(1) 列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30

6分

8分

10 分 12 分

3分 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(2)∵ K ?
2

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 30 ? 20 ? 25 ? 25
7分

∴在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关. (3)喜爱打篮球的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 . 其概率分别为 P (? ? 0) ? 故 ? 的分布列为:

0 2 1 1 2 0 C10 C15 C10 C15 C10 C15 7 1 3 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , , 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

?
P

0
7 20

1

2

1 2

3 20

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? 的期望值为: E? ? 0 ?
19.

7 1 3 4 ? 1? ? 2 ? ? 20 2 20 5
1? 1 1 ? ? 22 32 ? 1 2n ? 1 ? n2 n

12 分

试题解析:一般性结论: 证法一:

n ? N *且n ? 2,

1 1 1 1 ? ? ? 2 n (n ? 1)n n ? 1 n

?1 ?

1 1 1 ? 2? ? 2 2 2 3 n 1 1 1 1 1 ? 1?1? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4

?

1 1 1 2n ? 1 ? ? 2? ? n ?1 n n n

证法二:数学归纳法:当 n=k+1 时,

?1 ?

1 1 ? ? 22 32

?

1 1 2k ? 1 1 ? ? ? 2 2 k (k ? 1) k (k ? 1) 2

(2k ? 1)(k ? 1) 2 ? k 2k 3 ? 3k 2 ? k ? 1 2k 3 ? 3k 2 ? k ? ? ? k (k ? 1) 2 k (k ? 1) 2 k (k ? 1) 2 k (k ? 1)(2k ? 1) 2k ? 1 ? ? k (k ? 1) 2 k ?1
当 n=k+1 时,成立。 20. 试题解析: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? 3 8 4

4分

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

2 2 C4 ? C 32 ? A2 9 ? 3 16 4

8分

(3)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3

C ?3 C ?3 27 9 33 27 P(ξ =0)= 3 ? , P(ξ =1)= 3 3 ? , P(ξ =2)= 3 3 ? , 64 4 64 4 64 4
1 2
2

P(ξ =3)=

3 C3 1 ? 3 64 4

ξ P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

∴ξ 的分布列为:

12 分

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21.

………4 分

………8 分

当 a ? 1 时,对大于 1 的任意正整数 n ,有 ln

n 1 > n ?1 n

22. (1)连结 BC,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC.∴∠BAC=∠CAG. (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC. ∴

5分

AC AF 2 ,∴AC =AE·AF. ? AE AC

10 分

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23. (1)由曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 4 ? cos t ( t 为参数)得 ? , ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 ? sin t
2 2

两式平方相加消去参数 t ,得曲线 C1 的普通方程为: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1 . C1 为圆心是

(?4,3) ,半径是 1 的圆.

3分

?x ? cos ? ? ? x ? 8cos ? ?8 由曲线 C2 : ? ( ? 为参数)得 ? , y ? y ? 3sin ? ? ? sin ? ? ?3
两式平方相加消去参数 ? , 得曲线 C2 的普通方程为:

x2 y 2 ? ? 1 . C2 为中心是坐标原点, 64 9
6分

焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. ( 2 ) 因为 C1 上 的 点 P 对 应 的参 数 为 t ?

?
2

, 故 P (?4, 4) , 又 Q 为 C2 上 的点 , 所以

3 Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 PQ 中点为 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) . 2
由 C3 : ?

? x ? 3 ? 2t ( t 为参数)消去参数 t 知, C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 M 到 C3 的距 ? y ? ?2 ? t

离d ?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 13 . 5
8 5 4 3 , sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5
12 分

从而当 cos ? ? 24.

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
(Ⅰ)① 当 x ? ? 综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ? ?1, ?? ? (Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ? 由绝对值的几何意义,只需 ? 5分

1 a ? x ? 1? 2 2
10 分

1 a ? 1 ? ? a ? ?3 2 2

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