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北京市海淀区2013年高考二模数学(理)试题及参考答案


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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 参考答案及评分标准 2013.5 说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 9. 2 10. c ? b ? a 11. (1, 3) 14.②③; 2 ? 2

2;
12.

3 ?1 2

13. [0,1]

π sin( x ? ) ? 0 4 解: (I)因为 x? π ? kπ, k ?Z 4

所以

……………………2 分

π {x | x ? kπ+ , 4 k ? Z} 所以函数的定义域为
f ( x) ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

……………………4 分

(II)因为

……………………6 分

= 1 ? (cos x ? sin x)

? 1 ? sin x ? cos x
π = 1 ? 2( x ? ) 4

……………………8 分

π π (2kπ ? ,2kπ ? ) 2 2 , k ?Z 又 y ? sin x 的单调递增区间为 2kπ ? π π π ?x ? ? π ? 2 k 2 4 2



解得

2kπ ?

3π π ? x ? 2kπ ? 4 4

……………………11 分

π x ? kπ+ , 4 又注意到

所以 f ( x ) 的单调递增区间为

(2kπ ?

3π π ,2kπ ? ) 4 4 ,

k ? Z …………………13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

…………………4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145 …………………6 分

? 的分布列为

?
P

5 50%

0 50% ? 2% ? p

?45 2%

?145 p
…………………8 分

所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? (?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p

…………………11 分

所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即

p?

8 725

…………………12 分

所以当

0? p?

8 725 时, 福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 17.解:

(I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC 因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90 , ?CAB ? 30 ,
? ?

…………………1 分

BC ? 2 , AD ? 4
所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60 ,所以 ?ADC 是等边三角形,
?

所以 H 是 AC 中点,

…………………2 分

所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E, CP ? PB ? P 所以 EFH / / PBC 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0)

…………………3 分

…………………5 分

…………………6 分
z P E A F x H B C y

???? E (0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3) 因为 ? PHB 的法向量为 n ? ( x, y , z ) 设平面 ??? ? ??? ? HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3) 因为 ??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ? ? ??? ? ? ? HP ? n ? 0 ?z ? 0 ? 所以有 ,即 ? ,


x ? 3,



y ? ?3,

所 …………………8 分



? n ? ( 3, ?3,0)
? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
………………10 分 所 以 直 线



HE







P

H 所 B















3 4
(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可

…………………11 分 …………………12 分

因为在直角三角形 PHA 中,

EH ? PE ? EA ?

1 PA ? 2 2 ,

…………………13 分

在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, 所 以 点

EF ?

1 PB ? 2 2
个 点

E





P, O, C, F











…………………14 分

18.解: (I) 因为

S (t ) ?

1 | t ? a | et 2 ,其中 t ? a

…………………2 分

当 a ? 0,

S (t ) ?

1 | t | et 2 ,其中 t ? 0

1 1 S (t ) ? tet S '(t ) ? (t ? 1)et 2 , 2 当 t ? 0 时, ,
所 增, 以

S' t ? (

) ,

0 所



S (t )



(0, ??)





…………………4 分

1 1 S (t ) ? ? tet S '(t ) ? ? (t ? 1)et 2 , 2 当 t ? 0 时, ,

1 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 2 令 , 解得 t ? ?1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增 1 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 2 令 , 解得 t ? ?1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ……………7 分
综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1)

S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)

(II)因为

S (t ) ?

1 | t ? a | et 2 ,其中 t ? a 1 S (t ) ? (a ? t )et 2

当 a ? 2 , t ? [0,2] 时,

因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ) 2 ,令 S '( t ?0 ,得 t ? a ? 1
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

…………………8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 2 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 1 S (2) ? (a ? 2)e2 2

所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值

1 (a ? 2)e 2 ? e 2 令


,解得

a?

2 ?2 e ,


a?3
…………………10 分 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 2 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 2 对 t ? (a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减
1 S (a ? 1) ? ea ?1 2

所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值

1 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e 2 令


,解得 a ? ln 2 ? 2 以

l


?

a
…………………12 分 上 …………………13 分 所 述

n


?

ln 2 ? 2 ? a
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 19.解:(I)因为椭圆 M : a 的四个顶点恰好是一边长为 2,
一内角为 60 的菱形的四个顶点, 所 以
?

a? 3 b? ,

,

1 椭



M









x2 ? y2 ? 1 3

…………………4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点

1 (0, ? ) 2 , 显然直线 AB 有斜率,

当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 x2 x2 1 2 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 |?| x1 | 1 ? 1 ? x12 (1 ? 1 ) ? x1 (3 ? x12 ) 2 3 3 3 所以

因为

x12 (3 ? x12 ) ?

x12 ? (3 ? x12 ) 3 ? 2 2,

所以

S ?AOB ?

6 3 3 | x1 |? S?AOB 取得最大值为 2 2 时, 2 ,当且仅当

………………7 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 2 ?x 2 2 2 2 ? 3 ? y ?1 ? 所以 ,代入得到 (3k ? 1) x ? 6kt ? 3t ? 3 ? 0
2 2 当 ? ? 4(9k ? 3 ? 3t ) ? 0 ,

2 2 即 3k ? 1 ? t ①

方程有两个不同的解



x1 ? x2 ?

?6kt 3k 2 ? 1



x1 ? x2 ?3kt ? 2 2 3k ? 1 y1 ? y2 t ? 2 3k ? 1 , 所以 2
y1 ? y2 1 ? 2 2 ??1 x ? x2 k 0? 1 2 2 又 ,化简得到 3k ? 1 ? 4t
代 入 …………………10 分

…………………8 分


, 得 到



0?t ?4
|t | k2 ?1

d?
又原点到直线的距离为

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1
4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1
得 到

1 1 |t | S?AOB = | AB || d |? 1? k2 2 2 k2 ?1 所以
化 简

S?A =

1 4

?

2 O

3 t

B

(

t

4

…………………12 分 因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 综 上 ,

k??

7 3 3 时, S?AOB 取得最大值 2
积 的 最 大 值 为

?A

O 面 B

3 2
20.(I)解:法 1:

…………………14 分

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
法 2:

改变第4列 ????? ?

1

2 3

7

?2 1 0 ?1

改变第2行 ????? ?

1

2

3 7

2 ?1 0 1

1

2 3 ?7 1

?2 1 0
法 3:

改变第2行 ????? ?

1

2

3 ?7

2 ?1 0 ?1

改变第4列 ????? ?

1

2

3 7

2 ?1 0 1

1

2 3 ?7 1

?2 1 0

改变第1列 ????? ?

?1 2 3 ?7 2 1 0 1

改变第4列 ????? ?

?1 2 3 2

7

1 0 ?1

…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ①如果首先操作第三列,则

a

a2 ? 1

a 2?a

?a 2 a2

2 ? a 1 ? a2

则第一行之和为 2a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,

所以

a?

1 5 a? 2或 2 a? 1 2 时,则接下来只能操作第一行,
?a a2



?a

1 ? a2

2 ? a 1 ? a2

2 ? a a2

2 2 此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a ,2 ? 2a,2a
2 必有 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0, ?1



a?

5 2 时,则接下来操作第二行
a2 ? 1 a ?a 2

a

a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此 时 第 4 意. 分 ② 如果首先操作第一行 列 和 为 负 , 不 符 合 题 …………………6

?a

1 ? a2

a

a2

2 ? a 1 ? a2

a ? 2 a2
2 2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a , 2a ? 2 , 2a

当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数,
2 所以此时必须有 2 ? 2a ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1

经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综 上 :

a?0 ?

,

1

…………………9 分 (III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下:

c 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 ij ( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) ,各行的数字之和分别为

a1 , a2 ,?, am , 各列的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn ,A ? a1 ? a2 ? ? ? am ,B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

?

?

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1( s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

|

?

? ? min ?K , T ?



按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B )增大, 从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2? ,但是每次操作都只是改变数表中某行(或 某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然, S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个实数

的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与所有 的列和均为非负实数, 否则, 只要再改变该行或该列的符号,S 就又会继续上升, 导致矛盾, 故 立 …………………13 分 结 论 成 。


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