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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第16课 指数与指数函数 文


第 16 课

指数与指数函数
1 ? 0} ,则 A ? (CU B) ? ( x ?1
D. {x | x ? 1} )

1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2x ? 1}, B ? {x | A. {x | x ? 1} 【答案】C B. {x | 0 ? x ? 1}

C. {x | 0 ? x ? 1}

【解析】 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,∴ CU B ? {x | x ? 1} ,∴ A ? (CU B) ? {x | 0 ? x ? 1} . 2.已知 f ( x) ? 3x?b (2 ? x ? 4) 的图象的图象经过点 (2,1) ,则 f ( x ) )的值域为( A. [9,81] C. [1,9] B. [3,9] D. [1, ??) )

【答案】C 【解析】由 f ( x ) 过点 (2,1) 可知 b ? 2 , ∵ f ( x) ? 3
x ?2

在 [2, 4] 上是增函数,可知 C 正确.

3. (2012 梅州二模)函数 y ?

y 1
O

y 1 1 x
O

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e? x y
1 1 x
O



y 1

1 x

O

1

x

A. 【答案】A 【解析】∵ e ? e
x ?x

B.

C.

D.

? 0 ,∴ x ? 0 ,故排除 C、D.

e x ? e? x e2 x ? 1 2 e x ? e? x y ? x ?x ? 2x ? 1? 2x ,易知 y ? x 在 (0, ?? )上为减函数,故选 A. e ?e e ?1 e ?1 e ? e? x
4. (2012 东城一模)已知函数 f ( x) ? ? 根,则实数 a 的取值范围是( A. (??,1) B. (??,1]

? 2? x ? 1,
) C. (0,1)

x ? 0,

? f ( x ? 1), x ? 0.

若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数

D. [0, ??)
y y=f(x) y=x+a
1

【答案】A 【解析】如图,只需 a ? 1 便可.

O

1

2

3

4

x

1

5.(1)已知 f ( x ) ?

2 ? m 是奇函数,求常数 m 的值. 3 ?1 (2) 画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象, 并利用图象回答:k 为何值时, 方程 | 3x ? 1|? k 无解?有一解?
x

有两解? 【解析】 (1)∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f (1) ? f (?1) ? 0 . ∴

2 2 ? m ? ?1 ? m ? 0 ,解得 m ? 1 . 3 ?1 3 ?1

(2)图象如右图实线

当 k ? 0 时, y ? k 与 y ?| 3 x ? 1 | 的图象无交点, ∴ 方程 | 3x ?1|? k 无解. 当 k ? 0 或 k ? 1 时, y ? k 与 y ?| 3 x ? 1 | 的图象有一个交点, ∴方程 | 3x ? 1|? k 有一个解. 当 0 ? k ? 1 时, y ? k 与 y ?| 3 x ? 1 | 的图象有二个交点, ∴ 方程 | 3x ?1|? k 有二个解.

2

6.(2013 珠海一模)对于函数 f ( x ) ? a ? (1)判断函数的单调性并证明;

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1
x

(2)是否存在实数 a 使函数 f ( x ) 为奇函数?并说明理由. 【解析】(1)当 b ? 1 时, f ( x ) 在 R 上是单调增函数; 当 0 ? b ? 1 时, f ( x ) 在 R 上是单调减函数; 证明:设 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ?

2 2 ? (a ? x2 ) b ?1 b ?1
x1

?

2(b x1 ? b x2 ) . (b x1 ? 1)(b x2 ? 1)
当 b ? 1 时,∵ x1 ? x2 ,∴ b 1 ? b
x x2

? 0,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故此时函数 f ( x ) 在 R 上是单调增函数; 当 0 ? b ? 1 时,∵ x1 ? x2 ,∴ b 1 ? b
x x2

? 0,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 故此时函数 f ( x ) 在 R 上是单调减函数. (2) f ( x ) 的定义域是 R , 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .

2 b? x ? 1 1 ? b x ? ? 当 a ? 1 时, f (? x) ? 1 ? ? x , b ? 1 b? x ? 1 1 ? b x f ( x) ? 1 ? 2 bx ?1 ? x , bx ?1 b ?1

满足条件 f (? x) ? ? f ( x) , 故 a ? 1 时函数 f ( x ) 为奇函数

3


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