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新课标A版高中数学必修五第二章数列章末复习与检测本章回顾2


第二章 数列 本章回顾 知识结构 方法总结 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体 现了函数思想,数形结合的思想. 2.等差(等比)数列中,a1,an,n,d(q),Sn“知三求二”, 体现了方程(组)的思想,整体思想,有时用到换元法. 3.求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1,公比是字 母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减 法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化法. 教学思想 1.函数与方程的思想 【例1】 ?2009? f?2010?. ? ? ? 1 ? ? 2 ? 4x 设f(x)= x ,求和:S=f ?2010? +f ?2010? +?+ 4 +2 ? ? ? ? 【分析】 1 2009 先对和式进行观察分析,不难发现 2010 + 2010 = 2 2008 1, + =1,?,因此对已知函数猜测f(x)+f(1-x)=1.不 2010 2010 妨一试. 【解】 4x ∵f(x)= x , 4 +2 41-x 4 2 ∴f(1-x)= 1-x = = , 4 +2 4+2· 4x 4x+2 ∴f(x)+f(1-x)=1, ? 1 ? ? 2 ? ?2009? ∴S=f?2010?+f?2010?+?+f?2010?,① ? ? ? ? ? ? ?2009? ?2008? ? 1 ? S=f?2010?+f?2010?+?+f?2010?,② ? ? ? ? ? ? ①+②得2S= 2009 =2009,∴S= . 2 【例2】 已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1), 数列{an}满足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0. (1)用an表示an+1; (2)求证:{an-1}是等比数列. 【解】 (1)∵f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1), ∴f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1). 又(an+1-an)g(an)+f(an)=0, ∴4(an+1-an)(an-1)+(an-1)2=0, ∴(an-1)(4an+1-3an-1)=0. ∵a1=2,∴an≠1, 3 1 ∴4an+1-3an-1=0,∴an+1= an+ . 4 4 3 1 3 an+1-1 4an+4-1 4?an-1? 3 (2)证明:∵ = = =4, an-1 an-1 an-1 3 ∴{an-1}是首项为a1-1=1,公比为4的等比数列. 2.等价转化思想 【例3】 已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6 =55,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an= + 2 + 3 +?+ n 2 2 2 2 (n为正整数),求数列{bn}的前n项和Sn. 【解】 (1)解法1:设等差数列{an}的公差为d,则依题意知 d>0. 由a2+a7=16,得2a1+7d=16.① 由a3· a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55.② 由①得2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220, 即256-9d2=220. ∴d2=4.又d>0,∴d=2.代入①得a1=1. ∴an=1+2(n-1)=2n-1. 解法2:由等差数列的性质,得a2+a7=a3+a6, ? ?a3a6=55, ∴? ? ?a3+a6=16. 由韦达定理,知a3,a6是方

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