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河北省正定中学2011届高三上学期第三次考试(数学文)


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2010河北正定中学 2010-2011 学年第一学期高三第 3 次考试

数学试题( 数学试题(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 1. 若 P = {2,3,4}, Q = {1,3,5}, M = {3,5,6}, 则 痧( P ∩ M ) ∪ P A.{2,4} B.{2,4,6}
M

( M ∩ Q) = ( )
D.{1,2,3,4,5} ( ) D.6

C.{1,2,4,6}

2. 已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 + a11 = 50, 又 a 4 = 13, 则 a 2 = A.1 B.4 C.5

3. 过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 = 0 平行的直线方程是 ( ) A. x ? 2 y ? 1 = 0 C. 2 x + y ? 2 = 0 B. x ? 2 y + 1 = 0 D. x + 2 y ? 1 = 0

4. 若函数 y = cos 2 x 与函数 y = sin( x + ? ) 在[ 0, A.

π
2

]上的单调性相同,则 ? 的一个值为()

π
6



B.

π
4



C.

π
3



D.

π
2



5. 给出四个函数,分别满足:

① f (x + y) = f (x) + f ( y) ;② g ( x + y ) = g ( x) ? g ( y ) ; ③ ?( x ? y) = ?( x) + ?( y) ; ④ h(x? y) = h(x)?h(y) 。又给出四个函数的图象,则正确的匹配方 案是( ) A.①-甲,②-乙,③-丙,④-丁 ; B.①-乙,②-丙,③-丁,④-甲; C.①-丙,②-甲,③-乙,④-丁 ; D.①-丁,②-甲,③-乙,④-丙。 6. 若非零向量 a, b 满足 | a |=| b |, 2a + b ? b = 0 ,则 a 与 b 的夹角为( ) A. 30°° B. 60° C. 120° D. 150°
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(

)

7. 在数列 {an } 中, a1 = 15, 3an+1 = 3an ? 2(n ∈ N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的() A. a 21 ?a 22 ; B. a 22 ? a 23 ; C. a 23 ? a 24 ; D. a 24 ? a 25 。

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8. 已知 sin x + cos x =

1 , x ∈ [ 0, π ] ,则 tan x 的值为( ) 5 3 4 4 A. ? B. ? C. ± 4 D. ? 3 或 ? 4 3 3 4 3 1 1 1 9. a, b 为正实数, b 的等差中项为 A; , 的等差中项为 a, ; b 的等比中项为 G (G > 0) , a, a b H
则( ) A. G ≤ H ≤ A ; B. H ≤ G ≤ A ; C. G ≤ A ≤ H ; D. H ≤ A ≤ G 。 10. 已知 α , β ∈ (

π

2

, π ), 且 cosα + sin β > 0 ,则必有( )
B. α + β >

A. α + β < π ;

3π 3π 3π ; C. α + β = ; D. α + β < 。 2 2 2

11. 平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA = a, OB = b ,则 ?OAB 的面积等于( ) A.

a b ? ( a ? b) 2 1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

B.

a b + ( a ? b) 2 1 2 a b + ( a ? b) 2
2 2

2

2

C.

D.

12. 设 a > b > 0 ,则 a +
2

1 1 + 的最小值是( ) ab a ( a ? b )
C.3 D.4

A.1

B.2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 填空题 每小题 13. 不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1



14. 已知函数 y = A sin(ωx + φ )( A > 0, ω > 0) 在一个周期内的图象如图所示,则它的解析式 为_ _。

15. 若 点 P ( m,3) 到 直 线 点 P 在不等式 2 x + y <3 表示的平面区域内,则 m =

4 x ? 3 y + 1 = 0 的距离为 4, 且


16. 在平面直角坐标系中, 双曲线 C 的中心在原点, 它的一个焦点坐标为 ( 5, 0) ,e1 = (2,1) 、

e 2 = (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 C 上的点 P ,若 OP = ae1 + be2
( a 、b∈ R ) ,则 a 、 b 满足的一个等式是 解答题( 三、解答题(共 70 分) 17. (满分 10 分) 。

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求函数 y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x ( x ∈ R ) 的最大值和最小值。
2 2

18. (满分 12 分) 设直线 l 的方程为 ( a + 1) x + y + 2 ? a = 0 ( a ∈ R ) 。 (1) 若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2) 若 l 不经过第二象限,求 a 的取值范围。

19. (满分 12 分) 已 知 正 项 数 列 {an } ( n ∈ N *, a n > 0) 的 前 n 项 和 S n 满 足 : 2 Sn = an +1 ; 设

bn = ?2an + 39 ,求数列 bn 的前 n 项和的最大值。

{ }

20. (满分 12 分) 已知数列{ an }满足条件: a1 =1, an+1 =2 an +1,n∈N﹡. (Ⅰ)求证:数列{ an +1}为等比数列; (Ⅱ)令 cn =

2n , Tn 是数列{ cn }的前 n 项和,证明 Tn < 1 . an ·an+1

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21. (满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x + ( m ? 4) x ? 3mx + ( n ? 6)
3 2

( x∈R ) 的图象关于原点对称,

m , n 为实数,
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(1)求 m , n 的值; (2)证明:函数 f (x ) 在 [? 2,2] 上是减函数; (3) x ∈ [?2,2] 时,不等式 f ( x ) ≥ ( n ? log m a ) ? log m a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22. (满分 12 分) 已知锐角 α , β 满足: sin β = 2 cos(α + β ) sin α ,记 y = tan β , x = tan α , (1)求 y 关于 x 的函数解析式 y = f (x ) 及其定义域; (2)求(1)中函数 y = f (x ) 的最大值及此时 α , β 的值。

2010河北正定中学 2010-2011 学年第一学期高三第 3 次考试

数学( 数学(文)答案
选择题( 一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) BCCDD CCBBD CD 填空题(每小题 二、填空题 每小题 5 分,共 20 分) 13. { x | ?2 < x < 1或x > 3} 14. y = 2sin(

π
4

x+

π
4

)

15.-3

16.4ab=1

解析:因为 e1 = (2,1) 、 e 2 = (2, ?1) 是渐进线方向向量,所以双曲线渐近线方程为 y = ±

1 x, 2




c = 5 ,∴ a = 2, b = 1





线







x2 ? y2 = 1 4

OP = ae1 + be2 = (2a + 2b, a ? b) ,
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(2a + 2b) 2 ? (a ? b) 2 = 1 ,化简得 4ab=1 4

三、解答题(共 70 分) 解答题( 14. (满分 10 分) 求函数 y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x ( x ∈ R ) 的最大值和最小值。
2 2

解: y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x
2 2

  = 1 + 2 cos 2 x + sin 2 x…………2分 = 1 + 1 + cos 2 x + sin 2 x…………4分

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? + 2…………6分 4? ?
∵ 2x + ∴2?

π

π? ? ∈ R ,∴ ? 1 ≤ sin ? 2 x + ? ≤ 1 …………8 分 4 4? ?

2 ≤ y ≤ 2 + 2 ,即 y 的最大值为 2 + 2 ,最小值为 2 ? 2 。……10 分

15. (满分 12 分)设直线 l 的方程为 ( a + 1) x + y + 2 ? a = 0 ( a ∈ R ) 。 (3) 若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (4) 若 l 不经过第二象限,求 a 的取值范围。 解: (1)由题意, a + 1 ≠ 0 ,即 a ≠ ?1 。…………1 分 当直线过原点时,该直线在两条坐标轴上的截距都 0,当然相等,此时 a = 2 ,直线 l 的方 程为 3 x + y = 0 ;…………3 分 当直线 l 不过原点时, a ≠ 2 ,由截距相等,得

a?2 = a ? 2 ,即 a = 0 ,直线 l 的方程为 a +1

x + y + 2 = 0 ,综上所述,所求直线 l 和方程为 3 x + y = 0 或 x + y + 2 = 0 。…6 分
(2)将直线 l 的方程化为 y = ? ( a + 1) x + a ? 2 。 为使直线 l 不经过第二象限,当且仅当 ?

?? ( a + 1) > 0 ?? ( a + 1) = 0 ? ? 或? 。…………10 分 ?a ? 2 ≤ 0 ?a ? 2 ≤ 0 ? ?

解得 a ≤ ?1 ,所以 a 的取值范围是 ( ?∞, ?1] 。……12 分 16. (满分 12 分)已知正项数列 {an } ( n ∈ N *, a n > 0) 的前 n 项和 S n 满足: 2 Sn = an +1; 设 bn = ?2an + 39 ,求数列 bn 的前 n 项和的最大值。 解:当 n = 1 时, S1 = a1 ,所以 2 a1 = a1 + 1 ,即
2

{ }

(

a1 ? 1 = 0 ,∴ a1 = 1 ;……1 分
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)

2

当 n ≥ 2 时,由 2 S n = an + 1 ,得 4 S n = an + 2an + 1 ……①,
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∴ 4 S n ?1 = a n ?1 + 2a n ?1 + 1 ……②
2

两式相减,得 4a n = a n ? a n ?1 + 2a n ? 2a n ?1
2 2

整理,得 (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ) = 2(a n + a n ?1 ) ,…………6 分 ∵ a n > 0 ,∴ a n + a n ?1 ≠ 0 , ∴ a n ? a n ?1 = 2 ,

∴ {a n } 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, a n = 2n ? 1(n ∈ N *) …………8 分 ∴ bn = ?2(2n ? 1) + 39 = ?4n + 41 ,∴ bn ?1 = ?4n + 45 , ∴ bn ? bn ?1 = ?4(n ≥ 2 ) ,又 b1 = ?2a1 + 39 = 37 ∴ {bn } 是等差数列,且 b1 = 37 ,公差 d = ?4 , ∴ S n = 37 n + ∴当 n = ? 39
2(? 2 )

n(n ? 1) (? 4) = ?2n 2 + 39n ,…………10 分 2 3 = 9 时, S n 取最大值,但 n ∈ N * , …………11 分
4
2

∴当 n = 10 时 S n 最大,最大值为 S10 = ?2 × 10 + 39 × 10 = 190 。…………12 分 17. 已知数列{ an }满足条件:a1=1, an+1 =2 an +1,n∈n﹡. (Ⅰ)求证:数列{ an +1}为等比数列; (Ⅱ)令 cn =
2n , T 是数列{ c }的前 n 项和,证明 n n an ·an+1

Tn <1.

(Ⅰ)证明:由题意得 an +1 + 1 = 2an + 2 = 2( an + 1) ,……………3 分 又 a1 + 1 = 2 ≠ 0 .……………4 分 所以数列 {an + 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.……………5 分 (Ⅱ)解:由⑴知 an = 2 ? 1 ,……………7 分
n

2n 2n 1 1 故 cn = = n = n ? n +1 ,……………9 分 n +1 an an +1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 ∴ Tn = c1 + c2 + c3 + ? + cn = ?1 ? ? + ? ? ? + ? + ? n ? n +1 ? ? 3? ?3 7 ? ? 2 ?1 2 ?1? = 1? 1 2
n+1

?1

< 1 .…………………12 分

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18. (满分 12 分)已知函数 f ( x) = x + ( m ? 4) x ? 3mx + ( n ? 6)
3 2

( x∈R ) 的图象关于原点

对称, m , n 为实数, (1)求 m , n 的值; (2)证明:函数 f (x ) 在 [? 2,2] 上是减函数; (3) x ∈ [?2,2] 时,不等式 f ( x ) ≥ ( n ? log m a ) ? log m a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:(1)∵ f ( x ) 的图象关于原点对称,∴ f (? x ) = ? f ( x ) 对一切实数均成立,即

(? x )3 + (m ? 4)(? x )2 ? 3m(? x ) + (nj ? 6) = ?[x 3 + (m ? 4)x 2 ? 3mx + (n ? 6)] 对 x ∈ R
恒成立, 比较系数,得 m = 4, n = 6 (2)由(1)知, f ( x ) = x 3 ? 12 x( x ∈ R ) , f ' ( x ) = 3 x 2 ? 12 , f ' ( x ) < 0 , ? 2 ≤ x ≤ 2 , ∴ 由 得 ∴函数 f ( x) 在 [? 2,2] 上是减函数; (另证 (设 ? 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 2 ,则 另证) 另证

3 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x13 ? 12 x1 ? x 2 ? 12 x 2 = ( x1 ? x 2 ) x12 + x 2 + x1 x 2 ? 12

(

) (

)

(

)



? 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 2

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2 2 ∴ x12 ≤ 4, x 2 ≤ 4, x1 x 2 < 4 ,∴ x1 ? x 2 < 0, x12 + x 2 + x1 x 2 ? 12 < 0 ,

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x 2 ) , ∴函数 f ( x) 在 [? 2,2] 上是减函数; (3) 由 (2) 知 , 函 数 f ( x) 在 [? 2,2] 上 是 减 函 数 , ∴ 在 区 间 [? 2,2] 上 ,

[ f (x )]min

= f (2 ) = ?16 ,

∴在区间 [? 2,2] 上,不等式 f ( x) ≥ ( n ? log m a ) ? log m a 恒成立,就是

? 16 ≥ (n ? log m a ) ? log m a 成立,又由(1)知 m = 4., n = 6
∴ (log 4 a ) ? 6 log 4 a ? 16 ≥ 0 ,即 log 4 a ≤ 2 或 log 4 a ≥ 8 ,
2

∴0 < a ≤

1 ? 1? 或a ≥ 216 ,即 a 的取值范围是 ? 0, ? ∪ 216 ,+∞ 。 16 ? 16 ?

[

)

19. (满分 12 分) 锐角 α ,β 满足:sin β = 2 cos(α + β ) sin α , y = tan β ,x = tan α , 记 (1)求 y 关于 x 的函数解析式 y = f (x ) 及定义域;

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(2)求(1)中函数 y = f (x ) 的最大值及此时 α , β 的值。 解:∵ sin β = 2 cos(α + β ) sin α , ∴ sin[(a + β ) ? a ] = 2 cos(α + β )sin α , 即 sin (α + β ) cos α = 3 cos(α + β )sin α ……① ∵ α , β 都是锐角,∴ 0 < α + β < π , sin β >, sin α > 0 , ∴由 sin β = 2 cos(α + β ) sin α 知 cos(α + β ) > 0 ∴由①式,得 tan (α + β ) = 3 tan α , 即

tan α + tan β x+ y = 3 tan α ,即 = 3y 1 ? tan α tan β 1 ? xy

∴y=

2x (x > 0) , 3x 2 + 1

即所求函数的解析式为 y = f ( x ) = (2)由(1)得, y =

2x ,其定义域为 (0,+∞ ) ; 3x 2 + 1
≤ 2 2 3 = 3 1 3 ,当且仅当 3 x = , 即 x = 时,等 3 x 3

2x = 3x 2 + 1

2 3x + 1 x

号成立,此时 tan α =

3 3 π π , tan β = ,∴ α = , β = , 3 3 6 6 3 π ,此时, α = β = 。 3 6

即函数 y = f (x ) 的最大值为

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