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高中数学PPT课件


姜禄敏

学与教的目标

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度, 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件

重点和难点 教学重点:平面向量数量积的定义 教学难点:平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。

问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算?

F θ
s

W ?| F || s |cos?

? 是F 与s 的夹角,而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量,
数量

F s cos? 叫做力F 与位移s的数量积

向量的夹角

则 ?AOB ? ?

? ? ??? ? ? ??? ? ? 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b, ?

(0? ? ? ? 180? )
B

叫做向量

和 a

? b的夹角.

b
O

? b
?

a

? a

A

注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B ? b ? ? a O ? A ? 90 ? ?? a 与 b 垂直,

? O b B

? a

? ? a 与 b 同向

? ? 0?

? O A B b ? ? 180?

? a
A

? ? a 与 b 反向

? ? 记作 a ? b

例1、如图,等边三角形中,求
'

C

(1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C

120
A

?

通过平移 变成共起点!

60

?

B

5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即

a ? b ?| a || b | cos?
规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 a ? 0 ?0. (1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由 夹角决定 (2)一种新的运算法则,以前所学的运算律、性质不适合. (3) a ·b不能写成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算.

5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1.已知向量a与b的夹角为 ? ,|a |=2,|b |=3,,求a · b.

(1)? ? 1350

(2)a ∥b

?3?a ? b
a· b =|a | |b |cosθ

平面向量的数量积
讨论总结性质:

(1)e · a=a · e=| a | cos?
(2)a⊥b ? a · b=0 (判断两向量垂直的依据) (3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向 时, a · b =-| a | · |b| .
2 a ? a ? | a | 或 | a |? a ? a 特别地

a?b (4)cos? ? | a || b |
(5)a · b ≤| a | · |b|

练习:
1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. 2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c
2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | 8. 0 ? a ? 0a ×

√ × × × × √

6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立. ×

例2、如图,等边三角形中,求 (1)AB与AC的数量积; (2)AB与BC的数量积; (3) 的数量积.

AC与BC

C

A

B

平面向量的数量积及运算律
? ? ?

1.a ·b= b ·a 交换律 2. (λ· a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b 3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律

思考: 结合律成立吗:

(a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?

物理上力所做的功实际上是将力正交分解,只有在位移方

向上的力做功.
作OA ? a, OB ? b ,过点B作 BB1 垂直于直线OA,垂足为 B1,则 OB1 ? | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. B B B

F θ
s

b

b

b

?
O a

?
B1
A

B1

O

a A

? O( B1 ) a

A

θ为锐角时, | b | cosθ>0

θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为直角时, | b | cosθ=0

平面向量的数量积及运算律
b =|a | |b |cosθ 讨论总结性质: a ·

(0? ? ? ? 180? )

(1)e · a=a · e=| a | cos?
(2)a⊥b ? a · b=0 (判断两向量垂直的依据) (3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向 时, a · b =—| a | · |b| .
2 a ? a ? | a | 或 | a |? a ? a 特别地

a?b (4)cos? ? | a || b |
(5)a · b ≤| a | · |b|

运算律


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