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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


高中数学三角函数与向量知识点及典例 平面向量部分 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λ a,|λ a|=|λ ||a|,当λ > 0 时,λ a 的方向和 a 的方向相同,当λ < 0 时,λ a 的方向和 a 的方向相反,当λ = 0 时,λ a = 0。 设λ 、μ 是实数,那么:(1)(λ μ )a = λ (μ a)(2)(λ μ )a = λ a μ a(3)λ (a ± b) = λ a ± λ b(4)(-λ )a =-(λ a) = λ (-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量 a、b,那么|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积或内积,记作 a?b,θ 是 a 与 b 的夹 角,|a|cos θ (|b|cos θ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影。零向量与任意向量的 数量积为 0。 a?b 的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

三角函数部分 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性



? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? ?? ? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ??? 上是增函数. ? k ??? 上是减函数.

?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

? k ??? 上是减函数.
对 对 称 称 中 心 对 称 中 心 对 称 中 心



? k? ,0?? k ???

x ? k? ?





? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

?
2

?k ? ??

无对称轴

必修四 角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半
*

轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 口诀:奇变偶不变,符号看象限.
1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数

? 终边所落在 n

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R .

(Ⅰ)求函数

? π 3π ? f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

【相关高考 1】(湖南文)已知函数

π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

求:(I)函数

f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(湖南理)已知函数

1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(I)设 x ?

x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

2.根据函数性质确定函数解析式 例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 2

y
3
O

?π ? ( 2 )已知点 A ? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 ?2 ?
y0 ? 3 ?π ? , x0 ? ,π ? 时,求 x0 的值. ? 2 ?2 ?

P

A

x

【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数

π? π? ?x ? ? , (I) 求函数 f ( x ) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) 6? 6? 2 ? ?
π 2
,求函数

的值域; (II)(文)若函数

y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

y ? f ( x) 的单调增区间.

(理)若对任意的 a ? R ,函数 必证明),并求函数

y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不

y ? f ( x),x ? R 的单调增区间.

【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.
1 π 13 ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β . 7 2 14

3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα =

【相关高考 1】 (重庆文) 已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

. (Ⅰ) 求 f(x)的定义域; (Ⅱ) 若角 a 在第一象限, 且 cos a ?

2

)

3 , 求f(a)。 5

【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan

(1) 求 f( x )的最大值及最小正周期; (2 ) 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 , 6 cos2 x ? 3 sin 2 x

4 ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a ? 3 【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知

? 2b sin A .

3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?
4 . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?
A? 1 3 , tan B ? .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 4 5

【相关高考 2】(福建)在 △ ABC 中, tan

边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为

17 ,求最小边的边长.

5.三角与平面向量 例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ?

??? ? ???? AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范围;

(II)求函数

?π ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

【相关高考 1】(陕西)设函数 其中向量 a

f ?x ? ? a ? b ,
?
?4 ?

? ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ? ,2 ? ,

(Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知Δ ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (文)(1)若 AB ? 6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30
?

AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值.

2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于
?

甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10

2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
AB 时 , 可 以 选 与 塔 底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 侧 点 C 与 D . 现 测 得

【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高

?BCD? ?,? BDC ? ?, CD ?

C 测得塔顶 ,并在点 s

A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .



120? A 2

B2 B1

7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数

105? A 1


?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式

?π π? f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?
x x f ?x ? ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

8.三角函数与极值 例 8(安徽文)设函数 其中 t ≤1,将

f ?x ? 的最小值记为 g(t).
三角函数易错题解析

(Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

例题 1

已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos 3 3 11? D、 6

),则角 ? 的最小值为(

)。

例题 2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形

2

? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是(
D、等边三角形



例题 3

已知方程 x 且? 、 ?

2

? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , tan ? ,
的值是_________________.

? ?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

例题 4

函数

的最大值为 3,最小值为 2,则 a ______, b ? _______。 ? f( x ) ? a s i n x ? b

例题 5

函数 f(x)= 若 2sin α
2

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x
的取值范围是

例题 6 例题 7

? sin 2 ? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ?

已知 ? ?????,求 求函数 求函数

的最小值及最大值。 y ? c o s ? ? 6 s i n ?

例题 8 例题 9 例题 10

f ( x) ?

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?

3 ? f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0, 4 2 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。
已知函数

4

? x) ? 3 的值域
]



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