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哈师大附中2013-2014学年高二上学期期中数学理试题


哈师大附中高二上学期期中考试

数学试题(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为(
2

) C. 0, (

A. (1,0)

B. (2,0)

1 ) 8

D. 0, (

1 ) 16

2. 若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点到焦点 F1 的距离为6,则点P到另一个焦点 F2 的距离为 16 25
B.4 C.6 D.8 )

( ) A.2

3 3. 已知中心在原点的双曲线C的上焦点为F (0, , 3) 离心率为 , 则C的方程是 ( 2
A.

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

y 2 x2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 4 5


D.

y 2 x2 ? ?1 4 5

4.在极坐标系中,圆 ? ? cos(? ? A. ( , ? )

1 2

? 3

? ) 的圆心的极坐标为( 3 1 ? ? B. ( , ) C. (1, ? ) 2 3 3
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

D. (1, )

? 3

5 . 已 知 实 数 p ? 0 , 曲 线 C1 : ?

(t 为 参 数 , 上 的 点 A ( 2 , m ) 圆 ) ,

p ? ? x ? ? 6 cos ? C2 : ? (? 为参数)的圆心为点 B,若 A、B 两点间的距离等于圆 C2 的半 2 ? y ? 6sin ? ?
径,则 p =( A.4 ) B.6 C.8 D.10

???? ???? ? x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,则在椭圆C上满足 PF1 ?PF2 ? 0 6.已知椭圆C: 16 12
的点P的个数有( ) A.0 B.2
2

C.3

D.4

7 . 已 知 P 是 抛 物 线 x ? 4 y 上 的 一 个 动 点 , 则 点 P 到 直 线 l1 : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 和

l2 : y ? 2 ? 0 的距离之和的最小值是(



A.1
2

B.2
2 2

C.3

D.4

8.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 的距离等于1,则 半径 r 的取值范围是( ) A. r ? 1 B. r ? 3
2 2

C. 1 ? r ? 3

D. 1 ? r ? 2

9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则实数 k 的取值范围是 ( )

A. ? ?

? ? ?

15 15 ? , ? 3 3 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

15 ? ? 3 ? ?

C. ? ?

? ? ?

15 ? ,0? ? 3 ?

D. ? ?

? ? ?

? 15 , ?1 ? ? 3 ?

10.已知P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,

? ??? 1 ??? ? ? 4 ??? PB ? xPC ? DB ,则实数 x 的值为( 3 6 1 1 1 A. B. ? C. 3 3 2
且 PA ?
2

??? ?

) D. ?

1 2


11.直线 l 交抛物线 y ? 2 x 于A、B两点,且 OA ? OB ,则直线 l 过定点( A. (1,0) B. (2,0) C. (3,0)

D. (4,0)

12.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线 a 2 b2


的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 面 ABC , AB ? AC ,且 AA1 ? AB ?AC ,则 异面直线 AB1 与 BC1 所成角为_____________. π π 14.已知在极坐标系中,圆 C 的圆心为(6, ),半径为 5,直线 ? = ? ( ≤ ? ≤π ,? ∈ 2 2 R)被圆截得的弦长为 8,则 ? =________. 15.已知点P(1,3)为圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 外一点,则实数 m 的取值范围为
2 2

___________.

x2 y 2 16.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为 B2 、 B1 、 A 、 a b
F,延长 B1 F 与 AB2 交于点 P,若 ?B1PA 为钝角,则此椭圆的离心率 e 的取值范围为 _____________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

2 ? ?x ? 1? t2 ? 17. (本题满 10 分)已知:在直角坐标系 xOy 中,曲线C的参数方程为: ? (t 为 ? y ? 2t ? 1? t2 ?
参数) 以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. , 求曲线C的极坐标方程.

18. (本题满分 12 分) 已知在三棱锥P-ABC中, PA ? 面ABC, AC ? BC,且PA=AC=BC=1,点E是PC的中点,作 EF ? PB交PB于点F. (Ⅰ)求证:PB ? 平面AEF; (Ⅱ)求二面角A-PB-C的大小.







A B 19. (本题满分 12 分)已知椭圆



x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b

2

2

e?

3 ,直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆交于P、Q两点,且 OP ? OQ ,求该椭圆方程. 2

3 ? ? x ? ?2 ? 5 t , ? ? 4 20. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为: ? y ? 2 ? t. ( t ? 5 ?
为参数),它与曲线 C : ( y ? 2) ? x ? 1 交于 A , B 两点.
2 2

(Ⅰ) 求 AB 的长;(Ⅱ) 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的

极坐标为 ? 2 2 ,

? ?

3? ? ? ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 4 ?

21. (本题满分 12 分)已知在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点 E在棱 AB 上移动. (Ⅰ)求证: D1 E ? A1 D ; (Ⅱ)在棱AB上是否存在点E使得 AD1 与平面

D1

C1 B1
D C E B

A1

? D1 EC 成的角为 ?若存在,求出 AE 的长, 6
若不存在,说明理由.



22. (本题满分 12 分)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 a 2 b2

2 ,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 ,直线 l : y ? kx ? m 与椭 2
圆交于不同的A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q满足: OA ? OB ? ?OQ (O为坐标原点) .求实数 ? 的取 值范围.

??? ??? ? ?

????

0451-88198777

地址:南岗区民益街 78 号三层

哈师大附中高二上学期期中考试

数学试题(理科)答案
一.选择题: 1. D 2. B 3. B 11.B 12.D 二.填空题: 13. 4. A 5. C 6. A 7. C 8. 9. C D 10. A

? 2

14.

2? 3

15. ? 7,

? ?

37 ? ? 4 ?

16. ? ?

? 5 ?1 ? ,1 ? ? ? 2 ?

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

2 ? ?x ? 1? t2 y ? 17. (本题满分 10分)解:由 ? ,得 t ? 0,?0 ? x ?2 ,两式相除,得 t ? 代 x ? y ? 2t 2 ? 1? t ?
入x?

2 得 1? t2
, z P

C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0( x ? 0)

C : ? ? 2cos ?(? ? 0)
18. (本题满分 12 分) (Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 PB ? AF ,且EF ? PB, 故 ?EFA 为二面角A-PB-C的平面角 可求 ?EFA = 60? x





A B



y

Q 19.本题满分 12 分) 设 P( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , e ? ( 解: ?

3 c 3 4 ? ? ? a 2 ? c 2 , a 2 ? 4b 2 2 a 2 3

?x ? y ?1 ? 0 x2 y 2 ? 2 2 设椭圆方程 2 ? 2 ? 1 , ? x 2 消 y 得 5x ? 8x ? 4 ? 4b ? 0 有两根为 x1 , x2 y2 4b b ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b

8 ? ? x1 ? x2 ? ? 5 1 ? ?? ? 0 ? 5b2 ? 1? b2 ? ,且有 ? 2 5 ? x ? x ? 4 ? 4b ? 1 2 5 ?
??? ???? ? ? OP ? OQ ? OP ? OQ ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 即

4 ? 4b 2 x2 y2 8 5 5 2 2 2 +( ? )+1=0解得 b ? ? a ? 椭圆方程为 ? ? 1. 5 5 5 5 8 2 2 8
20. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t 2 ? 60t ? 125 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t2 ? ? 所以 AB ? t1 ? t2 ?

60 125 . , t1t2 ? ? 7 7

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

10 71 . 7

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) , 根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为

t1 ? t2 30 ? ? .所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 2 7 t ?t 30 PM ? 1 2 ? . 2 7

21. (本题满分 12 分) (Ⅰ)略 (Ⅱ)存在, AE ? 13 ? 2

22. (本题满分 12 分)

c 2 2b 2 解: (Ⅰ)由已知得 e ? ? , ? 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1 a 2 a
所以椭圆C的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) 当 ? ? 0 时由 OA ? OB ? ?OQ 知, OA ? OB ? 0 ,A与B关于原点对称,存在Q满足题意

??? ??? ? ?

????

??? ??? ? ?

?

?? ? 0 成立.
当 ? ? 0 时, ?
2

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0

? ? ? 4km ? ? 4 ?1 ? 2k 2 ?? 2m 2 ? 2 ? ? 0 得 m2 ? 1 ? 2k 2 ……(*)

x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 2 2m , x1 x2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
????

由 OA ? OB ? ?OQ ,得 ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?x0 , ?y0 ?

??? ??? ? ?

1 1 ?4km ? ? x0 ? ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? 1 ? 2k 2 x2 ? x1 ? x2 ? ?x0 , y1 ? y2 ? ?y0 ,? ? , 代入到 ? y 2 ? 1 得 2 ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? 2m 0 1 2 2 ? ? ? 1 ? 2k ?

m2 ?

?2 ?2 (1 ? 2k 2 ) 代 入 ( * ) 式 (1 ? 2k 2 ) ? 1 ? 2k 2 , 由 1 ? 2k 2 ? 0 得 ?2 ? ? ? 2 且 4 4

? ? 0.

?综上 ? ? ? ?2, 2 ? .



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