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2013北京海淀区高三数学(文)一模试题及答案


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海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科) 2013.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
2 1. 集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x ? N | x ? 3x ? 0} ,则 A ? B ?

A. {1,2}

B. {3,4,5}

C. {4,5,6} D. {3,4,5,6}

2.等差数列 {an } 中, a2 ? 3, a3 ? a4 ? 9, 则 a1a 6 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.27

开始

输入 x

3. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为 A.

x ? x?2

1 2

B.

1

C.

2

D. ?1

x?0




y ? 2x
输出 y

4. 已知 a ? 0 ,下列函数中,在区间 (0, a ) 上一定是减函数的是 A. f ( x ) ? ax ? b
x C. f ( x ) ? a 2 B. f ( x) ? x ? 2ax ? 1

结束

D. f ( x ) ? log a x

? x ? 1, ? 5. 不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为 ?kx ? y ? 0 ?
A. 0 B. 1 C. 2 D.3

6. 命题 p : ? ? ? R , sin(π ? ? ) ? cos ? ; 命题 q : ?m ? 0, 双曲线 则下面结论正确的是 A. p 是假命题 B. ?q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题 7.已知曲线 f ( x ) ? ln x 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点 (0, ?1) ,则 x0 的值为 A.

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2 . m2 m2

1 e

B. 1

C. e

D. 10

2 8. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当

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?FPM 为等边三角形时,其面积为
A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 在复平面上,若复数 1+bi ( b ? R )对应的点恰好在实轴上,则 b =_______. 10.若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为______.
2

11.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______. 12.在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, cos A ?
x

4 2 2 侧视图 4 俯视图

1 ,则 c ? ______. 4

4 主视图 2

?2 ? a, x ? 0, ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 有三个不同的零点,则实数 a 的取 ? x ? ax ? a, x ? 0 ?
值范围是_____. 14.已知函数 y ? f ( x ) ,任取 t ? R ,定义集合:

At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P (t , f (t )) ,Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} . 设 M t , mt 分别表示集合
At
中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt .则 (1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h (1) =______; (2)若函数 f ( x) ? sin x ,则 h ( t ) 的最小正周期为______.

π 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 .

π (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; 3 π π (Ⅱ)求函数在区间 [ ? , ] 上的最大值和最小值. 6 3

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16. (本小题满分 13 分) 在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和 “阅读与表达”两个科目的考试, 成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成 绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学 与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级

等级

17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点, ?CAD ? 30? ,PA ? AB ? 4 , 又
P

PN 1 ? . NB 3 (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD = l ,试问直线 l 是否与直线 CD 平行, 请说明理由.
点 N 在线段 PB 上,且
B

N

A D M C

18. (本小题满分 13 分)

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函数 f ( x) ?

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 的圆心,离心率为

x2 y2 7 ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M a b 3

2 . 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , ,且 AG ? BH ,求 k 的值. H 两点(其中点 G 在线段 AB 上)

20. (本小题满分 13 分) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 , 其 中 x A , y A , xB , yB ? Z . 令

?x ? xB ? x A , ?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关
点”,记作: B ? ? ( A) . (Ⅰ)请问:点 (0,0) 的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆 的方程;若不在,说明理由; (Ⅱ)已知点 H (9,3), L(5,3) ,若点 M 满足 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) ,求点 M 的坐标; ( Ⅲ ) 已 知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 ? Z, y0 ? Z) 为 一 个 定 点 , 点 列 {Pi } 满 足 : Pi ? ? ( Pi ?1 ) , 其 中

i ? 1, 2 , 3, . . . , n ,求 P0 Pn 的最小值.

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文)

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参考答案及评分标准 2013.4
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 0 12. 4

10. ?

1 2

11. 16 14. 2,

13. a ? 4

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( ) ? 2 ? ( 3 ?

π 3

3 1 2 ? ) ? 1 ??????2 分 2 2

因为 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2

? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x) ??
????4 分

? 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x ??????6 分
π = 2sin(2 x ? ) ??????8 分所以 f ( x ) 的周期为 6

T?

2π 2π ? ? π ??????9 分 |? | 2
π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [? , ] 6 3 3 3 6 6 6

(II)当 x ? [ ? 所以当 x ? ?

?
6

时,函数取得最小值 f ( ?

?

6

) ? ?1 ??????11 分当 x ?

?
6

时,函数取

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得最大值 f ( ) ? 2 ??????13 分

?

6

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人??????2 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ??????4 分
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
??????8 分(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩 等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A??????9 分 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级 为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,一共有 6 个基本
事件 ??????11 分 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含 的基本事件有 1 个,则 P ( B ) ?

1 . ??????13 分 6

17.解: (I)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ??????1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD ??????2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ??????4 分 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC ??????5 分 (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 ??????6 分 在 ?ACD ,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CAD ? 30? ,所以, DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1 ??????8 分 3

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD ??????9 分 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所 以 MN / / 平面 PDC ??????11 分

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(Ⅲ)假设直线 l / / CD ,因为 l ? 平面 PAB , CD ? 平面 PAB , 所以 CD / / 平面 PAB ??????12 分 又 CD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,所以 CD / / AB ?????13 分 这与 CD 与 AB 不平行,矛盾 所以直线 l 与直线 CD 不平行??????14 分

18.解: (I)因为 f '( x) ? x 2 ? k ??????2 分 当 k ? 4 时, f '( x) ? x 2 ? 4 ,令 f '( x) ? x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? 2, x2 ? ?2

f '( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)
??????4 分

( ??, ?2)

?2
0 极大值

( ?2, 2)

2
0 极小值

(2, ??)

?
?

?
?

?
?

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ?? ) 单调递减区间是 ( ?2, 2) ??????6 分 (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点??????7 分 因为 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k 当 k ? 0 时, g ( x) ? x3 ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0 当 k ? 0 时, g '( x) ? x 2 ? k ? 0 对 x ? R 成立, 所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点??????9 分 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k ? 0 ,解得 x1 ? k 或 x2 ? ? k ?????10 分 所以 g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表: ??????8 分

x
g '( x)

(??, ? k )

? k
0

(? k , k )
?

k
0

( k , ??)

?

?

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g ( x)

?

极大值

?

极小值

?

g ( x ) 有且仅有一个零点等价于 g (? k ) ? 0 ??????11 分
即 g (? k ) ? 围是 k ?

2 9 k k ? k ? 0 ,解得 0 ? k ? ??????12 分 综上所述, k 的取值范 4 3

9 ??????13 分 4

19.解:(I)设椭圆的焦距为 2c , 因为 a ? 所以 b ? 1 所以椭圆 C :

2,

c 2 ,所以 c ? 1 ??????2 分 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 ??????4 分 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) , 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ? 所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 2 ? 0 , 所以 AB ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 ??????6 分 1 ? 2k 2

(1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ??????8 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k2
??????10 分

点 M ( 2,0 )到直线 l 的距离 d ?

则 GH ? 2

7 2k 2 ??????11 分 ? 3 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 因为 AG ? BH ,所以 AB ? GH ??????12 分
H

所以

8(1 ? k ) 7 2k ? 4( ? ) 2 1 ? 2k 3 1? k2
2 2

B G A

解得 k 2 ? 1 ,即 k ? ?1 ??????14 分 20.解: (I)因为 ?x + ?y =3(?x, ?y 为非零整数)

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故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 (0, 0) 的“相关点”有 8 个??????1 分 又因为 (?x)2 ? (?y )2 ? 5 ,即 ( x1 ? 0)2 ? ( y1 ? 0)2 ? 5 所以这些可能值对应的点在以 (0, 0) 为圆心, 5 为半径的圆上??????3 分 (II)设 M (xM ,yM ) ,因为 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) 所以有 | xM ? 9 | ? | yM ? 3|? 3 , | xM ? 5 | ? | yM ? 3|? 3 ??????5 分 所以 | xM ? 9 |?| xM ? 5 | ,所以 xM ? 7, yM ? 2 或 yM ? 4 所以 M (7,2) 或 M (7,4) ??????7 分 (III)当 n ? 2k , k ? N 时, | P P | 的最小值为 0??????8 分 0 n
*

当 n =1 时,可知 | P P | 的最小值为 5 ??????9 分 0 n 当 n =3 时,对于点 P ,按照下面的方法选择“相关点” ,可得 P (x0 ,y0 +1) : 3

P0 (x0 ,y0 ) ? P (x0 +2,y0 +1) ? P2 (x0 +1,y0 +3) ? P (x0 ,y0 +1) 1 3
故 | P P | 的最小值为 1 ??????11 分 0 n 当 n ? 2k ? 3, k ? 1, k ? N , 时,对于点 P ,经过 2k 次变换回到初始点 P (x0 ,y0 ) ,然后经 0
*

过 3 次变换回到 P (x0 ,y0 +1) ,故 | P P | 的最小值为 1 n 0 n 综上,当 n =1 时, | P P | 的最小值为 5 0 n 当 n ? 2k , k ? N 时, | P P | 的最小值为 0 0 n
*

当 n ? 2k ? 1, k ? N 时, | P P | 的最小值为 1 0 n
*

??????13 分

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