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高中数学人教A版必修三第一章算法初步知识点总结及典型例题分析


新课标人教 A 版必修 3 第一章 知识点总结及典型题归类解析 算法初步 知识点总结及典型题归类解析

一、算法设计
(一)基本知识点 算法的描述一般有三种方法:自然语言、算法框图(也叫流程图)和程序语言. 算法的描述一般有三种方法:自然语言、算法框图(也叫流程图)和程序语言. (二)典型习题举例 下列关于算法的说法正确的有________ ________个 1、例 1 下列关于算法的说法正确的有________个.( ①求解某一类问题的算法是惟一的. 求解某一类问题的算法是惟一的. ②算法必须在有限步操作之后停止. 算法必须在有限步操作之后停止. ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊. 算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊. ④算法执行后一定产生确定的结果. 算法执行后一定产生确定的结果. A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 )

解析: 由算法特性知,算法具有有穷性、确定性 可输出性, ②③④均对 均对, 解析:C 由算法特性知,算法具有有穷性、确定性、可输出性,故②③④均对,选 C. 2.例 2 已知两个单元分别存放了变量 x 和 y,下面描述交换这两个变量的值的算法中正确的 为( ) A.S1 把 x 的值给 y;S2 把 y 的值给 x. B.S1 把 x 的值给 t;S2 把 t 的值给 y;S3 把 y 的值给 x. C.S1 把 x 的值给 t;S2 把 y 的值给 x;S3 把 t 的值给 y. D.S1 把 y 的值给 x,S2 把 x 的值给 t;S3 把 t 的值给 y. 解析: 解析:C 为了达到交换的目的, 使两个变量来交换. 为了达到交换的目的,需要一个中间变量 t,通过 t 使两个变量来交换. 的单元可以再利用) S1 先将 x 的值赋给 t(这时存放 x 的单元可以再利用); 的单元可以再利用) S2 再将 y 的值赋给 x(这时存放 y 的单元可以再利用); 的值便完成了交换. S3 最后把 t 的值赋给 y,两个变量 x 和 y 的值便完成了交换. 方法小结: 这好比有一碗酱油和一碗醋.我们要把这两碗盛装的物品交换过来, 方法小结: 这好比有一碗酱油和一碗醋.我们要把这两碗盛装的物品交换过来,需要一个 空碗(即 t);先把醋(或酱油)倒入空碗,再把酱油(或醋)倒入原来盛醋(或酱油)的碗,最后把倒 空碗( 先把醋(或酱油)倒入空碗,再把酱油(或醋)倒入原来盛醋(或酱油)的碗, 入空碗中的醋(或酱油)倒入原来盛酱油(或醋)的碗,就完成了交换. 入空碗中的醋(或酱油)倒入原来盛酱油(或醋)的碗,就完成了交换. 请说出下面算法要解决的问题________ ________. 3.例 3 请说出下面算法要解决的问题________. 第一步,输入三个数, 表示; 第一步,输入三个数,并分别用 a、b、c 表示; 第二步, 的大小, 的值; 第二步,比较 a 与 b 的大小,如果 a<b,则交换 a 与 b 的值; 的大小, 的值; 第三步, 第三步,比较 a 与 c 的大小,如果 a<c,则交换 a 与 c 的值;

1

第四步, 的大小, 的值; 第四步,比较 b 与 c 的大小,如果 b<c,则交换 b 与 c 的值; 第五步, 第五步,输出 a、b、c. 并按从大到小顺序输出. 答: 输入三个数 a,b,c,并按从大到小顺序输出. 解析: 赋值. 解析:第一步是给 a、b、c 赋值. 第二步运行后 a>b. 第三步运行后 a>c. 第四步运行后 b>c,∴a>b>c. 的值, 第五步运行后, 第五步运行后,显示 a、b、c 的值,且从大到小排 二、算法框图及其画法 (一)基本知识点 (1)对于比较简单的算法框图,可以通过对问题的分析,建立相应的数学模型或过程模型, (1)对于比较简单的算法框图,可以通过对问题的分析,建立相应的数学模型或过程模型,进 对于比较简单的算法框图 而选择顺序结构、选择结构、循环结构中的一种或几种画出算法框图即可. 而选择顺序结构、选择结构、循环结构中的一种或几种画出算法框图即可. 结构中的一种或几种画出算法框图即可 (3)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构;条件结构主要用于一些 一些需要进行条件判 (3)顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构;条件结构主要用于一些需要进行条件判 顺序结构 断的算法,如分段函数求值、 大小关系判断等;循环结构主要用于一些有规律的重复计算,如累加求 断的算法,如分段函数求值、 大小关系判断等;循环结构主要用于一些有规律的重复计算, 和、累乘求积等。 累乘求积等。 开始 (二)典型习题举例 1、例 1 如图 1 所示的算法框图中,最后一个输出的数是 所示的算法框图中, 解析:此算法框图为循环结构, 此算法框图为循环结构, 分析框图易知该算法的功能是 的正整数, 输出 2010 以内除以 3 余 2 的正整数, 否 n>2010 2,5,… 即输出的数分别为 2,5,…,2006,2009, 2009.故填 从而可得最后一个输出的数是 2009.故填 2009. 的框图, N=5,则输出的数等于( 2、例 2. 如果执行图 1 的框图,输入 N=5,则输出的数等于( A. ) 是 结束 图1 n=2 输出 n n=n+3

5 4

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6

方法点拨:该框图含有循环结构,弄清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件, 方法点拨:该框图含有循环结构,弄清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件,算法 功能是求和. 功能是求和. 解 析 : 由 程 序 框 图 可 知 , 该 程 序 框 图 的 功 能 计 算

S=

1 1 1 1 + + +L+ , 1× 2 2 × 3 3 × 4 k (k + 1)
N=5 , 所 以 满 足 条 件

现 在 输 入 的

k<N



2

S=

5 1 1 1 1 1 = ,故选 D. + + + + 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6
开始

输入 N

k=1,S=0

S = S+

1 k (k + 1)

k = k +1

k<N

输出 S



结束

图1

小结:本题是程序框图与数学计算的综合, 小结:本题是程序框图与数学计算的综合,

1 1 1 1 1 + + + + 时 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 1 1 1 1 1 5 + + = , 可以让 S = + + 2 6 12 20 30 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 也可以让 S = (1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) = 1 ? = . 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6
在计算 S =
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特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

3、 例 3
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

交换, 将两个数 a = 8, b = 17 交换,使 a = 17, b = 8 ,下面语句正确一组是 ( B c=b b=a a=c
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
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)

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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

A

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

C

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

a=b b=a

b=a a=b

D

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

a=c c=b b=a

解:B

先把 b 的值赋给中间变量 c ,这样 c = 17 , 再把 a 的值赋给变量 b ,这样 b = 8 , 把 c 的值赋给变量 a ,这样 a = 17

4、 例 4 (1)流程图(1)的算法功能是__________. (1)流程图(1)的算法功能是__________. 流程图(1)的算法功能是__________ (2)流程图(2)的算法功能是____________. (2)流程图(2)的算法功能是____________. 流程图(2)的算法功能是____________

3

(3)流程图(3)的算法功能是__________. (3)流程图(3)的算法功能是__________. 流程图(3)的算法功能是__________ (4)流程图(4)的算法功能是___________. (4)流程图(4)的算法功能是___________. 流程图(4)的算法功能是___________

解析:(1)求输入的两个实数 的和. 解析:(1)求输入的两个实数 a 与 b 的和. (2)求以输入的两个正数 为直角边长的直角三角形斜边的长. (2)求以输入的两个正数 a,b 为直角边长的直角三角形斜边的长. 求以输入 (3)求输入两数 的差的绝对值. (3)求输入两数 a,b 的差的绝对值. (4)求函数 f(x)=|x-3|+1, (4)求函数 3|+
? >3) ?x-2 (x>3) 即分段函数 f(x)=? ?4-x (x≤3) ≤3) ?

的函数值. 的函数值.

, ?2 x ? 1 x < 0 ? 2 , 写出求该函数函数值的算法,并画出算法框图. 5、例 5 已知函数 y = ? x + 1 0 ≤ x < 1 ,写出求该函数函数值的算法,并画出算法框图. ? 3 ? x + 2 x,x ≥ 1 分析:函数是分段函数, 的不同取值选择不同的解析式,故应采用选择结构. 分析:函数是分段函数,需根据 x 的不同取值选择不同的解析式,故应采用选择结构. 解:算法如下:第一步:输入 x ; 算法如下:第一步: 第二步,如果 x < 0 , 那么使 y = 2 x ? 1 , 输出 y , 否则执行第 第二步, 三步; 三步; 第三步, 第三步,如果 0 ≤ x < 1 ,那么使 y = x 2 + 1 ,输出 y ,否则执行 第四步; 第四步;

4

第四步, 第四步, y = x3 + 2 x ; 第五步, 第五步,输出 y . 所示. 相应的算法框图如图 2 所示. 6、例 6. 已知函数 y = ?

?log 2 x,x ≥ 2, ?2 ? x,x < 2.

的值, 右图表示的是给定 x 的值,求其对应的函数值 y 的程序框 图,①处应填写 ;②处应填写 .

方法点拨:分清两段的函数解析式与各自条件的对应关系. 方法点拨:分清两段的函数解析式与各自条件的对应关系. 解析: 解析:由 y = ?

?log 2 x,x ≥ 2, 可知, 可知, ?2 ? x,x < 2.
解析式为 y = 2 ? x ,

当 x < 2 时,对应的函数 所以① 所以①处应填写 x < 2 , 则②处应填写 y = log 2 x .

规律总结:对程序框图的考查是新课标高考热点之一.不管含什么结构的程序框图, 规律总结:对程序框图的考查是新课标高考热点之一.不管含什么结构的程序框图,首先要 弄清算法功能.对于循环结构,要分清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件, 弄清算法功能.对于循环结构,要分清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件,特别要注意 循环终止时各变量的值.对条件结构,要善于判断,分清在什么条件下流向哪里. 求输出” “ 循环终止时各变量的值.对条件结构,要善于判断,分清在什么条件下流向哪里. 求输出”就是 求算法的运行结果, 求算法的运行结果,求“填写”就是在把握整个算法流程的基础上补全所缺算法流程,需要一定 填写”就是在把握整个算法流程的基础上补全所缺算法流程, 的判断及逆向想象能力. 的判断及逆向想象能力. (三)巩固练习 巩固练习 现代化信息时代,为确保信息安全,信息需加密传输, 密文(加密), ),接收方 1.现代化信息时代,为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 → 密文(加密),接收方 明文(解密), ),已知加密规则如图 所示,例如, 5,7,18,16.当接收 由密文 → 明文(解密),已知加密规则如图 1 所示,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收 解密得到的明文应为( 方收到密文 14,9,23,28 时,解密得到的明文应为( A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 ) 开始 D.1,6,4,7 输入 a,b,c,d m=a+2b n=2b+c p=2c+3d q=4d 输出 m,n,p,q 结束 图1

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

2

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

下面的程序段输出的结果是( 当 a = 3 时,下面的程序段输出的结果是( IF



a < 10 THEN

y = 2?a
else

5

y = a?a
PRINT y
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

A

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9

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B

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

3

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特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

C

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

10

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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

D

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6

解: D

该程序揭示的是分段函数 y = ?

?2a, a < 10
2 ?a , a ≥ 10

的对应法则

三、程序设计 (一)基本知识点 (1)算法设计和算法框图是程序设计的基础,我们可根据算法的三种逻辑结构,对应于 (1)算法设计和算法框图是程序设计的基础,我们可根据算法的三种逻辑结构,对应于五种不 算法设计和算法框图是程序设计的基础 同功能的基本语句,进而完成程序设计. 同功能的基本语句,进而完成程序设计. 完成程序设计 (3)实际问题的程序设计一般是先对问题进行认真的分析,设计出合理的算法, (3)实际问题的程序设计一般是先对问题进行认真的分析,设计出合理的算法,然后将算法用 实际问题的程序设计一般是先对问题进行认真的分析 框图表示出来,最后根据算法框图和基本语句写出程序. 框图表示出来,最后根据算法框图和基本语句写出程序. 算法框图和基本语句写出程序 (3)忽视各种语句的格式要求易致错.如:条件语句必须以 If 语句开始,以 End If 语句结束, (3)忽视各种语句的格式要求易致错. 语句开始, 语句结束, 而在多个条件语句嵌套或并列使用时, If,从而出 而在多个条件语句嵌套或并列使用时,往往会因粗心漏写部分 End If,从而出错. (4)忽视变量的取值范围易致错.写循环语句时,要特别注意循环变量、 忽视变量的取值范围易致错.写循环语句时,要特别注意循环变量、 变量的取值范围 循环变量 计数变量与累计变量的 取值范围,只要其中一个变量的取值有误,程序就是错误的. 计数变量范围有误, 取值范围,只要其中一个变量的取值有误,程序就是错误的.如:若计数变量范围有误,则往往会出 现多一次或少一次循环的错误. 多一次或少一次循环的错误. (二)典型习题举例 下列所给的式子,前一个是算术式子, 语言中的对应式子, 1、例 1.下列所给的式子,前一个是算术式子,后一个是 QBASIC 语言中的对应式子,正确 的有________个 的有________个.( ________
5 ①e :e^5 5

) 3 ②3 :3^3/4 4 ③lg7: ③lg7:LOG10(7)

④ 3:SQR(3) A. 1 解析: 解析:C (5); 应为 exp(5);

3|: ⑤|x-3|:ABS(x-3) B. 2 C. 3 D. 4
x
5

5 在 QBASIC 语言中幂底数为 e 时有专用符号 exp( ),如 e 表达为 exp(x).∴e

3 3^(3/4); 当幂指数为分式等代数式时,应加括号,乘方优先于乘除, 当幂指数为分式等代数式时,应加括号,乘方优先于乘除,∴3 应为 3^(3/4); 4 (3)正确 ④⑤都正确 正确; 都正确, 常用对数的指令为 LOG10( ),故(3)正确;④⑤都正确,∴选 C. 下列程序语言中表达式的值正确的是( 2、例 2.下列程序语言中表达式的值正确的是(
4 A.6*SQR(4)+3^2*2=15 4

)

B.3*(5+4)+SQR(9)^2=17 C.[5+3*(12-7)]/4=5 [5+3*(12-

6

D.(2+3)*5-4+2*3*SQR(4)^2=72 (2+3)*5解析: 解析:选 C.
2 ×2=12+18=30; A 中,6 4+3 ×2=12+18=30; 2

2

36; 3×9+ B 中,3×9+( 9) =36; [5+3(12-7)]÷4=(5+15)÷4= C 中,[5+3(12-7)]÷4=(5+15)÷4=5;
2 5×5- D 中,5×5-4+2×3×( 4) =45. 2

执行下面语句的过程中,执行循环体的次数是( 3、例 3 执行下面语句的过程中,执行循环体的次数是( i=1 Do i=i+1 i=i*i Loop While i<10 输出 i. A.2 B.0 C.3 D.1

)

分析:该程序的执行过程是:第一次执行循环体:i=1,i=i+1=2,i=i*i=4,i=4<10 成立; 分析:该程序的执行过程是:第一次执行循环体:i=1,i=i+1=2,i=i*i=4,i=4<10 成立; 第二次执行循环体:i=4,i=i+1=5,i=i*i=25,i=25<10 不成立,退出循环, 第二次执行循环体:i=4,i=i+1=5,i=i*i=25,i=25<10 不成立,退出循环, 故共执行循环体 2 次.选 A. 小结:此类题目主要考查同学们对算法语句的阅读能力, 小结:此类题目主要考查同学们对算法语句的阅读能力,只要按部就班地将程序运行下 去,问题便自然获解. 问题便自然获解. (2010·辽宁锦州 下面的程序框图,输出的结果为( 辽宁锦州) 4、例 4.(2010·辽宁锦州)下面的程序框图,输出的结果为( )

A. 1 解析: 解析:D

B. 2

C. 4
1

D.16

1 运行过程为:a=1≤3→b=2 =2,a=1+1=2, 行过程为:

成立→ a=2≤3 成立→b=22=4,a=2+1=3,

a=3≤3 成立→b=24=16,a=3+1=4, 成立→ 16,

7

不成立, 此时 a≤3 不成立,输出 b=16. 值一定是( 5、例 5.下面程序运行后输出结果是 3,则输入的 x 值一定是( INPUT x IF x>0 THEN )

y= x
ELSE

y=-x
END IF PRINT y END A. 3 解析: 解析:C B.-3 .-3 C.3 或-3 D. 0

的函数值, 该程序语句是求函数 y=|x|的函数值,∵y=3,∴x=±3. )

下列程序语句的算法功能是( 6、例 6(1)下列程序语句的算法功能是( INPUT a,b,c IF a<b THEN

a= b
END IF IF a<c THEN

a= c
END IF PRINT a END A.输出 a,b,c 三个数中的最大数 B.输出 a,b,c 三个数中的最小数 C.将 a,b,c 按从小到大排列 D.将 a,b,c 按从大到小排列 解析 A 由程序语句可知, 的大小后, 由程序语句可知,当比较 a,b 的大小后,选择较大的数赋给 a; 的大小后, 当比较 a,c 的大小后,选择较大的数赋给 a; 中最大的数. 最后打印 a,所以此程序的作用是输出 a,b,c 中最大的数. 小结: 中的最小值. 小结:将程序中 a<b,a<c 改为 a>b,a>c,则结果是输出 a,b,c 中的最小值. (三)巩固练习 巩固练习 1.写出下列程序运行的结果

8

输出结果为________. 输出结果为________. ________

输出结果为________. 输出结果为________. ________

4

解析:(1)执行第三、四句后,a=4,b=-2,执行第五句后,a=4×(-2) × 4=128,故 解析:(1)执行第三、四句后, =-2 执行第五句后, 4×(- 128, 执行第三 128; 输出 a 的值为 128; (2)执行第三句后, =-1 执行第四句后, =-1 (2)执行第三句后,c=-1,执行第四句后,b=0,故输出 a=1,b=0,c=-1; 执行第三句后
2 2 (3)第一句输入 48, (3)第一句输入 a 值 2,第二句 f=a -1=3,第三句 g=2a+3=7,第四句 f=g -1=48,第 2 2

99, 48, 五句 g=2f+3=99,最后输出 f=48,g=99. (4)第一句输入 10, 20, 30, 10, 20, 30, 20, (4)第一句输入 a=10,b=20,c=30,第二句输出 a=10,b=20,c=30,第三句 a=20, 30, 20, 20, 30, 第四句 b=30,第五句 c=20,第六句输出 a=20,b=30,c=20.
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2

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当 x = 2 时,下面的程序段结果是 ( i=1 s=0 WHILE i<=4 s=s*x+1 i=i+1 WEND PRINT s END 3 B 7
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
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)

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A

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C

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15

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D

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17

解:C

0 × 2 + 1 = 1,1× 2 + 1 = 3,3 × 2 + 1 = 7, 7 × 2 + 1 = 15

9

四、其他常见题型 (一)进位制 1.以下各数中有可能是五进制数的为( 以下各数中有可能是五进制数的为( B. C. D. A.55 B.106 C.732 D.2134 解析: 解析:D
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)

五个数字. 五进制数只需 0,1,2,3,4 五个数字.
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2

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转化为“十进制” 再把它转化为“八进制” 把“五进制”数 1234 ( 5) 转化为“十进制”数,再把它转化为“八进制”数 五进制”
3 2 1 0

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

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解: 1234 = 1× 5 + 2 × 5 + 3 × 5 + 4 × 5 = 194 (5)

8 194 余
Q

8 24 2 83 0 0 3

∴194 = 302 (8)

3、下列各数中最小的数为( 下列各数中最小的数为( A.101011(2) C.110(8)

)

B.1210(3) D.68(12)
5 3 3 2

5 3 3 2 解析: 1×2+ 1×3= 解析: A 101011(2)=1×2 +1×2 +1×2+1=43,1210(3)=1×3 +2×3 +1×3=48,110(8) 2 1×8= 6×12+ 80, =1×8 +1×8=72,68(12)=6×12+8=80,故选 A. 2

4.下列二进制数中最大的数是( 下列二进制数中最大的数是(

)

A.111(2) B.1001(2) C.110(2) D.101(2) 解析: 进制数的位置原则知,四位数一定大于三位数, B.也可以先把它化为 解析: B 据 k 进制数的位置原则知,四位数一定大于三位数,故选 B.也可以先把它化为 十进制数,再比较. 十进制数,再比较. 小结: 相同进位制数的大小可以看位数, “位值”原则比较大小, 132(4)>123(4),101(2)>11(2), 按 位值”原则比较大小, 如 小结: 相同进位制数的大小可以看位数, 但不同进位制的数之间比较大小,不适用“位值”原则,一般都是先化为十进制数再比较大小. 但不同进位制的数之间比较大小,不适用“位值”原则,一般都是先化为十进制数再比较大小. 制数再比较大小 的值是( 5.二进制数算式 1010(2)+10(2)的值是( A.1011(2) C.1101(2) B.1100(2) D.1000(2)
3 2 1 0 1 0

)

3 2 1 0 1 0 解析: 12= 解析: B 1010(2)+10(2)=(1×2 +0×2 +1×2 +0×2 )+(1×2 +0×2 )=12=1100(2),

故选 B. 小结: 可以按进位制原则,直接象通常的十进制加法一样计算. 小结: 可以按进位制原则,直接象通常的十进制加法一样计算.注意 k 进制是满 k 进 1. 的值及与此两数等值的十进制数. 6.若 10y1(2)=x02(3),求数字 x,y 的值及与此两数等值的十进制数. 分析: 由二进制及三进制可知, ∈{0,1} 0,1}, ∈{1,2}, 分析: 由二进制及三进制可知,y∈{0,1},x∈{1,2},将二进制数和三进制数都转化为十 进制数,再由两数相等及 x、y 的取值范围可得出 x、y 的值. 进制数, 的值. 解析: 解析: ∵10y1(2)=x02(3),
3 2 2 ×2+ 0×3+ ∴1×2 +0×2 +y×2+1=x×3 +0×3+2, 3 2 2

10

将上式整理得 9x-2y=7, 由进位制的性质知, 由进位制的性质知, ∈{1,2}, ∈{0,1}, x∈{1,2},y∈{0,1}, 7 当 y= 0 时 , x= (舍 ), 9 当 y=1 时,x=1. ∴x=y=1,已知数为 102(3)=1011(2), 与它们相等的十进制数为
2

0×3+ 1×3 +0×3+2=11. (二).秦九韶算法 1、若用秦九韶算法求多项式 f(x)=4x5-x2+2 当 x=3 时的值,则需要做乘法运算和加减法 若用秦九韶算法求多项式 时的值, 运算的次数分别为( 运算的次数分别为( A.4,2 ) B.5,3
5 2 5 2

C.5,2

D.6,2

解析: 解析:选 C.f(x)=4x -x +2=((((4x)x)x-1)x)x+2,所以需要做 5 次乘法运算和 2 次加 减运算. 减运算.
6 5 2 的值时,先算的是( 2.用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x +6x +3x +2 当 x=4 的值时,先算的是( 6 5 2

)

A.4×4=16 4×4=

B.7×4=28 7×4=
n

C.4×4×4=64 4×4×4=
n- 1

D.7×4+6=34 7×4+

解析: D.因 解析:选 D.因为 f(x)=anx +an-1x

+…+a1x+a0=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+

的值时, 7×4+ a0,所以用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x6+6x5+3x2+2 当 x=4 的值时,先算的是 7×4+6=34.
7 6 5 4 3 2 3、用秦九韶算法求多项式 f ( x) = 7 x + 6 x + 5 x + 4 x + 3 x + 2 x + x 当 x = 3 时的值
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解: f ( x ) = ((((((7 x + 6) + 5) x + 4) x + 3) x + 2) x + 1) x

V0 = 7, V1 = 7 × 3 + 6 = 27, V2 = 27 × 3 + 5 = 86, V3 = 86 × 3 + 4 = 262, V4 = 262 × 3 + 6 = 789, V5 = 789 × 3 + 2 = 2369, V6 = 2369 × 3 + 1 = 7108, V7 = 7108 × 3 + 0 = 21324, ∴ f (3) = 21324
2 3 4 5 6 12+ 的值, =-4 4.用秦九韶算法求多项式 f(x)=12+35x-8x +79x +6x +5x +3x 的值,当 x=-4 时, 2 3 4 5 6

的值为( v4 的值为( A.-57 .-57

) B.124 C.-845 .-845 D.220

解析: 3×(-4)+ =-7 解析: D 依据秦九韶算法有 v0=a6=3,v1=v0x+a5=3×(-4)+5=-7,v2=v1x+a4= 34, 34×(-4)+79=-57, =-57 =-57×( 4)+ 57×(- 8)= -7×(-4)+6=34,v3=v2x+a3=34×(-4)+79=-57,v4=v3x+a2=-57×(-4)+(-8)= 7×(-4)+ 220. (三)辗转相除法

11

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1

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的最大公约数是( 用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是( 辗转相除法”
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A

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3

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B

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9

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特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

C

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17

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D

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51

解: D

459 = 357 × 1 + 102, 357 = 102 × 3 + 51,102 = 51× 2

51 是 102 和 51 的最大公约数,也就是 459 和 357 的最大公约数 的最大公约数,
的最大公约数时,需要做减法的次数是( 2.用更相减损术,求 105 与 30 的最大公约数时,需要做减法的次数是( 用更相减损术, A. 2 解析: 解析:C B. 3 C. 4 D. 5 )

105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15= 105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.

在用辗转相除法求两个正整数 a, (a>b)的最大公约数时, 的最大公约数时, 3. 得到表达式 a=nb+r, n∈N), ( ∈N), b 的取值范围是________ ________. 这里 r 的取值范围是________. 解: 0≤r<b

12


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