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第4单元第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式精品课件


1.理解同角三角函数的基本关系式: sinx sin x ? cos x ? 1, ? tan x. cosx 2.能利用单位圆中的三角函数线推
2 2

导正弦、余弦、正切的诱导公式. 3.能灵活应用同角公式、诱导公式进 行简单三角函数的化简、求值与证明.

1 1.若 sin ? ? ,则(1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) ? ?   3 1 A. 3 1 B. 9 2 2 C. 9 8 D. 9

?

解析: (1+cos? )(1 ? cos? ) 1 2 2 =1 ? cos ? =sin ? = , 9 故选B.

  2009 ? 全国卷) sin585?的值为? 2.( 2 A. ? 2 2 B. 2 3 C. ? 2

?
3 D. 2

解析: 因为sin 585? ? sin(360? ? 225?) ? sin 225? 2 ? sin(180? ? 45?) ? ? sin 45? ? ? ,故选A. 2

5 3.(2010 ? 天津模拟)若 cos(2? ? ? ) ? , 3 且? ? (? ,,则 sin(? ? ? ) ? ? 0) 2 5 2 1 A. ? B. C. ? 3 3 3

?

?
2 D. 3

5 5 解析: 因为cos(2? ? ? ) ? ,所以 cos ? ? . 3 3 ? 2 2 又因为? ? (? ,,所以sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? , 0) 2 3 2 所以sin(? ? ? ) ? sin ? ? ? ,故选 B . 3

易错点: 函数名称与符号不注意, 诱导公式用错.

4 4.若 sin ? ? ? , ? ? 0,则 cos? ? tan 5 4 解析: 因为sin ? ? ? ? 0, ? ? 0, tan 5 所以? 是第三象限角,

  .

4 2 3 所以 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ?? ? ? ? . 5 5
2

易错点: 没有注意到? 所在的象限, 错以为两解.

1 1 5.?1 ? cos x ? ( ? )? sinx tanx
1 cosx 解析: 原式 ? ?1 ? cos x ? ( ? ) sinx sinx 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ? ? sin x,故填 sin x. sinx sinx

.

1.同角三角函数关系式: 1? 平方关系: 2 ? ? cos 2 ? ? ① __________. sin ? tan ? 2 ? 商数关系: ? ? ② __________. 2.三角函数的诱导公式 (巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限) 注意:记忆公式中始终假视为锐角

公式一:
? 正弦 2k?+? sin? -? ④_____ ?-? sin? ?+? -sin? 2?-? -sin?

余弦 正切

③____ tan?

cos?
-tan?

-cos? ⑤_____

-cos? tan?

⑥____ -tan?

公式二:
? 正弦 余弦 -? ⑦_____ sin? +? cos? ⑧_____ ?-? ⑨_____ -sin? ?+? -cos? ⑩_____

【要点指南】 sin? ①1;② ;③ cos ?;④ ? sin ?; cos? ⑤ ? tan ?;⑥ cos ?;⑦ cos ?; ⑧ ? sin ?;⑨ ? cos ?;⑩ sin ?

题型一 利用诱导公式化简求值

8 ? 例1.已知 cos ? ? ? ,且 ? ? ? ? , 17 2 3? sin? 2? ? ? ?cos?? ?? ? 2 求 的值. ? tan??? ? ? ?cos??? ?sin?? ? ? ? 2

8 分析: 从 cos ? ? ? 中可推知sin ?, ?的值, tan 17 再用诱导公式即可求值.
8 ? 解析: 因为cos ? ? ? ,且 ? ? ? ? , 17 2 15 15 所以sin ? ? , ? ? ? , tan 17 8 sin? ??? sin? ? 15 所以原式 ? ? ? tan ? ? . ??tan? ? ? cos? ???cos? ? 8

评析: ?1? 应用诱导公式进行三角函数的化简,重 点是“函数名称”与“正负号”的正确判断,一般常用 “奇变偶不变,符号看象限”的口诀,解题思路是 “化负角为正角,化复杂角为简单角,化非锐角 为锐角”,即“去负 ? 脱周 ? 化锐”三步.

? 2 ? 掌握常用的勾股数“3, 4,5”,“5,12,13”,
“7, 24, 25”,“8,15,17”,“9, 40, 41”, 快速给值求值.

sin?? ? ? ?cos? 2? ? ? ?tan??? ? ? ? 素材1:已知f (? ) ? . ?tan??? ? ? ?sin??? ? ? ?

?1? 化简f (? );

? 2 ? 若a是第三象限角,

3? 1 且 cos(? ? ) ? ,求f (? )的值. 2 5

sin? ? cos? ???tan? ? 解析: ?1? f (? ) ? ? ? cos ? . tan? sin? 3? 1 ? 2 ?因为cos(? ? ) ? ? sin ?,所以sin ? ? ? , 2 5 5 ?1 2 6 2 6 cos ? ? ? ?? ,所以f (? ) ? . 5 5 5
2 2

题型二

利用同角三角函数的基本关系式进行弦切转化

例2.已知 tan ? ? 2,求下列各式的值: 2sin? ? 3cos? ?1?; 4sin? ? 9cos? 2 2 ? 2 ? 4sin ? ? 3sin ? cos? ? 5cos ? .

分析: 由于注意本题 ?1? 为已知切求弦的代数 式值的问题,联想商数关系与分式性质即可 化弦为切; ? 式的结构是 sin ? 与 cos ?的二次 ?2 齐次式,可先采用除以1的方式转化为分式结 构,再将“1”用“sin 2 ? ? cos 2 ?”代替,从而转 化为问题 ?1?的形式.

2tan? ? 3 2 ? 2 ? 3 解析: ?1? 原式 ? ? ? ?1. 4tan? ? 9 4 ? 2 ? 9 ? 2 ?因为sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, 所以4sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos 2 ? 4sin 2? ? 3sin? cos? ? 5cos 2? ? sin 2? ? cos 2? 4tan 2? ? 3tan? ? 5 4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? 1. 2 tan ? ? 1 4 ?1

评析:此类问题主要是根据式子特征,利用 切弦转化的思想,常见思路有单一求值、整 体代入与建立题设与结论关系求值. .

3? 3? 10 素材2.已知 ? ? ? ?, ? ? tan ?? . 4 4 3 ?1? 求 tan ?的值;

? 2? 求

5sin

2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos

2

?
2

?8 的值.

2sin?? ? ? 4

?

1 10 解析: ?1?因为 tan ? ? ?? , tan? 3 所以3tan 2 ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0, 1 3? 解得 tan ? ? ? 或 tan ? ? ?3.因为 ? ? ? ? , 3 4 所以 ? 1 ? tan ? ? 0,所以 1 tan ? ? ? . 3

1 解析: ? 2 ?因为 tan ? ? ? ,所以 3 5sin
2

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos

2

?
2

?8

1 ? cos? 5? sin ? cos ? ? 4sin? ? 6 ? ?8 2 2 2 ? sin? ? cos? 4tan? ? 3 5 ? ?? . tan? ? 1 4
2 2

?

2sin? ?? ? ? 4

?

?

题型三

同角三角函数关系式的灵活运用

例3.已知sin(? ? ? ), ? 是方程3 x 2 ? 2 x ? m ? 0的 cos 两个根,且

?
2

?? ? ?.

?1? 求m与sin ? ? cos?的值; 2 ? 2 ? 若f (tan ? ) ? 3sin ? ? 2sin ? cos ? ? 3,
求f (cos? ? sin ? )的值.

分析: ?1?由根与系数的关系得 sin ? ? cos?, ? ? cos?的值,再根据 sin “sin ? ? cos?, ? ? cos?, ? ? cos? 中 sin sin “知一求二,知二求参”,配上公式正确求值.

? 2 ? 先求出f ? x ?的表达式,再代值求值.

解析:?1? 依题意 ? 2 ? 2 ?sin(? ? ? ) ? cos? ? ?sin ? ? cos? ? ? 3 即? 3 ? ? ?sin(? ? ? ) ? cos? ? m ?sin ? ? cos ? ? m ? ? 3 3 ? ?
2

① ②

2 2 m 7 由① ? 2 ? ② ? 1,得( ) ? 2 ? ? 1,解得m ? ? . 3 3 6 又因为

?

2 所以sin ? ? cos? ? ? sin? ? cos? ?2 ? 4sin? cos? ? ? 2 2 7 4 ? ? 4 ? ?? ? ? . 3 18 3

? ? ? ? , ? ? 0, ? ? 0, ? ? cos ? ? 0, sin cos sin

解析: ? 2 ?因为f (tan ? ) ? 3sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 3 3sin 2? ? 2sin? cos? 3tan 2? ? 2tan? ? ?3? ? 3. 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 4 所以f (cos? ? sin ? ) ? f (? ) 3 16 4 3 ? ? 2 ??? ? 9 3 ?3 ? ? 3 . ? 16 25 ?1 9

评析:?1? 在“sin ? ? cos?, ? ? cos?, ? ? cos? ” sin sin 中“知一求二”,宜用整体思想,利用平方转换, 常用结论为: (sin ? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2sin ? cos ?, (sin ? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2; (sin ? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? cos? ) 2 ? 4sin ? cos ? . asin? ? bcos? 通过分子分母同除以 cos ?, ? 2 ? 型如 csin? ? dcos? 弦化切、异名化同名;a sin 2 ? ? b sin ? cos ? ? c cos 2 a 通过添分母(sin 2 ? ? cos 2 ? ),再分子、分母同除以 cos 2 ?,化弦为切、统一函数名.

1 素材3.已知 ? ? x ? 0, x ? cos x ? . sin 2 5 ?1? 求 sin x ? cos x的值; x x x 2 x 3sin ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 的值. 2? 求 ? sinx cosx ? cosx sinx
2

?

1 解析: 方法1: ?由sin x ? cos x ? , ?1 5 1 两边平方得 sin x ? 2sin x cos x ? cos x ? , 25 24 得2sin x cos x ? ? , 25 49 2 所以 ? sin x ? cos x ? ? 1 ? 2sin x cos x ? , 25
2 2

又因为 ?

?
2

? x ? 0,所以 sin x ? 0, x ? 0, cos

7 sin x ? cos x ? 0,故 sin x ? cos x ? ? . 5

x 2sin ? sinx ? 1 2 解析: 方法1: ? 原式 ? ?2 sinx cosx ? cosx sinx ? sin x cos x ? 2 ? cos x ? sin x ?
2

12 1 108 ? (? ) ? (2 ? ) ? ? . 25 5 125

1 ? ?sin x ? cos x ? 解析: 方法2: ? 联立方程组 ? ?1 5 ?sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 1 由①得 sin x ? ? cos x,将其代入②,整理得 5 3 4 2 25cos x ? 5cos x ? 12 ? 0,所以 cos x ? ? 或 cos x ? . 5 5 3 ? ? sinx ? ? 5 ? 7 ? 因为 ? ? x ? 0,所以 ? ,故 sin x ? cos x ? ? . 2 5 ?cosx ? 4 ? 5 ?

x 2sin ? sinx ? 1 2 解析: 方法1: ? 原式 ? ?2 sinx cosx ? cosx sinx ? sin x cos x ? 2 ? cos x ? sin x ?
2

3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? . 5 5 5 5 125

1 备选例题 已知 cos( ? ? ) ? cos(? ? ? ). 2 3 ?1? 求 tan ?的值; sin?? ? 5? ? tan?? ? 3? ? cos ?? ? 15? ? ? ? 的值. ? 2? 求 tan?3? ? ? ? sin? 7? ? ? ? sin? 4? ? ? ? 2
3

?

1 解析: ?1?由已知得: ? ? ? cos ?, sin 3 1 所以 tan ? ? ? . 3 ?? sin? ? tan? ??cos 3? ? ? ? ? 2 ? 原式 ? ??tan? ? ??cos? ? ?? sin? ? cos 2? 1 2 ? ? cos a ? ? 2 ?? 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 9 ?? ?? . 1 2 10 ?? ? ? 1 3

1.在求值与化简时,常用的方法有:①弦切互化, sinx 主要公式为 tan x ? , x ? tan x ? os x; sin cosx ②和积互化,利用(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x 的关系进行变形、转化; ③巧用“1”的变换:? sin 2 x ? cos 2 x. 1 2.在求值、化简时,要细心观察三角函数式的 特征,灵活、恰当地选用公式.思路一: 切化弦,思路二:化为同名函数. 3.运用诱导公式的关键在于函数名称与符号 的正确判断和使用.

1 5? ? 若 | cos? |? , ? ? ? 3? ,则sin 的值为(     ) 5 2 2 10 A. ? 5 10 B. ? 5 15 C. ? 5 15 D. ? 5

1 5? 1 错解: 因为 | cos? |? , ? ? ? 3? ,所以cos? ? ? , 5 2 5 ? 1 ? cos? 15 所以sin ? ? ?? ,故选D. 2 2 5

错解分析: 已知角?的范围,可以推知 cos?的符号, 还应该求出 的范围,推知sin 的符号. 2 2

?

?

1 5? 正解: 因为 | cos? |? , ? ? ? 3? , 5 2 1 5? ? 3? ? 所以 cos? ? ? , ? ? ,所以sin ? 0, 5 4 2 2 2 ? 1 ? cos? 15 所以sin ? ? ?? ,故选C. 2 2 5


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