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阶段性测试题五——数列(含详解)


阶段性测试题五(数
分。考试时间 120 分钟。

列)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(2011~2012· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联 考)等差数列{an}中,15>0,16<0, S S 则使 an>0 成立的 n 的最大值为( A.6 C.8 [答案] C [解析] S15=15a8>0,∴a8>0,S16=8(a8+a9)<0, ∴a9<0,故选 C. 2.(2011~2012· 重庆期末)已知正项等比数列{an}中,a1a5=2, 则 a3=( A. 2 C.4 [答案] A
2 [解析] a3=a1a5=2,∵an>0,∴a3= 2.

)

B.7 D.9

) B.2 D.2 2

3.(文)(2011~2012· 安徽名校联考)已知等比数列{an}的前 n 项的 3 9 和为 Sn,a3=2,S3=2,则公比 q=( 1 A.1 或-2 C.1 ) 1 B.-2 1 D.-1 或2

[答案] A 3 9 [解析] 当 q=1 时,a3=2,S3=3a3=2,

?a3=3 ? 2 当 q≠1 时,由? 9 ?S3=2 ?

?a q =2 得,? a ?1-q ? 9 ? 1-q =2
2

3

1

3



1

1 1 解得 q=-2,∴q=1 或-2. (理)(2011~2012· 宿州市质检)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3=?34xdx,则公比 q 的值为(
?0

) 1 B.-2 1 D.-1 或-2

A.1 1 C.1 或-2 [答案] C

[解析] S3=?34xdx=2x2|3=18,又 a3=6, 0
?0 ?a1q2=6 ? 1 ∴a1+a2=12,∴? ,∴q=1 或-2. ? ?a1+a1q=12

a2 a3 an 4.(2011~2012· 湖北八市联考)如果数列 a1,a ,a ,?, ,? a n -1 1 2 是首项为 1,公比为- 2的等比数列,则 a5 等于( A.32 C.-32 [答案] A an [解析] 由条件知, =1×(- 2)n-1=(- 2)n-1, an-1 B.64 D.-64 )

a2 a3 a4 a5 ∴a5=a1· · · · =1×(- 2)· (- 2)2· (- 2)3· (- 2)4=32,故 a a a a
1 2 3 4

选 A. 5.(文)(2011~2012· 河北五校联盟模拟)已知等差数列{an}中,a7 99 +a9=16,S11= 2 ,则 a12 的值是( A.15 C.31 [答案] A ) B.30 D.64

[解析]

?a7+a9=16 由? 99 S11= 2 ?

?2a1+14d=16 ,得? 99 11a1+55d= 2 ?



?a1=-17 ? 4 ∴? 7 ?d=4 ?

,∴a12=a1+11d=15.

(理)(2011~2012· 河北衡水中学期末)等差数列{an}前 n 项和为 Sn, 满足 S20=S40,则下列结论中正确的是( A.S30 是 Sn 中的最大值 B.S30 是 Sn 中的最小值 C.S30=0 D.S60=0 [答案] D [解析] ∵{an}为等差数列,S20=S40, ∴a21+a22+?+a40=0, S60 =(a1 +a2 +?+a20)+(a21 +a22 +?+a40)+(a41 +a42 +?+ a60) =3(a21+a22+?+a40)=0. )

6.(2011~2012· 南昌一模)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为( A.12 C.22 [答案] C 8×7 [解析] ∵S8=8a1+ 2 d=8a1+28d, 3=3a1+3d, 8-S3=10, S S ∴5a1+25d=10,∴a1+5d=2,∴a6=2, ∴S11=11a6=22. 7.(2011~2012· 日照一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3×44+1 C.44 [答案] B [解析] ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1(n≥2), a n +1 ∴an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an,∴ a =4, n
?1 n=1 ? 又 a1=1,a2=3S1=3a1=3,∴an=? , n -2 ? n≥2 ?3×4

) B.18 D.44

) B.3×44 D.44+1

∴a6=3×46-2=3×44,故选 B. 8. (文)(2011~2012· 平顶山、 许昌、 新乡二调)在等差数列{an}中, 若 a2+a3=4,a4+a5=6,则 a9+a10=( A.9 C.11 [答案] C [解析] ∵{an}是等差数列,令 bn=an+an+1,则{bn}也是等差数 )

B.10 D.12

1 列,b2=a2+a3=4,b4=a4+a5=6,∴公差 d=2(b4-b2)=1,∴b9= a9+a10=b2+7d=4+7=11,故选 C. (理)(2011~2012· 安徽东至县一模)已知数列{an}为等比数列,且 2π a5·9= 3 ,则 cos(a2·12)=( a a 1 A.2 3 C. 2 [答案] B 2π [解析] ∵{an}为等比数列,∴a2a12=a5a9= 3 , 2π π 1 ∴cos(a2a12)=cos 3 =cos(π-3)=-2. 9.(文)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=15,S9=18,在等比 数列{bn}中,b3=a3,b5=a5,则 b7 的值为( 2 A.3 C.2 [答案] B [解析] 在等差数列{an}中, 4 B.3 D.3 ) ) 1 B.-2 3 D.- 2

?1 ?5a1+10d=15, ? 由? ,? 1 ? d=- ?9a1+36d=18,
a =4

?



2

∴a3=3,a5=2. b2 4 5 ∴b3=3,b5=2,所以 b7=b =3. 3 (理)(2011~2012· 延边州质检)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它

5 的前 n 项和. a2·3=2a1, a4 与 2a7 的等差中项为4, S5=( 若 a 且 则 A.35 C.31 [答案] C B.33 D.29

)

2 [解析] ∵a2·3=2a1,∴a1q3=2a1,∵a1≠0,∴a1q3=2,即 a4 a

5 5 1 =2,又∵a4+2a7=2×4=2,∴a7=4, 1 16?1-25? 1 1 ∴a4q3=4,∴q=2,∴a1=16,∴S5= 1 =31. 1-2 10.(文)(2011~2012· 龙岩一中月考)在各项均为正数的数列{an} 中,对任意 m,n∈N*都有 am+n=am·n.若 a6=64,则 a9 等于( a A.256 C.512 [答案] C
2 [解析] 由条件知,a3+3=a3·3,∴a3=64, a

)

B.510 D.1024

∵a3>0,∴a3=8, ∴a9=a6+3=a6·3=64×8=512. a (理)(2011~2012· 成都双流中学月考)已知数列{an},{bn}满足 a1 1 bn =2,an+bn=1,bn+1= ,则 b2012=( 1-a2 n 2011 A.2012 2012 C.2013 [答案] C 2012 B.2011 2013 D.2012 )

1 1 [解析] ∵an+bn=1,a1=2,∴b1=2, ∵bn+1= bn b1 2 2,∴b2= 2= , 1-an 1-a1 3

1 b2 3 1 b3 4 1 ∴a2=3,b3= 2 = ,a3= ,b4= 2= ,a4= ,?,观 4 5 1-a2 4 1-a3 5 察可见 an= 1 n 2012 ,bn= ,∴b2012=2013,故选 C. n+1 n+1

11.(2011~2012· 安徽六校教育研究会联考)数列{an}满足 a1=1, nπ nπ a2=1,an+2=(1+sin2 2 )an+4cos2 2 ,则 a9,a10 的大小关系为( A.a9>a10 C.a9<a10 [答案] C [解析] π π a3=(1+sin22)a1+4cos22=2,a4=(1+sin2π)a2+4cos2π B.a9=a10 D.大小关系不确定 )

3π 3π =5,a5=(1+sin2 2 )a3+4cos2 2 =4,易知当 n=2k-1(k∈N*)时,an =2k-1,当 n=2k(k∈N*)时,an=1+4(k-1), ∴a9=25-1=16,a10=1+4×(5-1)=17,∴a9<a10. 12.(文)(2011~2012· 滨州市沾化一中期末)已知等差数列{an}的 → → → 前 n 项和为 Sn,若OB=a2OA+a2008OC,且 A、B、C 三点共线(O 为 该直线外一点),则 S2009=( A.2009 C.22009 [答案] B [解析] ∵A、B、C 三点共线,∴a2+a2008=1, ∵{an}为等差数列, ) 2009 B. 2 D.2-2009

∴S2009=

2009×?a1+a2009? 2009×?a2+a2008? 2009 = = 2 . 2 2
2n

an (理)(2011~2012· 吉林延吉市质检)等差数列{an}中,a 是一个与 n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( A.{1} 1 C.{2} [答案] B an [解析] 设 an=a1+(n-1)d,并设a =t(t 为常数),则 a1+(n-
2n

)

1 B.{1,2} 1 D.{0,2,1}

1)d=a1t+(2n-1)dt,分离含 n 的项得(a1-d)(1-t)=nd(2t-1),∵此 式关于 n 恒成立,∴d=0 或 2t-1=0, ①d=0 时,a1=0,∴an=a1,t=1, 1 ②2t-1=0 时,t=2,d=a1,∴an=na1,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(文)(2011~2012· 南通市调研)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn =-2n2+3n,则数列{an}的通项公式为________. [答案] an=5-4n [解析] n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n)-[-2(n-1)2+3(n -1)]=5-4n,n=1 时,a1=S1=1 也满足,∴an=5-4n. (理)(2011~2012· 吉林重点中学一模)已知数列{an},其前 n 项和 Sn=n2+n+1,则 a8+a9+a10+a11+a12=________. [答案] 100

[解析] +1)=100.

a8+a9+a10+a11 +a12=S12-S7=(122+12+1)-(72 +7

14.(2011~2012· 泉州五中模拟)在等比数列{an}中,a1=1,公比 q=2.若 an=64,则 n 的值为________. [答案] 7 [解析] an=a1qn-1=2n-1=64,∴n=7. 15.(2011~2012· 江苏无锡辅仁中学模拟)等差数列{an}中,S10= 120,那么 a2+a9 的值是________. [答案] 24 [解析] S10= 10×?a1+a10? =5(a2+a9)=120, 2

∴a2+a9=24. 16. 若数列{an}中, 1=3, n+an-1=4(n≥2), a2013=________. a a 则 [答案] 3 [解析] ∵a1=3,an+an-1=4(n≥2),∴a2=4-a1=1,a3=4- a2=3,a4=4-a3=1,a5=4-a4=3,??
? ?3 n为奇数 可见 an=? ,∴a2013=3. ?1 n为偶数 ?

三、 解答题(本大题共 6 个小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2011~2012· 龙文中学、程溪中学、 芗城中学三校联考)等差数列{an}中,已知 a1=3,a4=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a2,4 分别为等比数列{bn}的第 1 项和第 2 项, a 试求数列{bn} 的通项公式及前 n 项和 Sn. [解析] (1)设数列{an}的公差为 d,

?a1=3 ? 由已知有? , ? ?a1+3d=12

解得 d=3. ∴an=3+(n-1)×3=3n. (2)由(1)得 a2=6,a4=12,则 b1=6,b2=12, b2 设{bn}的公比为 q,则 q=b =2,
1

从而 bn=6×2n-1=3×2n, 6?1-2n? 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= =6(2n-1). 1-2 (理)(2011~2012· 山东省实验中学四诊)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn=3an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,

?a1+2d=5 由题意得,? 15×14 15a1+ 2 d=225 ?
?a1=1 ? 解得? ,∴an=2n-1. ?d=2 ?



1 (2)bn=3an+2n=32n-1+2n=3·n+2n, 9 1 ∴Tn=b1+b2+?+bn=3 (9+92+93+?+9n)+2(1+2+3+?
n 1 9?1-9 ? +n)=3· +n(n+1) 1-9

3 3 =8·n+n(n+1)-8. 9

18.(本小题满分 12 分)(文)(2011~2012· 黄冈期末)已知数列{an} 3 中,a1=1,前 n 项和为 Sn 且 Sn+1=2Sn+1,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 1 12 (2)设数列{a }的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 Tn< 的 n 值. Sn+2 n 3 3 [解析] (1)由 Sn+1=2Sn+1 得,当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+1, 3 3 ∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),即 an+1=2an, an+1 3 ∴ a =2, n 3 又 a1=1,得 S2=2a1+1=a1+a2, 3 a2 3 ∴a2=2,∴a =2.
1

3 ∴数列{an}是首项为 1,公比为2的等比数列, 3 ∴an=(2)n-1. 3 (2)∵数列{an}是首项为 1,公比为2的等比数列, 1 2 ∴数列{a }是首项为 1,公比为3的等比数列, n 2 1-?3?n 2 ∴Tn= =3[1-(3)n], 2 1-3 3 又∵Sn=2·2)n-2, ( 12 2 6 ∴不等式 Tn< 化为 3[1-(3)n]< 3 , Sn+2 ?2?n

2 1 即得(3)n>3, ∴n=1 或 n=2. (理)(2011~2012· 襄阳调研)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn an-1 =2an+n,且 bn= . anan+1 (1)求证:{an-1}为等比数列; (2)求数列{bn}的前 n 项和. [解析] (1)由 Sn=2an+n 得:Sn+1=2an+1+n+1, ∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an+1,即 an+1=2an-1, ∴an+1-1=2(an-1), 又因为 S1=2a1+1,所以 a1=-1,a1-1=-2≠0, ∴{an-1}是以-2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知,an-1=-2×2n-1=-2n,即 an=-2n+1, -2n 1 1 ∴bn= - n , n n+1 = n+1 ?1-2 ??1-2 ? 2 -1 2 -1 故 Tn = - [( 1 1 1 1 1 - 2 )+( 2 - 3 )+?+( n - 2-1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1

1 1 )]= n+1 -1. 2 -1 2 -1
n+1

19.(本小题满分 12 分)(文)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x) =x2+2x 的图象上,其中 n=1,2,3,?. (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)?(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项. [解析] (1)证明:由已知 an+1=a2+2an, n ∴an+1+1=(an+1)2. ∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数得

lg(1+an+1)=2lg(1+an), 即 lg?1+an+1? =2. lg?1+an?

∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列.

(理)(2011~2012· 绥化市一模)已知等差数列{an}的公差大于 0, 且 a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两个根,数列{bn}前 n 项和为 Sn,且 1-bn Sn= 2 (n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an·n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. b [解析] (1)∵a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根,且数列{an} 的公差 d>0, ∴a3=5,a5=9,公差 d= a5-a3 =2. 5-3

∴an=a5+(n-5)d=2n-1. 1-b1 1 又当 n=1 时,有 b1=S1= 2 ,∴b1=3, 1 当 n≥2 时,有 bn=Sn-Sn-1=2(bn-1-bn),



bn 1 = (n≥2). bn-1 3

1 1 ∴数列{bn}是首项 b1=3,公比 q=3的等比数列, 1 ∴bn=b1qn-1=3n. 2n-1 (2)由(1)知,cn=anbn= 3n , 2n-1 1 3 5 ∴Tn=31+32+33+?+ 3n 2n-3 2n-1 1 1 3 5 Tn=32+33+34+?+ 3n + n+1 3 3 2 1 2 2 2 2n-1 ①-②得3Tn=3+32+33+?+3n- n+1 3 2n-1 1 1 1 1 =3+2(32+33+?+3n)- n+1 , 3 n+1 整理得 Tn=1- 3n . 20.(本小题满分 12 分)(2011~2012· 泉州五中模拟)设数列{an}满 足条件:a1=8,a2=0,a3=-7,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数 列. (1)设 cn=an+1-an,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=2n·n,求 Sn=b1+b2+?+bn; c (3)数列{an}的最小值是第几项?并求出该项的值. [解析] 差数列, 首项 c1=a2-a1=-8,公差 d=c2-c1=-7-(-8)=1, ∴cn=c1+(n-1)d=-8+(n-1)· 1=n-9. (2)bn=(n-9)·n 2 (1)∵{an+1-an}为等差数列,cn=an+1-an,∴{cn}为等 ① ②

Sn=(-8)·1+(-7)·2+?+(n-9)·n 2 2 2 2Sn=(-8)·2+(-7)·3+?+(n-9)·n+1 2 2 2 -Sn=(-8)·1+22+23+?+2n-(n-9)·n+1 2 2 -Sn=(-9)·1+[21+22+23+?+2n]-(n-9)·n+1 2 2 ∴Sn=20+(n-10)·n+1. 2 (3)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 n-1 1 =(-8)+(-7)+?+(n-10)+8= 2 [(-8)+(n-10)]+8=2 (n-1)(n-18)+8 1 2 1 19 2 192 =2(n -19n+18)+8=2(n- 2 ) - 8 +17, 当 n=9 或 n=10 时,最小值 a9=a10=-28. 21.(本小题满分 12 分)(2011~2012· 河南卫辉一中月考)已知{bn} 是公比大于 1 的等比数列,b1=1,b3=4. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若{an}满足 an=log2bn+n+2, a1+a2+a3+?+am≤63, 且 求 m 的最大值. [解析] (1)由条件知,b3=b1q2=q2=4,∴q=± 2, 又 q>1,∴q=2,∴bn=2n-1. (2)an=log2bn+n+2=n-1+n+2=2n+1, ∴{an}是首项 a1=3,公差 d=2 的等差数列, ∴a1+a2+?+am=3m+ m?m-1? ×2=m2+2m, 2

由 m2+2m≤63 得-9≤m≤7,∴m 的最大值为 7. 22. (本小题满分 14 分)(文)(2011~2012· 南通市调研)已知数列{an} 成等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8,a3=m.

①当 m=48 时,求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的最小值. [解析] 设公比为 q,则由题意得 q>0.
?a1q-a1=8, ? (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48 得? 2 ?a1q =48. ? ?a1=8?2- 3?, ?a1=8?2+ 3?, ? ? 解之得,? 或? ? ? ?q=3+ 3. ?q=3- 3.

所以数列{an}的通项公式为 an=8(2- 3)(3+ 3)n-1,或 an=8(2+ 3)(3- 3)n-1. ②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于 a1 与 q 的方程组
?a1q-a1=8, ? ? 有唯一正数解, 2 ?a1q =m. ?

即方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 由 Δ=m2-32m=0,a3=m>0 得,m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式是 an=2n+2. (2)由 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8, 得 a1(qk-1)(qk-1+qk-2+?+1)=8,且 q>1. a2k+1+a2k+2+?+a3k=a1q2k(qk-1+qk-2+?+1) 8q2k 1 = k =8(qk-1+ k +2)≥32, q -1 q -1 1 k k 当且仅当 qk-1= k ,即 q= 2,a1=8( 2-1)时, q -1 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的最小值为 32.

bn+bn+2 (理)(2011~2012· 青岛市模拟)设同时满足条件: ① 2 ≥bn+1; ②bn≤M(n∈N+, 是与 n 无关的常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数 M a 列.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= (a -1)(a 为常数,且 a-1 n a≠0,a≠1). (1)求{an}的通项公式; 2Sn (2)设 bn= a +1,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值,并证明此
n

1 时{b }为“嘉文”数列. n [解析] (1)因为 S1= a (a -1),所以 a1=a, a-1 1

a a 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- a- a-1 a-1 n 1 ∴ an =a,即{an}是以 a 为首项,a 为公比的等差数列. an-1

∴an=a·n-1=an. a (2)由(1)知, a 2× ?a -1? a-1 n ?3a-1?an-2a bn= +1= , an ?a-1?an 若{bn}为等比数列,则有 b2=b1·3, b 2 3a+2 3a2+2a+2 而 b1=3,b2= a ,b3= , a2 3a+2 2 3a2+2a+2 1 故( a ) =3· a2 ,解得 a=3. 1 再将 a=3代入得:bn=3n,其为等比数列, 1 所以 a=3成立,

1 1 1 1 + n+ n+2 2 bn bn+2 3 3 由于① 2 = 2 >

1 1 3n·n+2 3 1 1 = n +1 = , 2 3 bn+1

1 1 1 1 + + bn bn+2 bn bn+2 1 5 1 2 (或做差,因为 2 - = n+2- n+1= n+2>0,所以 2 b n +1 3 3 3 1 ≥ 成立) bn+1 1 1 1 1 ②b =3n≤3,故存在 M≥3;
n

1 所以符合①②,故{b }为“嘉文”数列. n

1.(2011~2012· 福州八中质检)在递减等差数列{an}中,若 a1+ a5=0,则 Sn 取最大值时 n 等于( A.2 C.2 或 3 [答案] C [解析] a1+a5=2a3=0,∴a3=0, ∵{an}是递减数列,∴a1>a2>a3=0>a4, ∴S2=S3 且最大,故选 C. 2.(2011~2012· 山东苍山县期末)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a3+a7+a11=12,则 S13 等于( A.52 C.56 [答案] A [解析] ∵{an}为等差数列,∴a3+a7+a11=3a7=12,∴a7=4, ) B.54 D.58 ) B.3 D.3 或 4

∴S13=

13×?a1+a13? 13×2a7 = 2 =52,故选 A. 2

3.(2011~2012· 浙江宁波市期末)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2011=3S2010+2012,a2010=3S2009+2012,则公比 q=( A.4 C.2 [答案] A a2011 [解析] 两式相减得 a2011-a2010=3a2010,∴a =4.
2010

)

B.1 或 4 D.1 或 2

4.(2011~2012· 辽宁本溪一中、庄河高中联考)在等比数列{an} 中, 1+an=34, 2·n-1=64, a a a 且前 n 项和 Sn=62, 则项数 n 等于( A.4 C.6 [答案] B [解析] a1·n=a2·n-1=64, a a
?a1+an=34 ?a1=2 ?a1=32 ? ? ? 由? 得? 或? , ? ? ? ?a1an=64 ?an=32 ?an=2

)

B.5 D.7

1 ∴qn-1=16 或16. 2×?1-16q? 当 a1=2,qn-1=16 时, =62,∴q=2,n=5; 1-q 1 当 a1=32,qn-1=16时,解得 n=5,故选 B. 5.(2011~2012· 福州八中质检)在数列{an}中,其前 n 项和 Sn 与 an 满足关系式:(t-1)Sn+(2t+1)an=t(t>0,n=1,2,3,?). (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比为 f(t),已知数列{bn}满足 b1=1,bn+1=

1 3f(b )(n=1,2,3,?),求 b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+(-1)n+1bnbn+1
n

的值. [解析] (1)当 n=1 时, 1 (t-1)a1+(2t+1)a1=t(t>0),∴a1=3, 当 n≥2 时,(t-1)Sn+(2t+1)an=t(t>0), (t-1)Sn-1+(2t+1)an-1=t, 则(t-1)an+(2t+1)an-(2t+1)an-1=0, ∴3tan=(2t+1)an-1,t>0, ∴ an 2t+1 = 3t , an-1

2t+1 1 ∴数列{an}是以 3t 为公比,3为首项的等比数列. 2t+1 (2)由(1)可知,f(t)= 3t (t>0), 1 bn+1=3f(b ),则 bn+1=bn+2,
n

所以,数列{bn}是以 2 为公差,首项为 1 的等差数列, 即 bn=2n-1. ①当 n 为奇数时, b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+(-1)n+1bnbn+1 =b1b2+b3(b4-b2)+b5(b6-b4)+?+bn(bn+1-bn-1) n-1 [5+?2n-1?] 2 · =3+4(b3+b5+?+bn)=3+4× 2 =2n2+2n-1. ②当 n 为偶数时, b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+(-1)n+1bnbn+1

=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+?+bn(bn-1-bn+1) n [3+?2n-1?] 2· =-4(b2+b4+?+bn)=-4× 2 =-(2n2+2n),
? 2 ?2n +2n-1 n为奇数, ∴原式=? . 2 ? ?-?2n +2n? n为偶数


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