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《一元二次方程》复习课件1


一元二次方程的概念
等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程叫做一元二次方程

①都是整式方程;

特点:

②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.

一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 ? bx ? c ? 0的形式,我们把 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式。

a x 2+ b x + c = 0
二次项系数 一次项系数

(a ≠ 0)

练习二 1、判断下面哪些方程是一元二次方程

(1)x -3x+4=x -7 (2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 x ?2 ?0
2 2 2

2

2

(× ) (√ ) ( ) × (× )

(5) x ? 1 ? 3
2

(6) ? y ? 0
y 4 2

× (√ )

(

)

2、把方程(1-x)(2-x)=3-x2 化为一 2-3x-1=0 2 x 般形式是:___________, 其二次项 系数是____, -3 常数 2 一次项系数是____, 项是____. -1

3、方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程,则 ( C )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2

4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?

(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1) a2-4=0 a+2≠0 (2) a2-4≠0 ∴a≠±2

∴a=2
∴当a=2时,原方程 是一元一次方程

∴当a≠±2时,原 方程是一元二次方 程

你学过一元二次方程的哪些解法?

因式分解法 开平方法

配方法
公式法

例:解下列方程
? 1、用直接开平方法:(x+2)2=9 ? 2、用配方法解方程:4x2-8x-5=0

3、用公式法解方程:

3x2=4x+7

4、用分解因式法解方程: (y+2)2=3(y+2)

你学过一元二次方程的哪些解法?

因式分解法 开平方法

配方法
公式法

一元二次方程的
基本解法 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法

提取公 因式法

平方差 公式

完全平 方公式

……

你能说出每一种解法的特点吗?

1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;

方程的左边是完全平方式,右边是非负数;

2 即形如x =a(a≥0)

x1 ? a ,x2 ? ? a

用配方法解一元二次方程的步骤:
1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.

用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:

ax2+bx+c=0(a≠0).

2.b2-4ac≥0.
? b ? b ? 4ac 2 x? .b ? 4ac ? 0 . 2a
2

?

?

练习
选用适当方法解下列一元二次方程
? ? ? ? ? ? ? ? 1、 (2x+1)2=64 ( 直接开平方 法) 2、 (x-2)2-4(x+1)2=0 ( 因式分解 法) 3、(5x-4)2 -(4-5x)=0 ( 因式分解 法) 4、 x2-4x-10=0 ( 公式 法) 5、 3x2-4x-5=0 ( 公式 法) 6、 x2+6x-1=0 ( 公式 法) 7、 3x2 -8x-3=0 ( 因式分解 法) 8、 y2- 2 y-1=0 ( 公式 法)

选择方法的顺序是: 直接开平方法 →分解因式法 →公式法→配方法

思考
1. (2005福州中考) 解方程: (x+1)(x+2)=6 中考直击

2. (2005北京中考)
已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10

求a2+b2 的值。
3.解下列方程(1)x2=0 (2)x(x-6)=-2(x-6)

4. (2004武汉中考)
试证明关于x的方程 (a2-a+2)x2+ax+2=0无论a取何 值,该方程都是一元二次方程.

5、已知:x2+3xy-4y2=0(y≠0),

x? y 求 的值. x? y

6、4x2=x
甲同学是这样做的,你看对吗?
x 方程两边同除以4,得x2= 4 x 直接开平方得x=± 2

x x 所以原方程的解是x1= ,x2= ? 2 2

乙同学是这样做的,也请你“诊断”一下 将方法两边同除以x,得4x=1
1 即得方程的解为x= 4

练习:选用适当方法解下列方程:
(1)、 (3x ? 3) ? 27
2

(2)、 ( x ? 4)( x ? 4) ? 12

3x ? 12 x ? 7 ? 0 (3)、 (1 ? 2) x ? (1 ? 2) x (4)、
2

2

小结:通过对本例的分析及解题过程,可以得 到: (1)如果方程缺一次项,可以用直接开平方法 来解(形如 ( x ? a) 2 ? b(b ? 0) 的方程)。 (2)在解方程时,应注意方程的特点,合理选 择简捷的方法。 (3)解一元二次方程常用因式分解法。

(4)当因式分解有困难时,就用公式法。配方 法一般不用。(如果把方程化为一般形式后,它 的二次项系数为1,一次项系数是偶数,用配方 法更好)

7. 用配方法说明:不论k取何实数,多项式 k2-3k+5的值必定大于零. 8. 关于x的方程2x2-(m+4)x+m+4=0 有两个实数根.求m的取值范围.

9.你会解方程:x2-2|x|-1=0吗? 10.已知x2-7xy+12y2=0,求证: X=3y或=4y

一元二次方程的根与系数:
根的判别式:b2-4ac
(1)当b2 ? 4ac ? 0时,一元二次方程有两个不相等的实数根; ?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ,  ? .   x1 ? x 2 2a 2a ( 2)当b 2 ? 4ac ? 0时, 一元二次方程有两个相等的实数根; ?b     x1 ? x 2 ? 2a . (3)当b 2 ? 4ac ? 0时, 一元二次方程没有实数根.

练习:
? 1、方程2x2+3x-k=0根的判别式是 ; 当k 时,方程有实根。 ? 2、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根,则 m= 。 ? 3、关于x的方程x2-(2k-1)x+(k-3)=0.试说明 无论k为任何实数,总有两个不相等的实数根. ? 4、关于x的一元二次方程mx2+(2m-1)x- 2=0的根的判别式的值等于4,则m= 。

一元二次方程的根与系数: 韦达定理:

一元二次方程的根与系数的关系: 若 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2,则
c b ? x1+x2=_______ ;x1x2=___ a ; a

以x1、x2为根(二次项系数为1)的 2-(x +x )x+x x =0 x 1 2 1 2 一元二次方程为_________________.
已知两数的和是4,积是1,则此两数为 .

拓展练习:
? 1、已知方程x2-mx+2=0的两根互为相反数, 则m= 。 ? 2、 已知方程x2+4x-2m=0的一个根α比另一 个根β小4,则α= ;β= ; m= . ? 3、已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求 方程的另一根及m的值。 ? 4、关于x的方程2x2-3x+m=0,当 时, 方程有两个正数根;当m 时,方程有一 个正根,一个负根;当m 时,方程有一 个根为0。

k为何值时, 二次三项式x ? (k ? 1) x ? k  是关于x的完全平方式 .
解:若方程x ? (k ? 1 )x ? k ? 0有两个相等的实数根, 则    ? 4k ? k ? 2k ? 1 ? 0 (k ?1 )
2 2 2

2

? k ? 1   ?当k ? 1时,

x

2

? (k ? 1 )x ? k ? x ? 2 x ? 1 ( ? x ?1 )
2 2

是关于x的完全平方式。

AC BC ? , 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 AB AC

那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫

做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. A
设AB ? 1, AC ? x, 则CB ? 1 ? x. ? x 2 ? 1? ?1 ? x ?, 即x 2 ? x ? 1 ? 0. 解这个方程, 得
?1? 5 ?x ? . 2

C

B

?1 ? 5 ? x1 ? , 2 ?1 ? 5 x2 ? (不合题意, 舍去). 2 AC ? 1 ? 5 ? 黄金比 ? ? 0.618. AB 2

列一元二次方程解应用题的步骤与列一元 一次方程解应用题的步骤类似,

即审、设、列、解、验、答.

快乐学习 5

几何与方程

? 1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容 积是400cm3,求原铁皮的边长.
解 : 设原正方形铁皮的边长为xcm, 根据题意, 得

4( x ? 8) ? 400.
2

解这个方程 : ( x ? 8) 2 ? 100, ? x ? 8 ? ?10, ? x ? 8 ? 10, ? x1 ? 18; x2 ? ?2(不合题意, 舍去). 答 : 原正方形铁皮的边长为18cm.

开启

智慧

经济效益与方程

? 2 .某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准 备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每 棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那 么应种多少棵桃树? 解 : 设多种桃树x棵, 根据题意, 得
x (100 ? x)(1000 ? 2 ? ) ? 100 ?1000 ? ?1 ? 15.2% ?. 1 整理得 : x 2 ? 40 x ? 7600 ? 0.

解这个方程, 得 x1 ? 20, x2 ? 380.

答 : 应多种桃树20棵或380棵.

三、二次三项式的因式分解

ax ? bx ? c ? a( x ? x1 )( x ? x2 )
2

其中x1、x2是方程ax ? bx ? c ? 0的两根 中的因式 a 千万不能忽略。
2

2.在分解二次三项式

ax ? bx ? c
2
的两个根x1,x2然后,写成

的因式时,可先用求根公式求出方程

ax ? bx ? c ? 0
2

ax ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )
2

例题讲解
例1 把

5 x 2 ? 6 x ? 8 分解因式

解:方程5 x 2 ? 6 x ? 8 ? 0的根是 ? 6 ? 6 2 ? 4 ? 5 ? (?8) ? 6 ? 196 ? 6 ? 14 x? ? ? 2?5 10 10

4 即: x1 ? , x2 ? ?2 5

4 ? 5 x ? 6 x ? 8 ? 5( x ? )( x ? 2) 5 此步的目的是去掉括号内的分母
2

? (5x ? 4)(x ? 2)

练习:
? 如图1,A、B、C、D为矩形的四个顶点, AB=16 cm,AD=6 cm,动点P、Q分别从点A、 C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一 直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D移动. ? (1)P、Q两点从出发开始到几秒时四边形 PBCQ的面积为33 cm2? ? (2)P、Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q 的距离是10 cm?

9.下面是李刚同学在一次 测验中解答的填空题 , 答对的是 A.若x ? 4, 则x ? 2
2

( C )

B.方程x(2 x ? 1) ? 2 x ? 1的解为x ? 1 C.若x 2 ? 2 x ? k ? 0的一个根为? 3, 则k ? ? 3 x ? 3x ? 2 D.若分式 的值为0, 则x ? 1或2 x ?1
2

练习:
1、在矩形ABCD中,点P从点A沿AB向 点B以每秒2cm的速度移动,点Q从点B 开始沿BC向点C以每秒1cm的速度移动, AB=6cm,BC=4cm,若P、Q两点分别 从A、B同时出发,问几秒后P、Q两点 之间的距离为 cm ? 2 2

D
Q

C

A

P

B

例:已知实数a、b满足条件a2+4b2+2a4b+2=0,你认为能够求出a、b的值吗?如 果能,请求出a、b的值;如果不能,请说 明理由。

8、已知关于x的方程(a ? 2) x ? 2(a ?1) x ? (a ? 1) ? 0 ,
2

a为何非负整数时,

(1)方程只有一个实数根?
(2)方程有两个相等的实数根? (3)方程有两个不相等的实数根?

练一练:
? 1、一张长方形铁皮,四个角各剪去一个边长为4cm的小 正方形,再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的 长是宽的2倍,做成的小盒子的容积是1536cm3,求长方 形铁皮的长与宽 。 ? 2、一块长方形木板长40cm,宽30cm。在木板中间挖去 一个底边长为20cm,高为15cm的 等宽U形孔,已知剩下

5 的木板面积是原来面积的 ,求挖去的U形孔的宽度。 6

5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m29=0有一个根是0,试确定m的值
解:∵0是方程的解
∴代入得m2-9=0

∴ m=±3
经检验 m=±3都符合题意 ∴ m=±3

15.已知a, b, c是?ABC的三条边长, 若关于x的方程   b( x 2 ? 1) ? 2ax ? c( x 2 ? 1) ? 0有两个相等的 实数根, 试判断三角形的形状 , 并说明理由 .

解:把方程化简,得

(b+c)x2-2ax+(c-b)=0

b2-4ac=(-2a)2-4(b+c)(c-b)=4a2-4(c2-b2)
=4a2-4c2+4b2=0

∴a2-c2+b2=0,即a2+b2=c2
∴ △ABC是直角三角形

效果检测
1.方程x2= 7x 的解是 . 2.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数
3.能使分式

x ?1
2

x ? 2x ? 1 A、1 B、 -1 C、 1或 -1 D、2或 -1 4.方程2x2-2x-1=0的解是 . 5.若关于的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2. 则另一根x2及q的值分别是( ) A.x2 =1,q=2 B. x2 = -1,q =2 C. x2 =1,q = -2 D. x2 = -1,q = -2

的值为零的所有的值是( )

返回

效果检测
6.把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式, 在方程的两边需同时加上的式子是 9 2 2 9 2 2 2 2 A. 9m B. 9m x C. m D. m x
4
4

7.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值 是 A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2
返回

效果检测
8.下面是张潇同学在测验中解答的填空题,其中答 对的是 A.若x2=4,则x=2 B.方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C.方程x2+2x+2=0实数根的个数为0个 D.方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根
9.已知两数的和是4,积是1,则此两数为 .
返回


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