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2017届高考数学一轮复习 选考部分 第十二篇 几何证明选讲 第1节 全等与相似应用能力提升 文


第十二篇

几何证明选讲(选修 4-1)

第 1 节 全等与相似

【选题明细表】 知识点、方法 平行线截割定理及应用 相似三角形的判定与性质 直角三角形的射影定理 题号 4 1,3 2

1. 如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 交于点 F,DE= CD.

(1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 的面积. (1)证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以∠A=∠C,AB∥CD. 所以∠ABF=∠CEB. 所以△ABF∽△CEB. (2)解:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD∥BC,AB∥CD. 所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 因为 DE= CD,

所以

=

= ,

=

= .

因为 S△DEF=2, 所以 S△CEB=18,S△ABF=8. 所以 S 四边形 BCDF=S△CEB-S△DEF=16. 所以 S 平行四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24. 2. 已知 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D,DF⊥AC,垂足为 F,DE⊥AB,垂足为 E.

1

求证:(1)AB·AC=AD·BC; 3 (2)AD =BC·BE·CF. 证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC, 所以∠BAC=∠ADB, 又因为∠B=∠B, 所以△ABD∽△CBA, 所以 = , 即 AB·AC=AD·BC. 2 (2)由题 AD =BD·DC, 4 2 2 所以 AD =BD ·DC =BE·BA·CF·CA =BE·CF·AD·BC, 3 所以 AD =BC·BE·CF. 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,连接 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE= ∠C.

(1)求证:△ABF∽△EAD; (2)若∠BAE=30°,AD=3,求 BF 的长. (1)证明:因为 AB∥CD, 所以∠BAF=∠AED. 又因为∠BFE=∠C, ∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA, 所以∠BFA=∠ADE. 所以△ABF∽△EAD. (2)解:因为∠BAE=30°, 所以∠AEB=60°, 所以 =sin 60°= ,

又 = ,

所以 BF= ·AD=

.

4. 如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF∥AD.

2

(1)求证:OE=OF; (2)求: + 的值;

(3)求证: + = . (1)证明:因为 EF∥AD,AD∥BC, 所以 EF∥AD∥BC. 因为 EF∥BC, 所以 = , = .

因为 EF∥AD∥BC, 所以 = .

所以 =

,

所以 OE=OF. (2)解:因为 OE∥AD, 所以 = .

由(1)知 = ,

所以 +

= + =

=1.

(3)证明:由(2)知 +

=1,

所以

+

=2.又 EF=2OE,所以 + =2,

所以 + = .

3



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