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【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.5.1等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5


第二章 数列

§2.5

等比数列的前n项和

第一课时

等比数列的前n项和

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

自学导引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程. 2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.

课前热身 等比数列前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn= ____________=____________.当q=1时,Sn=__________.

自 我 a1?1-qn? a1-anq na1 1 - q 1 - q 校 对

名师讲解 1.前n项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量Sn,n,a1,q,an中,由前n项和 公式结合通项公式,知道三个量便可求其余的两个量,同时还 可利用前n项和公式解与之有关的实际问题. (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 应用,同时要注意在使用等比数列前n项和公式时,务必考虑 公比q是否等于1,从而选择恰当的公式求解,特别是公比是字 母时,要讨论.

a1?1-qn? a1 a1 n (3)当q≠1时,Sn= = - q =a-aqn(其中a 1-q 1-q 1-q a1 = ).由此可知,若数列{an}的前n项和Sn=a(1-qn),且 1-q a≠0,a≠1,则数列{an}是等比数列.

2.错位相减法 (1)课本上推导等比数列前n项和的方法,即错位相减法, 解决的主要求和问题是:由等差数列与等比数列的对应项乘积 构成的新数列求和问题,解此类问题仍需注意公比q是否为1. (2)有些数列求和可先用分组、拆项等方法,转化成每组均 可用公式或错位相减法求和的形式求解.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典 例 剖 析

基本运算

【例1】

7 63 (1)在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求an;

(2)若q=2,S4=1,求S8. 【分析】 (1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和,求

通项an,可利用等比数列前n项和公式,列方程组求解.(2)利 用前n项和求解.

【解】

(1)由已知S6≠2S3,则q≠1.

7 63 又S3=2,S6= 2 ,
3 a ? 1 - q ? 7 ? ? 1 =2, 1 - q ? ∴? 6 a ? 1 - q ? 63 ? 1 = , ? 2 1 - q ?

① ②

②÷ ①得1+q3=9,∴q=2. 1 将q=2代入①,可得a1=2, ∴an=a1qn 1=2n 2.
- -

(2)解法1:设首项为a1,∵q=2,S4=1, 1 8 ? 1 - 2 ? 4 8 a1?1-2 ? a1?1-q ? 15 1 ∴ =1,得a1=15.∴S8= = =17. 1-2 1-q 1-2 a1?1-q4? 解法2:设首项为a1,∵S4= =1,且q=2. 1-q a1?1-q8? a1?1-q4? ∴S8= = · (1+q4)=S4(1+q4)=1×(1+24) 1-q 1-q =17.

规律技巧

在等比数列{an}的五个基本量a1,q,an,n,Sn

中,a1与q是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时, 均可以列方程组求解.



错位相减法求数列的和

2 2an 【例2】 已知数列{an}的首项a1= 3 ,an+1= ,n= an+1 1,2,?. 1 (1)证明:数列{a -1}是等比数列;
n

n (2)求数列{a }的前n项和Sn. n

【分析】

(1)可如下变形

2an 1 1 1 1 an+1= ? = ·+ ; an+1 an+1 2 an 2 (2)用错位相减法求数列的前n项和.

【解】 ∴ an+1 1 1

2an (1)∵an+1= , an+1

an+1 1 1 1 = 2a =2+2· a.
n n

1 1 ∴ -1=2(a -1). an+1 n 2 1 1 又a1= ,∴ -1= , 3 a1 2 1 1 1 ∴数列{a -1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
n

1 1 1 1 (2)由(1)知a -1=2·n-1=2n, 2 n 1 1 n n 即a =2n+1,∴a =2n+n. n n 1 2 3 n 设Tn= + 2+ 3+?+ n,① 2 2 2 2 n-1 1 1 2 n 则2Tn=22+23+?+ 2n + n+1,② 2 ①-②得 1 1 1 1 n 2Tn=2+22+?+2n-2n+1

1? 1? ?1- n? 2? 2? n 1 n = 1 -2n+1=1-2n-2n+1, 1- 2 1 n ∴Tn=2- n-1- n. 2 2 n?n+1? 又1+2+3+?+n= , 2 n ∴数列{a }的前n项和 n 2+n n?n+1? n2+n+4 n+2 Sn=2- 2n + 2 = - 2n . 2



等比数列前n项和公式的应用

【例3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以 后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度 的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 【分析】 通过仔细审题,抓住“在以后每一分钟里,它

上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题 眼”,从而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的 高度组成一个等比数列,于是热气球上升的总高度便是该等比 数列的前n项和,利用公式即可.

【解】

用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,

4 4 得an+1=5an,因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=5的等比数 列. 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn=a1+a2+?+an a1?1-qn? = = 1-q
? ?4? ? 25?1-?5?n? ? ? ? ?

4 1- 5

? ?4? ? =125×?1-?5?n?<125. ? ? ? ?

即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 规律技巧 在比较Sn与125的大小时,由于n未知,可能无

?4? 从下手,应考虑指数函数y=?5?x,x>0,y<1而求解. ? ?

易错探究 求和Sn=1+a+a2+?+an. 【错解】 ∵1,a,a2,?,an成等比数列,且公比为q 1×?1-an? 1-an =a,∴Sn= = . 1-a 1-a

【错因分析】

由于字母a没有限制条件,则a∈R,所以

当a=0时,1,a,a2,?,an不是等比数列,当a≠0时,才是 等比数列.求和时,应分a=1和a≠1两种情况求和,其和共有n +1项,而不是n项.

【正解】

(1)当a=0时,Sn=1.

(2)当a≠0时,1,a,a2,?an是等比数列,此时公比q= a,共有n+1项. 1×?1-an 1? 1-an 1 ∴当a≠1时,Sn= = . 1-a 1-a
+ +

当a=1时,Sn=n+1. 1-an+1 又当a=0时,Sn= 也成立. 1-a ?n+1 ?a=1?, ? + ∴Sn=?1-an 1 ?a≠1?. ? 1-a ?

随堂训练 S6 S9 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 =3,则 =( S3 S6 A.2 8 C.3 7 B. 3 D.3 )

解析

S3=a1+a2+a3,

则S6=(a1+a2+a3)(1+q3), S9=(a1+a2+a3)(1+q3+q6). S6 由S =3,得1+q3=3,∴q3=2. 3
3 6 S9 1+q +q 1+2+4 7 故S = = =3. 1+q3 1+2 6

答案 B

2.在等比数列{an}中, (1)已知q=2,S4=1,求S8; (2)a3=-12,S3=-9, 求公比q.



a1?1-q4? a1?1-24? 1 (1)S4= = =15a1=1,∴a1= . 15 1-q 1-2

1 8 ? 1 - 2 ? 8 a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2 (2)由a3=-12,S3=-9,得
2 ? ?a1q =-12, ? 2 ? a ? 1 + q + q ?=-9, ? 1

① ②

② 1+q+q2 3 得 =4. q2 ①

即q2+4q+4=0,∴q=-2.

1 2 3 n 3.求和Sn= + 2+ 3+?+ n. a a a a
解 分a=1和a≠1两种情况.

n?n+1? 当a=1时,Sn=1+2+3+?+n= 2 . 1 2 3 n 1 当a≠1时,Sn= + 2+ 3+?+ n,上式两边同乘以 ,得 a a a a a n-1 1 1 2 n Sn= 2+ 3+?+ n + n+1,两式相减,得 a a a a a

? 1? 1 1 1 n ?1- ?Sn= + 2+?+ n- n+1, a? a a a a ?

a?an-1?-n?a-1? 即Sn= . an?a-1?2 ? ?n?n+1? ?a=1?, ? 2 综上,得Sn=? n ?a?a -1?-n?a-1? ?a≠1?. n 2 ? a ? a - 1 ? ?

4.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.



(1)由已知,得a1+a2=4a1+2,

解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)= 4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2, 所以an+1-2an=3×2
n-1

an+1 an 3 ,于是 n+1-2n=4, 2

an 1 3 因此数列{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 2 4 an 1 3 3 1 = +(n-1)× = n- , 2n 2 4 4 4 所以an=(3n-1)· 2n-2.


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