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1.1.2四种命题与命题间的关系


第一章 常用逻辑用语

1.1.2-3 四种命题 四种命题间的关系
知源中学高二数学备课组

复习回顾

1.命题的定义是什么? 定义:用语言、符号或式子表达的,可 以判断真假的陈述句叫做命题. 2.一般用什么形式表示? 形式:一般用“若p,则q”表示,其中 p是命题的条件,q是命题的结论.

知识探究(一) 四种命题
1. 2. 3. 4. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

思考1:四个命题中,命题(1)与命题(2)的条件和结 论之间分别有什么关系?

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件,则称这两个命 题叫做互逆命题.

原命题:若p,则q; 逆命题:若q,则p;

知识探究(一) 四种命题
1. 2. 3. 4. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

思考2:四个命题中,命题(1)与命题(3)的条件和结 论之间分别有什么关系?

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 则称这两个命题叫做互否命题.

原命题:若p,则q; 否命题:若﹁p,则﹁q;

知识探究(一) 四种命题
1. 2. 3. 4. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

思考3:四个命题中,命题(1)与命题(4)的条件和结 论之间分别有什么关系?

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论的否定和条件否定,则 称这两个命题叫做逆否命题.

原命题:若p,则q; 逆否命题:若﹁q,则﹁p.

例题解析

例1 写出下列命题的逆命题,否命题 和逆否命题. (1)平行四边形的对边相等; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)同位角相等,两直线平行; (4)若a>b,c>d,则a+c>b+d.

知识探究(二) 四种命题间的关系
1. 2. 3. 4. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

思考4:四个命题中,命题(2)与命题(3)有什么关系?

互为逆否命题
思考5:四个命题中,命题(2)与命题(4)有什么关系?

互否命题
思考6:四个命题中,命题(3)与命题(4)有什么关系?

互逆命题

知识探究(二) 四种命题间的关系 一般地,怎样理解原命题、逆命题、否 命题和逆否命题之间的相互关系?

知识探究(二) 四种命题间的关系
判断下列命题是真命题还是假命题:
1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题:若ab=0, 则a=0。 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (真 )

知识探究(二) 四种命题间的关系

四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假

逆命题
真 假 真 假

否命题
真 假 真 假

逆否命题
真 真 假 假

知识探究(二) 四种命题间的关系 由以上几例及总结我们能发现什么?

(1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。 (3)两个命题为互逆命题或互否命题,它们 的真假性没有关系.

知识探究(二) 四种命题间的关系

总结

在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.

例题解析

例 2 证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2+q2=2,则p+q≤2”看成原命 题。由于原命题和它的逆否命题具有相同 的真假性,要证原命题为真命题,可以证 明它的逆否命题为真命题。 2 2 即证明 为真命题 “若p ? q ? 2, 则p ? q ? 2.”

练习:P8练习题

课时小结 1.命题有真假之分,逆命题,否命题,逆否命 题具有相互性,任何一个命题都有逆命题,否命 题和逆否命题. 2.四种命题中任意两种命题的关系都具有相互 性,其中有两组互逆命题,两组互否命题,两组 互为逆否命题. 3.原命题与逆否命题同真同假,即原命题与逆 否命题等价,这是反证法的理论依据.

课后作业

? P9:习题1.1 A组第2、3、4题 ? 课时作业本


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