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公开课一元二次方程根的判别式


学习目标 1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程; 2.能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行 有关的推理论证; 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 的范围. 知识回顾 1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次 方程的方法吗? 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 2.说说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式. ?b ? b ? 4ac (b2-4ac≥0) x? 2a 2 3.试试用公式法解下列方程: (1)x2-3x-4=0; (2)x2-4x+4=0; (3)x2+2x+3=0. 在求解的过程 中,注意观察 b2-4ac的值. (1)x2-3x-4=0; 解:a=1,b=-3,c=-4, b2-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0 3 ? 25 3 ? 5 x? ? 2 2 ∴ x1=4,x2=-1 (2)x2-4x+4=0; 解:a=1,b=-4,c=4, b2-4ac=(-4)2-4×1×(-4)=0 4? 0 4?0 x? ? 2 2 ∴ x1=x2=2 (3)x2+2x+3=0. 解:a=1,b=2,c=3, b2-4ac=22-4×1×3=-8 <0 ∴ 此方程无解. 想一想: 这个3个一元二次方程的解的情况? (1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根(无解). 这3个一元二次方程的解为什么会出现 不同的情况呢?它们的根的情况由哪个因素 来决定呢?何时有两个不相等的实数根?何 时有两个相等的实数根?何时没有实数根? 观察: ?b ? b2 ? 4ac 求根公式: x ? 2a b2-4ac≥0是二次根式的被开方数. 因为a≠0,所以 2 2 (1)当b -4ac>0时, b ? 4ac 是正实数, 因此,方程有两个不相等的实数根: 2 ? b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac x2 ? x1 ? 2a 2a 2 (2)当b2-4ac=0时, b2 ? 4ac =0, 因此,方程有两个相等的实数根: b x1 ? x2 ? ? 2a (3)当b2-4ac<0时, b2 ? 4ac 在实数范围内 没有意义, 因此方程没有实数根. 感悟新知: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情 况由b2-4ac来确定,我们把b2-4ac叫做一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.通 常用符号“?”来表示,即?=b2-4ac. 一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当?>0时,有两个不相等的实数根; 当?=0时,有两个相等的实数根; 当?<0时,没有实数根. 特别指出:当 ?≥0时,有两个实数根. 例题讲解: 不解方程,判别下列方程根的情况: (1)5x2-3x-2=0; (2)25y2+4=20y; (3)2x2+ 3 x+1=0. (1)5x2-3x-2=0; 解:(1)因为?=(-3)2-4×5×(-2)=49>0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)25y2+4=20y; 解:原方程可变形为:25y2-20y+4=0 因为?=(-20)2-4×25×4=0, 所以原方程有两个相等的实数根. (3)2x2+ 3x+1=0. 解:因为?=( 3 )2-4×2×1=-5<0, 所以原方程没有实数根. 随堂练习 1.不解方程,判别下列方程根的情况: (1)2x2-5x-4=0; (2)7t2-5t+2=0; (3)x(x+1)=3; (4)3

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