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三角函数公式、性质及应用


教学题目:

三角函数公式、性质及应用 三角函数公式、性质及应用

课时数

授课时间

(一)知识点
1、若扇形的圆心角为 α 、

月 日 星期 执笔人姓名 5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 质 函 数

备课组长签字

(α为弧度制) ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l = r α ,
α + cos 2 α = 1 ( sin 2 α = 1 ? cos 2 α , cos 2 α = 1 ? sin 2 α ) ;

y = sin x

y = cos x

y = tan x

1 1 C = 2r + l , S = lr = α r 2 . 2 2
2 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : (1) sin
2

图象

( 2)

sin α = tan α cos α

sin α ? ? ? sin α = tan α cos α , cos α = ? tan α ? ?
定义域

3、函数的诱导公式: 、函数的诱导公式:

(1) sin ( 2kπ + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2kπ + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) . ( 2 ) sin (π + α ) = ? sin α , cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α . ( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α . ( 4 ) sin (π ? α ) = sin α , cos (π ? α ) = ? cos α , tan (π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限. 口诀:函数名称不变,符号看象限.

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ? R

值域

[ ?1,1]
当 x = 2k π +

[ ?1,1]
当 x = 2 k π ( k ∈ Ζ ) 时,

π
2

( k ∈ Ζ ) 时,
π
2

最值

ymax = 1 ;当 x = 2kπ ?

ymax = 1 ;当 x = 2kπ + π

既无最大值也无最小值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周期性 奇偶性 在 ? 2 kπ ?

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .

偶函数

( 5 ) sin ? ?

? ?π ? ?π ? ?π ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ( 6 ) sin ? + α ? = cos α , cos ? + α ? = ? sin α . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

π


奇函数

π
奇函数

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 个单位长度, 的图象; 4、① 的图象上所有点向左 ( 右 )平移 ? 个单位长度, 得到函数 y = sin ( x + ? ) 的图象 ; 再将函数 、 的图象上所有点向左(

? ?

π
2

, 2k π +

π?
2? ?
在 [ 2kπ ? π , 2kπ ] ( k ∈ Ζ ) 上是 增函数; 增函数;在 [ 2kπ , 2kπ + π ] 上是减函数. ( k ∈ Ζ ) 上是减函数. 在 ? kπ ?

y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长 ( 缩短 ) 到原来的 的图象上所有点的横坐标伸长( 缩短)

1

ω

纵坐标不变) ,得到函数 倍 ( 纵坐标不变 ) 得到函数 ,

上是增函数; ( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在 单调性

? ?

π
2

, kπ +

π?

? 2?

y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 的图象; 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)
Α 倍(横坐标不变) 得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 横坐标不变) ,得到函数 的图象. ,
②数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)

π 3π ? ? ? 2 kπ + 2 , 2 kπ + 2 ? ? ?
上是减函数. ( k ∈ Ζ ) 上是减函数.

上是增函数. ( k ∈ Ζ ) 上是增函数.

1

ω

倍(纵坐标不变) 得到函数 纵坐标不变) ,得到函数 , 对称性

对称中心 ( kπ , 0 )( k ∈ Ζ ) 对称轴 x = kπ +

? y = sin ω x 的图象;再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 的图象; 的图象上所有点向左( 个单位长度, ω
y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 的图象; 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)
Α 倍(横坐标不变) 得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 横坐标不变) ,得到函数 的图象. ,

π
2

对称中心 ? kπ +

(k ∈ Ζ)

? ?

π

? , 0 ? (k ∈ Ζ) 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? kπ ? , 0 ? (k ∈ Ζ) ? 2 ?

对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )

教学题目: 6、 周期问题 、

三角函数公式、性质及应用 三角函数公式、性质及应用
y = ASin y = ACos y = A tan

课时数
T = T = 2π

授课时间

月 A. .



星期

执笔人姓名

备课组长签字

(ω x (ω x (ω x

+ ? + ? + ?

) ) )

, A > 0 ,ω > 0 , , A > 0 ,ω > 0 , , A > 0 ,ω > 0 ,

ω



k π π 与 kπ + 2 2

(k ∈ Z ) (k ∈ Z )

B. kπ ± . D. kπ + .

π

π T = ω

ω

C. (2k + 1)π与(4k ± 1)π .

π

k 与 π 3 3 6

(k ∈ Z )

与kπ ±

π
6

(k ∈ Z )
( )

3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 . ,则这个圆 A.2 . B. .

7、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: 、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ;⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ;⑷ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) =

2 sin 1

C. 2 sin 1 .

D. sin 2 . ( )

4.已知角 α 的终边在函数 y = ? | x | 的图象上,则 cos α 的值为 . 的图象上,

tan α ? tan β ? 1 + tan α tan β

( tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) ) ; ( tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) ) .

A. .

2 2

B.- .-

2 2

C. .

2 2 或- 2 2

D. .

1 2
( )

tan α + tan β ? ⑹ tan (α + β ) = 1 ? tan α tan β
8、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

5. sin 1 、 cos1 、 tan 1 的大小关系为 . A. sin 1 > cos 1 > tan 1 . C. tan 1 > sin 1 > cos 1 . B. sin 1 > tan 1 > cos 1 . D. tan 1 > cos1 > sin 1 .

2 2 2 ⑴ sin 2α = 2sin α cos α . ? 1 ± sin 2α = sin α + cos α ± 2 sin α cos α = (sin α ± cos α )

6.已知 α 是三角形的一个内角,且 sin α + cos α = . 是三角形的一个内角, A.锐角三角形 . B.钝角三角形 .

2 ,那么这个三角形的形状为 ( 3



⑵ cos 2α = cos

2

α ? sin 2 α = 2cos2 α ?1 = 1 ? 2sin 2 α
α
,1 ? cos α = 2 sin 2

C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 . . ( D. . )

? 升幂公式 1 + cos α = 2 cos 2

α

7.若 f (cos x ) = cos 3 x, 那么 f (sin 30°) 的值为 . A.0 . B.1 . C.- .-1 .-

2 2 cos 2α + 1 1 ? cos 2α 2 ? 降幂公式 cos 2 α = , sin α = . 2 2
⑶ tan 2α =

3 2
( )

2 tan α . 1 ? tan 2 α

8.已知函数 f ( x ) = a sin x + b tan x + 1 ,满足 f (5) = 7. 则 f ( ?5) 的值为 . A.5 . 9.设角 α = ? . B.- .-5 .- C.6 . D.- .-6 .-

形式。 9、利用两角和或差公式化一角一函数 y = A sin(?x + ? ) + B 形式。 、利用两 和或差公式化一角一函数

a sin α + b cos β = a 2 + b 2 sin(α + ? ) ,其中 tan ? = 其中
(或 a sin α + b cos α =

b a a ) b
) A. .

35 2 sin(π + α ) cos(π ? α ) ? cos(π + α ) π ,则 的值等于 6 1 + sin 2 α + sin(π ? α ) ? cos 2 (π + α )
B.- .-





a 2 + b 2 cos(α ? θ ) ,其中 tan θ =

3 3

3 3

C. 3 .

D.- 3 .- ( )

(二)应用
1.已知 A={第一象限角 ,B={锐角 ,C={小于 90°的角 ,那么 A、B、C 关系是( . 第一象限角}, 锐角}, 第一象限角 锐角 小于 °的角}, 、 、 关系是( A.B=A∩C . ∩ B.B∪C=C . ∪ C.A ? C . ≠ D.A=B=C . ( )

10.下列不等式上正确的是 . A. sin .

2.下列各组角中,终边相同的角是 .下列各组角中,

5 4 π > sin π 7 7 5 π C. sin( ? π ) > sin( ? ) . 7 6

B. tan .

15 π π > tan(? ) 8 7 3 9 D. cos(? π ) > cos( ? π ) . 5 4

教学题目:

三角函数公式、性质及应用 三角函数公式、性质及应用
π
4 ) 在闭区间( 在闭区间(
B. [ ?π ,0] . )上为增函数. 上为增函数 C. [ ? .

课时数 ( D. [ ? . )

授课时间





星期

执笔人姓名

备课组长签字 ( )

11.函数 y = sin( x + . A. [ ? π , .

21.函数 y = ? cos( . A. ?2kπ ? .

3 4

π
4

]

π 3

, π] 4 4

π π

x π ? ) 的单调递增区间是 2 3
B. ?4kπ ? π ,4kπ + π ? ( k ∈ Z ) 3 3 ? ? D. ?4kπ + π ,4kπ + π ? ( k ∈ Z ) 3 3 ? ?

, ] 2 2
( )

12.函数 y = log 1 sin( 2 x + .
2

π
4

? ?

4 2 ? π ,2kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ? 2 8 ? π ,2kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ?
3 sin x + cos x , x ∈ [?
B. 2

?

4

2 ?

) 的单调减区间为
B. (kπ ? .

A. (kπ ? .

π

4 3 π C. (kπ ? π , kπ + ] . 8 8

, kπ ]

(k ∈ Z ) (k ∈ Z )

] (k ∈ Z ) 8 π 3 D. ( kπ + , kπ + π ] (k ∈ Z ) . 8 8 8
( )

π

, kπ +

π

C. ?2kπ + .

? ?

?

2

8 ?

22.函数 y = .

π π

, ] 的最大值为 2 2
C.





13.方程 sin x = lg x 的实根有 . A.1 个 . B.2 个 . 14.下列函数中,以π为周期的偶函数是 .下列函数中, A. y =| sin x | . B. y = sin | x | . C.3 个 . C. y = sin( 2 x + . D.无数个 .

A.1 .

3

D.

3 2





23. 23. 函数 f ( x ) = sin(ωx + ? ) (x∈R, ω >0,0≤ ? <2 π) 的部分图象如图,则 y 的部分图象如图,

π
3

) D. y = sin( x + .

π
2

)

围成一个封闭的平面图形, 15.已知 y = cos x (0 ≤ x ≤ 2π ) 的图象和直线 y=1 围成一个封闭的平面图形,该图形的面积 . 是 A.4π . π ( B.2π . π C.8 . D.4 . ( ) )

π 5π ,? = 4 4 π π C. ω = , ? = 2 4
A. ω = 24. cos .

B. ω = D. ω =

π

π π ,? = 4 4

1 o 1
α
2
是第

α

16.如果函数 y = sin ωx ? cos ωx (ω > 0) 的最小正周期为 4π,那么常数ω为 . π 那么常数ω A. .

25.已知 π < α + β < .

1 4

B.2 .
2

C. .

1 2

D.4 . ( D. 以上都不对 ( D. x = π ( ) ) )

4 π π ,?π < α ? β < ? , 则2α - β 的取值范围是 3 3 1 π π 26.已知 sin α ? cos α = , 且 < α < , 则 cos α ? sin α = . 8 4 2
27.函数 y = .

2

? sin

α

3

,? =

π

3 x

6

2

= 1 ? sin α ,且 α 是第二象限角,则 是第二象限角,

象限角. 象限角 . .

17.已知 sin θ < 0, tan θ > 0 ,则 1 ? sin . A. cos θ . B. ? cos θ

θ 化简的结果为

36 ? x 2 + lg cos x 的定义域是 的定义域是_________.
. .
2

18.函数 y = cos(2 x + . A. x = ? .

π

C. ± cos θ .

28. f (x) 为奇函数, x > 0时, f ( x) = sin 2 x + cos x, 则x < 0时f ( x) = . 为奇函数, 29.已知方程 cos x + 4 sin x ? a = 0 有解,那么 a 的取值范围是 有解, 30.(重庆卷)已知 α , β ∈ ?

π
2

2

) 的图象的一条对称轴方程是

B. x = ?

π
4

C. x =

π
8

3 π ? 12 π? ? ? 3π ? ? , π ? ,sin( α + β )=- , sin ? β ? ? = , 则 cos ?α + ? =________. 5 4 ? 13 4? ? ? 4 ? ?

3 ,0) , sin x = ? ,则 tan2x= 则 2 5 7 7 24 24 A. B. ? C. D. ? . 24 24 7 7 1 π 1 π 20.已知 tan(α + β ) = , tan(α ? ) = ? ,则 tan( β + ) 的值为 . 2 4 3 4
19.已知 x ∈ (? . A. 2 . B. 1 C.

π

31 . 把函数 y = sin( 2 x +

π
3

) 先向右平移

π
2

个单位, 个单位 , 然后向下平移 2 个单位后所得的函数解析式为

________________________________ 32.(辽宁卷)已知函数 f ( x) = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x , x ∈ R .求: 辽宁卷 ( ) (I) 函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; 的集合; (II) 函数 f ( x ) 的单调增区间.

2 2

D. 2



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