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数学选修2定积分精品课件-汽车行驶的路程


汽车行驶的路程

汽车以速度v作匀速直线运动时,经过时间t所行驶 的路程为S=vt. 如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为 v(t)=-t? +2(单位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)
这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?

(1)分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小 区间:

1 1 2 n ?1 [0, ], [ , ],?[ ,1] n n n n
i ?1 i 记第i个区间为[ , ](i ? 1,2,?, n), n n

i i ?1 1 其长度为?x ? ? ? n n n

1 1 2 n ?1 把汽车在时间段[0, ], [ , ],?[ ,1] n n n n 上行驶的路程分别记作:

?S1, ?S2 ,??Sn
显然,S ? ? ?Si
i ?1 n

(2)近似代替

当n很大,即?t很小时,
i ?1 i 在区间[ , ]上,可以认为函数v(t ) ? ?t 2 ? 2 n n 的值变化很小,近似地等于一个常数,
i ?1 i ?1 不妨认为它近似地等于左端点 处的函数值v( ) n n

从物理意义上看,就是汽车在时间段
i ?1 i [ , ](i ? 1,2,3,?, n)上速度的变化很小, n n i ?1 不妨近似地以时刻 处的速度 n i ?1 i ?1 2 v( ) ? ?( ) ? 2作匀速行驶, n n 即在局部小范围内“以匀速代变速”,则有

i ?1 i ?1 2 ?Si ? ?S 'i ? f ( )?x ? [?( ) ? 2] ? ?x n n

(3)求和 图中阴影部分的面积Sn为

i ?1 i ?1 2 1 2 Sn ? ? ?S 'i ? ? v( )?t ? ?[?( ) ? ] n n n n i ?1 i ?1 i ?1
n n n

1 1 2 1 n ?1 2 1 ? ?0 ? ? ( ) ? ? ? ? ( ) ? ?2 n n n n n 1 2 2 2 ? ? 3 [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ] ? 2 n 1 (n ? 1)n(2n ? 1) 1 1 1 ?? 3 ? 2 ? ? (1 ? )(1 ? ) ? 2 n 6 3 n 2n

从而得到S的近似值 1 1 1 S ? Sn ? ? (1 ? )(1 ? ) ? 2 3 n 2n

(4)取极限 当n趋向于无穷大时,即?x趋向于0时,

1 1 1 Sn ? ? (1 ? )(1 ? ) ? 2趋向于S , 从而有 3 n 2n
1 i ?1 S ? lim Sn ? lim ? v( ) n?? n?? n i ?1 n 1 1 1 5 ? lim [? (1 ? )(1 ? ) ? 2] ? n?? 3 n 2n 3
n


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