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开封2013-2014学年度第一学期期末调研考试高一数学试题(解析版)


开封市 2013-2014 学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题
一、选择题 1.设 A ? x x ? 4 x ? 5 ? 0? , B ? x x ? 1? ,则 A ? B ?
2 2

?

?

( D. ?1?



A. {?1,1,5} 【答案】C

B. {1,5}

C. {?1}

【解析】? A ? x x ? 4 x ? 5 ? 0? ? ??1,5? , B ? x x ? 1? ? ??1,1? ,? A ? B ? ??1?
2 2

?

?

2. 已知直线 l 的倾斜角为 45? , 且过点 P(?2, ?1) , 则直线 l 的方程为 A. x ? y ? 1 ? 0 【答案】D B. x ? y ? 1 ? 0
?

( D. x ? y ? 1 ? 0



C. x ? y ? 1 ? 0

【解析】由直线 l 的倾斜角为 45 得直线 l 的斜率为 1 ,则由直线的点斜式方程得: y ? 1 ? 1? ( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 3. 函数 y ?

x x

? x 的图象是





y
1

y

y
1

y
1

?1 o
A 【答案】D

x

o

?1
B

x

o
C

x

o x ?1
D

【解析】 y ?

? x ? 1, x ? 0 ?x?? x ? x ? 1, x ? 0 x
1

2 2 0 4. 计算 ? ?(?3) ? ? ? (?10) ? A. ?2 B. 2

( C. 4
1 2



D. ?4

【答案】B 【解析】 ? ?(?3) ? ? ? (?10) ? 9 ? 12
2 0 1 2

5.过点 A(m,1), B( ?1, m) 的直线与过点 P(1, 2), Q(?5,0) 的直线垂直, 则m? ( A.



1 2

B. ?

1 2

C. ?2

D. 2

【答案】C 【解析】由题得 k AB ? kPQ ? ?1 ? 6. 下列实数的大小关系是 A. log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 ? 2 C. log 0.3 2.7 ? log 0.3 1.8 ? 2
?1

m ?1 1 ? ? ?1 ? m ? ?2 ?m ? 1 3
( B. 2 D. 2
第1页
?1
?1



? log 0.3 2.7 ? log 0.3 1.8
? log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7

?1

(共 7 页)

【答案】C 【解析】? log 0.3 2.7 ? log 0.3 1.8 ? 0 ? 2 , 7.与圆 C : x ? y ? x ? 2 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆方程是
2 2
?1





5 4 3 5 C. ( x ? 2) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 4
A. ( x ? )2 ? ( y ? 2) 2 ? 【答案】D
2 2

3 2

5 4 3 5 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? ) 2 ? 2 4
B. ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?

3 2

【解析】由 C : x ? y ? x ? 2 y ? 0 得其圆心 C ( , ?1) ,半径 r ?

1 2

5 2

? b ?1 ?1 ? ?1 ? 7 ? 1 a ? b ? ? 0 ?a ? ?2 ?a ? ? ? ? ? 2 2 令所求圆的圆心为 (a, b) ,则 ? ?? ?? 3 b? ?a ? 1 ?a ? b ? 1 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 2 ? b ?1 ? 1 ? 0 ? ? ? 2 2 2 3 2 5 2 所以所求圆的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 2 4
8.下列四个结论: (1)两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行 (2)两条直线没有公共点,则这两条直线平行 (3)两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行 (4)一条直线和一个平面内的无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是 ( ) 【答案】A 【解析】 9.某几何体的三视图是如右图所示,正视图和侧视图都是等边三角形.该几何体的四个 点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0,0,0),(2,0,0),(2, 2,0),(0, 2,0) ,则第五 个顶点的坐标可能是 ( ) A. (1,1,1) B. (1,1, 2) C. (1,1, 3) D. (2, 2, 3) 【答案】C 【解析】画出该正四棱锥的直观图: 并建立如图所示的空间直角坐标系, 则 H (1,1, 0) ,在 Rt ?PHG 中, PH ? 故第五个顶点的坐标为 P(1,1, 3)
第2页 (共 7 页) 正视图 侧视图

z P
俯视图

2 ? 12 ? 3
2

B H

A (0,2, 0) y G D(2,2,0)

x C(2,0,0)

10.圆 x ? y ? 1上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是
2 2





A. 6 【答案】B

B. 4

C. 5

D. 1

【解析】因为圆心 O(0,0) 到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离 d ?

25 5

? 5,

? d ? r ? 5 ?1 ? 4 11.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 ( ) ? ? ? ? A. 90 B. 60 C. 45 D. 30
【答案】C 【解析】如图,分别取棱 SB, AC, BC 中点为 G, M , N , 连接 GE, GF , ME, MF , SN , AN ,易得四边形 EGFM 是菱形,又可证明 BC ? 平面 EGFM 得 BC ? SA ? GA ? GE ? 正方形 EGFM 则 ?GEF ? 45 为所求的异面直线 EF 与 SA 所成的角 A
?
2 2 2

S

E G M F
2

C N

B

12.已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? a , g ( x) ? ? x ? 2(a ? 2) x ? a ? 8 ,设

H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? , H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? , (max ? p, q? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中较小值) ,记 H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大值为 B ,则

A? B ? 2 A. a ? 2a ? 16 2 B. a ? 2a ? 16 C. ?16 D. 16

y

f ( x)
H1 ( x )





【答案】C x ? a?2 x ? a?2 【解析】方法一: 如图,深红色图象为 H1 ( x) 的图象,深蓝色为 H 2 ( x) 的图象,由 f ( x) 顶点坐标为

g ( x)

O

x

(a ? 2, ?4a ? 4) , g ( x) 顶点坐标 (a ? 2, ?4a ? 12) ,且 f ( x) 与 g ( x) 的顶点都在对方的 图象上, A, B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标, ? A ? B ? (?4a ? 4) ? (?4a ? 12) ? ?16 [方法技巧](1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。 (2)并不是 A, B 在同一
个自变量取得。 方法二:设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 4ax ? 2a ? 8 ? 2( x ? (a ? 2))( x ? (a ? 2))
2 2

则由 2( x ? (a ? 2))( x ? (a ? 2)) ? 0 ? x1 ? a ? 2, x2 ? a ? 2 ,此时 f ( x) ? g ( x) 由 h( x) ? 0 ? x ? a ? 2 或 x ? a ? 2 ,此时, f ( x) ? g ( x) 由 h( x) ? 0 ? a ? 2 ? x ? a ? 2 ,此时, f ( x) ? g ( x)
第3页 (共 7 页)

? f ( x ), x ? ( ??, a ? 2], ? ∴ H1 ? x ?= ? g ( x ), x ? ( a ? 2, a ? 2], ? f ( x ), x ? ( a ? 2, ??], ?
? g ( x ), x ? (??, a ? 2], ? H 2 ? x ?= ? f ( x ), x ? (a ? 2, a ? 2], ? g ( x ), x ? (a ? 2, ?? ], ?
可求得 H1 ( x) 的最小值 A ? f (a ? 2) ? ?4a ? 4 ,

H 2 ( x) 的最大值 B ? g (a ? 2) ? ?4a ? 12

故? A ? B ? (?4a ? 4) ? (?4a ? 12) ? ?16 二、填空题
13.函数 f ( x) ? 【答案】 x x ? 1? 【解析】 14.已知圆 C 的圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,且过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,则圆 C 的标 准方程为 【答案】 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25
2 2

?

log 3 x 的定义域是

y ?log 3 x ? 0 ? x ? 1 ?? ? x ?1 【解析】由 ? ?x ? 0 ?x ? 0 x 1 15.函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点个数为 x O 【答案】 2 x 【解析】如图,函数 y ? e 与函数 y ? x ? 2 的图象有两个不同的交点,
故函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点个数为 2 个
x

16.球 O 的球面上有四点 S , A, B, C ,其中 O, A, B, C 四点共面, ?ABC 是边长为 2 的正 三角形,平面 SAB ? 平面 ABC ,则三棱锥 S ? ABC 的体积的最大值为 【答案】

3 3

S B D O C

3 2 3 AB ? 【解析】如图,由题得球 O 的半径 R ? , A 3 3 作 SD ? AB 于点 D ,连接 OD ,由平面 SAB ? 平面 ABC 得 4 ? OD 2 SD ? 平面 ABC ,则 SD ? SO 2 ? OD 2 ? 3

1 3 ?VS ? ABC ? SD ? S?ABC ? SD 3 3 ∴要使三棱锥 S ? ABC 的体积取得最大值,则 SD 必须取得最大值,即 OD 必须取得最小 值,而 OD 的最小值即为点 O 到边 AB 的距离,此时 D 恰为边 AB 的中点,
第4页 (共 7 页)

即 ODmin ?

4 4 1 3 3 ? OD 2 ? ? ?1, AB ? ,则 SDmax ? 3 3 3 6 3

1 3 3 为所求 ?VS ? ABC ? SD ? S?ABC ? ?1 ? 3 3 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)画出函数 y ? 9 ? x 的图象,根据图象说出函数的单调区间和奇偶性
2

【解析】如图,由图象可得:函数在 (??,0) 上是增函数,在 (0, ??) 上是减函数 y 且其图象关于 y 对称,所以是偶函数 9 18. (12 分)三角形的三个顶点是 A(4,0), B(6,7), C(0,3) (Ⅰ)求 BC 边上的高所在的直线的方程 (Ⅱ)求 BC 边上的中线所在的直线的方程 【解析】 (Ⅰ)令 BC 边上的高所在的直线的斜率为 k1 ,则 k1 ? ? -3

o

3

x

1 3 ?? k BC 2

又 BC 边上的高所在的直线过点 A(4,0) ,则 BC 边上的高所在的直线的方程为:

3 y ? ? ( x ? 4) ,整理得 3x ? 2 y ? 12 ? 0 2 (Ⅱ) BC 边上的中线所在的直线的斜率为 k 2 ,∵边 BC 的中点 D(3,5) , 5?0 则 k2 ? k AD ? ? ?5 ,∴ BC 边上的中线所在的直线的方程为 5x ? y ? 20 ? 0 3? 4 19. (12 分)如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 DD1 的中点,求证:
(Ⅰ) BD1 ∥平面 AEC (Ⅱ) BD1 ? AC 【解析】 (Ⅰ)令 AC ? BD ? O ,连接 OE 在 ?DBE 中, OE??

A1

D1

C1

E

B1
D C B

1 BD1 ,又 BD1 ? 平面 AEC A 2
A1

则 BD1 ∥平面 AEC
(Ⅱ)由正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 得 AC ? BD ,

D1
E D O

C1
B1
C

DD1 ? 平面 ABCD ,则 DD1 ? AC

? AC ? 平面 BDD1 ,则 BD1 ? AC

A B 20. (12 分) 某公司将进货单价为 8 元的一个商品按 10 元一个销售, 每天可以卖出 100 个, 每上涨 1 元,则销售量就减少 8 个 (Ⅰ)求销售价为 13 元时,每天的销售利润 (Ⅱ)如果某一天的销售利润为 336 元,那么销售价上涨了几元? (Ⅲ) 设某天的售价上涨了 x( x ? Z ) 元,试将利润 y 表示成 x 的函数, 并求出上涨几元时,
第5页 (共 7 页)

可获得最大利润 【解析】设售价上涨 x( x ? Z ) 元,则 y ? ( x ? 10 ? 8)(100 ? 8 x) ? ?8 x ? 84 x ? 200
2

(Ⅰ)当 x ? 13 时, y ? 380 ,则每天的销售利润 380 元 (Ⅱ)当 y ? 336 时, ?8x2 ? 84 x ? 200 ? 336 ? x ? 2 或 x ? 涨了 2 元

17 (舍去) ,则销售价上 2

21 2 841 ) ? ,? x ? Z ,? x ? 5 时,y 取得最大值 420 4 2 21. (12 分)如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 平面 ABCD , AB ∥ CD ,
(Ⅲ)y ? ?8 x 2 ? 84 x ? 200 ? ?( x ?

AD ? AB, AB ? 2, AD ? 2, AA1 ? 3, E 为 CD 上的一点, DE ? 1, EC ? 3
(Ⅰ)证明:平面 BEC1 ? 平面 BB1C1C (Ⅱ)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离 【解析】 (Ⅰ)过点 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F , 则 BF ? AD ?

D1

C1

A1
D E A

B1
C B

2, EF ? AB ? DE ? 1, FC ? 2 ,
2 2 2

在 Rt ?BEF 中, BE ? 3, RtBFC 中, BC ? 6 在 ?BCE 中,? BE ? BC ? EC ? 9,? BE ? BC

A1 由 BB1 ? 平面 ABCD 得 BB1 ? BE ,则 BE ? 平面 BB1C1C ,
则平面 BEC1 ? 平面 BB1C1C (Ⅱ)三棱锥 E ? A1 B1C1 的体积 V ? 在 Rt ?A1 D1C1 中, A1C1 ?

D1

C1 B1

1 A1 A ? S?A1B1C1 ? 2 3
A

D E B

F

C

A1 D12 ? C1 D12 ? 3 2 ,同理,

EC1 ? EC 2 ? CC12 ? 3 2, EA1 ?

AD 2 ? ED 2 ? AA12 ? 2 3 ,则 S?A1C1E ? 3 5

设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d ,则三棱锥 B1 ? EAC 1 1 的体积

1 10 V ? d ? S?A1C1E ? 5d ,? 5d ? 2,? d ? 3 5 2 2 22. (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆
C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4
(Ⅰ)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程 (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,它们 分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点 P 的坐标 【解析】 (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 , 则圆心 C1 到直线 l 的距离为 d ?

?3k ? 1 ? 4k 1? k 2
第6页

?

7k ? 1 1? k 2



(共 7 页)

又由圆的弦长公式得 2 4 ? d ? 2 3 ? d ? 1
2



7k ? 1

1? k 2 则直线 l 的方程是 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0

? 1 ? 24k 2 ? 7 k ? 0 ? k ? 0, k ? ?

7 24

(Ⅱ)设点 P (m, n) ,直线 l1 , l 2 的方程分别为: y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ?

1 ( x ? m) k

即: kx ? y ? n ? km ? 0, x ? ky ? kn ? m ? 0
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C2 截得的弦长相等,且圆 C1 和圆 C2 的半径 相等,所以圆心 C1 到直线 l1 的距离等于圆心 C2 到直线 l 2 的距离

则有

?3k ? 1 ? n ? km

1? k 2 1? k 2 (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3 或 (m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 ?2 ? m ? n ? 0 ?m ? n ? 8 ? 0 因为关于 k 的方程有无穷多解,则必有 ? 或? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 5 ? 0 3 ? 5 ? m?? m? ? ? 3 13 5 1 ? 2 ? 2 解得 ? 或? ,故所有满足条件的点 P 的坐标是 (? , ) 或 ( , ? ) 2 2 2 2 ?n ? 13 ?n ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2

?

4 ? 5k ? nk ? m

,化简得:

第7页

(共 7 页)


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