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广东省佛山市普通高中2016届高三教学质量检测(二)数学文试题(解析版)


2015~2016 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)

数 学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.函数 y ? ln( A. (??, 0] 【答案】B 【解析】∵

1 ? 1) 的定义域为( x
B. (0,1)

) C. (1, ??) D. (??,0) ? (1, ??)

1 1? x x ?1 ? 1 ? 0 ,∴ ? 0 ,∴ ? 0 ,∴ 0 ? x ? 1 . x x x


2.已知复数 z1 ? 1 ? ai , z2 ? 3 ? 2i , a ? R , i 是虚数单位,若 z1 z2 是实数,则 a ? ( A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

【答案】A 【解析】 z1 z2 ? 3 ? 2a ? (3a ? 2)i , ∵ z1 z2 是实数,∴ 3a ? 2 ? 0 ,∴ a ? ?

2 . 3


3.已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,若 a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列,则 a10 ? ( A. 19 B. 20 C. 21 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为 d ,且 d ? 0 . ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,∴ a2 ? 5 . ∵ a1 ? 2, a2 ? 5, a3 ? 13 成等比数列, ∴ (a2 ? 5)2 ? (a1 ? 2)(a3 ? 13) , ∴ (a2 ? 5)2 ? (a2 ? d ? 2)(a2 ? d ? 13) ,
2 ∴ 10 ? (7 ? d )(18 ? d ) ,解得 d ? 2 .

D. 22

∴ a10 ? a2 ? 8d ? 5 ? 8 ? 2 ? 21 . 4.已知函数 y ? sin(2 x ? ?) 在 x ? A.关于点 (

?
6

处取得最大值,则函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象( B.关于点 (



?
6

, 0) 对称

?
3

, 0) 对称

C.关于直线 x ? 【答案】A 【解析】∵ 2 ?

?
6

对称

D.关于直线 x ?

?
3

对称

?
6

? ? ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? 2k? ?

?
6

,k ?Z ,

∴ y ? cos(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? 2k? ? 当x?

?

?
6

时, y ? cos(2 ?

?

? ) ? 0 ,故选 A. 6 6

?

) ? cos(2 x ? ) , 6 6

?

? x ? 1, y ? 5.若 x, y ? R ,且 ? y ? x, 则 z ? 的最小值等于( x ? x ? 2 y ? 3 ? 0. ?
A.3 B.2 C.1 )



D.

1 2

【答案】B 6.命题“ ?x ? 0 ,使得 a ? x ? b ”是“ a ? b ”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )

【答案】C 7.下列函数中, ?a ? R ,都有得 f (a) ? f (?a) ? 1 成立的是( A. f ( x) ? ln( 1 ? x 2 ? x) C. f ( x ) ? B. f ( x) ? cos ( x ?
2

?

x x ?1
2

4 1 1 ? D. f ( x) ? x 2 ?1 2

)

【答案】B 【解析】选项 A. f (a) ? f (?a) ? 0 ,排除;

1 ? cos(2 x ? ) 2 ? 1 ? 1 sin 2 x , 选项 B. f ( x) ? 2 2 2 ∴ f (a) ? f (?a) ? 1 ? sin 2 x ? sin(?2 x) ? 1 ,故选 B.
8. 自主招生联盟成行于 2009 年清华大学等五校联考, 主要包括“北约”联盟, “华约”联盟, “卓越”联盟和“京 派”联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况,得到如下结果: ①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟 根据上述调查结果,下列结论错误的是( )

?

A.没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C.报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟

【答案】D 【解析】集合 A 表示报考“北约”联盟的学生,集合 B 表示报考“华约”联盟的学生, 集合 C 表示报考“京派”联盟的学生,集合 D 表示报考“卓越”联盟的学生,

?A? B ? ? ?A ? D ?B ? C ? ? A 由题意得 ? ,∴ ? B ? C , ?? D ? B ?D ? C ? ? D ?U ? ? D ? B ?U
选项 A. B ? D ? ? ,正确; 选项 B. B ? C ,正确; 选项 C. A ? D ,正确.

B= C

9.执行如图的程序框图,若输出 i 的值为 12 ,则①、②处可填入的条件分别为(
开始



S= 1, i =2






输出i

S ? S ?i
结束



A. S ? 384, i ? i ? 1 C. S ? 3840, i ? i ? 1

B. S ? 384, i ? i ? 2 D. S ? 3840, i ? i ? 2

【答案】D 【解析】如果②处填入 i ? i ? 2 , 则 S ? 1? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ?10 ? 3840 ,故选 D. 10. 已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c , 左焦点为 F , 若直线 y ? x ? c 与椭圆交于 A, B 两 a 2 b2


点,且 AF ? 3 FB ,则该椭圆的离心率是(

A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

【答案】C

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】 ? a 2 b 2 ,得 (a ? b ) y ? 2b cy ? b c ? a b ? 0 , ?y ? x ? c ? 2 2 2 2 4 ∴ (a ? b ) y ? 2b cy ? b ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

2b 2c ?b 4 , y y ? . 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ∵ AF ? 3 FB ,∴ y1 ? ?3 y2 ,
∴ y1 ? y2 ?

2b 2c b4 2 2 2 2 ,3 y ? ,∴ a ? b ? 3c , 2 2 2 2 2 a ?b a ?b 2 c 1 2 2 2 ∴ a ? 2c ,∴ 2 ? ,∴ e ? . a 2 2
∴ ?2 y2 ?
? 11.已知 A 、 B 、 C 都在半径为 2 的球面上,且 AC ? BC , ?ABC ? 30 ,球心 O 到平面 ABC 的距

离为 1,点 M 是线段 BC 的中点,过点 M 作球 O 的截面,则截面面积的最小值为( A.



3? 4

B.

3? 4
?

C. 3?

D. 3?

【答案】B 【解析】∵ AC ? BC ,∴ ?ACB ? 90 , ∴圆心 O 在平面的射影为 AB D 的中点,

C A D B

1 AB ? OB 2 ? OD 2 ? 1 ,∴ AB ? 2 . 2 ? ∴ BC ? AC cos30 ? 3 , 当线段 BC 为截面圆的直径时,面积最小, 3 2 3? ∴截面面积的最小值为 ? ? ( . ) ? 2 4
∴ 12.已知函数 f ( x) ? ae A. [?1,1] 【答案】D
x ?1 【解析】当 a ? 1 时, f ( x) ? e ? x ?1 ?1.

O

x?1

? x ? a ?1 有两个零点,则实数 a 的取值范围是(
C. {?1} ? (0,1]



B. [0,1]

D. {?1} ? [0,1)

当 x ? 1 时, f ( x) ? e

? x ? 2 为增函数, ∴ f ( x) ? f (1) ? 0 ,有唯一零点 1 . 当 x ? 1 时, f ( x) ? e x?1 ? x , f ?( x) ? e x?1 ?1 . ∵ x ? 1 ,∴ f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调减, ∴ f ( x) ? f (1) ? 0 ,没有零点, 综上: a ? 1 时,原函数只有一个零点, 故不成立,从而排除 A, B, C .
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一根铁丝长为 6 米,铁丝上有 5 个节点将铁丝 6 等分,现从 5 个节点中随机选一个将铁丝剪断,则所 得的两段铁丝长均不小于 2 的概率为________. 【答案】

x ?1

3 5
B C D E F G

【解析】如图:A

B, C, D, E, F 中任取一个所得的两段铁丝长均不小于 2 的情况可以是:取 C, D, E , 3 ∴所求的概率 P ? . 5

14.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? ?1 , an?1 ? 2Sn (其中 n ? N* ) ,则 Sn ? 【答案】 ?3 【解析】∵ an?1 ? 2Sn ,∴ Sn?1 ? Sn ? 2Sn , ∴∴ Sn?1 ? 3Sn , Sn ? S1 ? 3n?1 ? 3n?1 . 15. 已知点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的点, 且 P 到该抛物线焦点的距离为 3,则 P 到原点的距离为 【答案】 2 3 【解析】设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
n ?1

.



p ? 3, 2 2 ∴ x0 ? 1 ? 3 ,∴ x0 ? 2 , y0 ?8,
∴ P 到原点的距离为 x0 ? y0 ? 12 ? 2 3 .
2 2

16.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 AD ,点 Q 为线段 CD (含端点)上一个动点,且 DQ ? ?QC , BQ 交 AC 于 P ,且 AP ? ? PC ,若 AC ? BP ,则 ? ? ? ? 【答案】 ?1 【解析】以 A 为原点建立直角坐标系,如图: 设 AB ? 3 ,则 AD ? 1 , B( 3,0) , C ( 3,1) .

????

??? ?

??? ?

??? ?



D

Q P

C

3 直线 AC 的方程为 y ? x, 3 直线 BP 的方程为 y ? ? 3x ? 3 , 直线 DC 的方程为 y ? 1 , ? 2 3 ?y ?1 由? ,得 Q ( ,1) , 3 ? ? y ? ? 3x ? 3 ? 3 x 3 3 3 ?y ? 由? ,得 P( , ), 3 4 4 ? y ? ? 3x ? 3 ?
∴ DQ ?

A

B

y
D Q P A B C

x

???? ??? ? 2 3 3 , QC ? 3 ? DQ ? ,由 DQ ? ?QC ,得 ? ? 2 . 3 3 ??? ? ??? ? 3 3 3 3 3 3 3 1 , ) ? ?[( 3,1) ? ( , )] ? ?[( , ) , 由 AP ? ? PC ,得 ( 4 4 4 4 4 4 ∴ ? ? 3 , ? ? ? ? ?1.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 A 、 B 、C 、 D 为同一平面上的四个点,且满足 AB ? 2 , BC ? CD ? DA ? 1 ,设 ?BAD ? ? , ?ABD 的面积为 S , ?BCD 的面积为 T . 时,求 T 的值; 3 (2)当 S ? T 时,求 cos ? 的值; 【解析】 (1)在 ?ABC 中,由余弦定理得 (1)当 ? ?

?

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos ?
? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? 1 ?3, 2

在 ?BCD 中,由余弦定理得

cos ?BCD ?

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 2 BC ? CD

?

12 ? 12 ? ( 3)2 1 ?? , 2 ? 1? 1 2
?

∵ ?BCD ? (0? ,180? ) ,∴ cos ?BCD ? 60 . ∴T ?

1 1 3 3 . BC ? CD sin ?BCD ? ?1?1? ? 2 2 2 4
1 AD ? AB sin ?BCD ? sin ? . 2

(2) S ?

BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos? ? 5 ? 4cos ? ,

BC 2 ? CD 2 ? BD 2 4cos ? ? 3 cos ?BCD ? ? , 2 BC ? CD 2
1 1 BC ? CD sin ?BCD ? sin ?BCD , 2 2 1 ∵ S ? T ,∴ sin ? ? sin ?BCD , 2 T?
∴ 4sin ? ? sin ?BCD ? 1 ? cos ?BCD ? 1 ? (
2 2 2

4 cos ? ? 3 ), 2

∴ cos ? ?

7 . 8

18. (本小题满分 12 分) 从 2016 年 1 月 1 日起,广东、湖北等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围,其中最大的变 化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表: 上一年的出险次数 0 1 2 4 3 5 次以上(含 5 次) 下一年保费倍率 85? 100? 125? 150? 175? 200? 连续两年没有出险打 7 折,连续三年没有出险打 6 折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的 8 组数据 ( x, y )(其中 :(8, 2150) 、(11, 2400) 、(18,3140) 、(25,3750) 、 x(万元)表示购车价格, y (元)表示商业车险保费) ? ? ?1055 . 设由这 8 组数据得到的回归直线方程为: (25, 4000) 、 (31, 4560) 、 (37,5500) 、 (45, 6500) , y ? bx (1)求 b ; (2)广东李先生 2016 年 1 月购买一辆价值 20 万元的新车, (i)估计李先生购车时的商业车险保费; (ii) 若该车今年 2 月已出过一次险, 现在又被刮花了, 李先生到 4S 店询价, 预计修车费用为 800 元, 保险专员建议李先生自费(即不出险) ,你认为李先生是否应该接受建议?说明理由. (假设车辆下一年 与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保) 【解析】 (1) x ?

1 200 (8 ? 11 ? 18 ? 25 ? 25 ? 31 ? 37 ? 45) ? ? 25 万元, 8 8 1 3200 y ? (2150 ? 2400 ? 3140 ? 3750 ? 4000 ? 4560 ? 5500 ? 6500) ? ? 4000 元, 8 8

? ? 1055 经过样本中心 ( x, y ) ,即 (25, 4000) . 直线 ? y ? bx
∴b ?

(2) (i)价值为 20 万元的新车的商业车险保费预报值为: 117.8 ? 20 ? 1055 ? 3411 元. (ii)由于该车已出过一次险,若再出一次险, 则保费增加 25? ,即增加 3411? 25? ? 852.75 元. 因为 852.75 ? 800 ,若出险,明年的保费已超 800 ,故接受建议.

y ? 1055 4000 ? ?1055 ? ? 117.8 . 25 x

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, ?BAD ? 60? , AB ? BD, BC ? CD . (1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 A 1BD ; (2)若 BC ? CD , AB ? AA 1?A 1 BD 的体积. 1 ? 2 ,求三棱锥 B 【解析】 (1)证明:∵ AB ? BD, ?BAD ? 60? , ∴ ?ABD 为正三角形,∴ AB ? AD . ∵ CB ? CD , AC 为公共边, ∴ ?ABC ? ?ADC . ∴ ?CAB ? ?CAD ,∴ AC ? BD . ∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 是直四棱柱, ∴ AA1 ? 平面 ABCD ,∴ AA1 ? BD . ∵ AC ? AA1 ? A ,∴ BD ? 平面 ACC1 A1 . ∵ BD ? 平面 A 1 BD ? 平面 ACC1 A 1. 1BD ,∴平面 A (2)∵ AA1 ∥ BB1 ,∴ VB1 ? A1BD ? VA1 ?BB1D ? VA?BB1D , 由(1)知 AC ? BD . ∵四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 是直四棱柱, ∴ BB1 ? 平面 ABCD ,∴ BB1 ? AC . ∵ BD ? BB1 ? B ,∴ AC ? 平面 BB1D . 记 AC ? BD ? O ,

D1 A1 B1 D A B C C1

1 1 1 2 3 , S?BB1D ? AO ? ? ( ? 2 ? 2) ? 3 ? 3 3 2 3 2 3 ∴三棱锥 B1 ? A1BD 的体积为 . 3
∴ VA? BB1D ?

20. (本小题满分 12 分) 已知点 M 为圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 上一个动点,点 D 是 M 在 x 轴上的投影, P 为线段 MD 上一点,且与 点 Q 关于原点 O 对称,满足 QP ? OM ? OD . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 P 作 E 的切线 l 与圆相交于 A, B 两点,当 ?QAB 的面积最大时,求直线 l 的方程. 【解析】 (1)设 P( x, y) , M ( x0 , y0 ) ,则 D( x0 ,0) . ∵点 P 与点 Q 关于原点 O 对称,∴ QP ? 2OP . ∵ QP ? OM ? OD ,∴ 2OP ? OM ? OD , ∴ 2( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x0 ,0) ,∴ ?

??? ?

???? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

???? ? ????

??? ?

???? ? ????

? x0 ? x , ? y0 ? 2 y

2 2 ∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x2 ? 4 y 2 ? 4 ,

∴动点 P 的轨迹方程:

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,显然不符合题意, ∴设直线 l 的方程为 y ? km ? m , ,得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 2 x ? 4 y ? 4 ? ∵直线 l 与椭圆相切, 2 2 2 2 2 2 ∴ ? ? 64k m ? 4(4k ? 1)(4m ? 4) ? 0 ,∴ m ? 4k ? 1 . m 原点 O 到直线 l 的距离 d ? ,则 AB ? 2 4 ? d 2 , 2 1? k 1 2 ∴ S ?QAB ? AB ? 2d ? 2d 4 ? d 2 由?

? y ? km ? m

? 2 d 2 (4 ? d 2 ) ? 2 ?( d 2 ? 2) 2 ? 4 ? 4 ,
当 d ? 2 ,即 d ? 2 时, ?QAB 的面积取得最大值 4 .
2

此时 d ?

m 1? k
2

? 2 ,即 m2 ? 2k 2 ? 2 ,

?m ? ? 3 2 2 ? ? ? m ? 2k ? 2 由? 2 ,解得 ? 2, 2 ? ?k ? ? ? m ? 4k ? 1 ? 2
∴直线 l 的方程为 y ?

2 2 2 2 x ? 3或 y ? x? 3或 y ? ? x ? 3. x? 3 或 y ? ? 2 2 2 2

21. (本小题满分 12 分) 设曲线 C : y ? a ln x(a ? 0) 在点 T ( x0 , a ln x0 ) 处的切线与 x 轴交与点 A( f ( x0 ),0) ,函数 g ( x ) ? (1)求 f ( x0 ) ,并求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极值; (2)设在区间 (0,1) 上,方程 f ( x) ? k 的实数解为 x1 , g ( x) ? k 的实数解为 x2 ,比较 x1 与 x2 的大小. 【解析】 (1)∵ y ? a ln x ,∴ y ? ? ∴曲线 C 在点 T 处的切线斜率 k ?

2x . 1? x

a . x

a , x0

∴切线方程为 y ? y0 ?

a ( x ? x0 ) . x0

令 y ? 0 ,得 ? x0 y0 ? a( x ? x0 ) , ∵ y0 ? a ln x0 ,∴ ? x0 a ln x0 ? a( x ? x0 ) ,∴ x ? x0 ? x0 ln x0 . ∴ f ( x0 ) ? x0 ? x0 ln x0 .∴ f ( x) ? x ? x ln x . f ?( x) ? ? ln x . 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, ∴当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 1 ,无极小值. (2)由题设知 f ( x1 ) ? k , g ( x2 ) ? k ,故

k 2 x2 . ? k ,解得 x2 ? 2?k 1 ? x2

将 f ( x1 ) ? k 代入上式得 x2 ?

f ( x1 ) , 2 ? f ( x1 )

∴ x2 ? x1 ?

f ( x1 ) (1 ? x1 ) f ( x1 ) ? 2 x1 x1 (1 ? x1 ) 2 ? x1 ? ? [(1 ? ln x1 ) ? ], 2 ? f ( x1 ) 2 ? f ( x1 ) 2 ? f ( x1 ) 1 ? x1

∵ x1 ? (0,1) ,由(1)知 f ( x1 ) ? 1,∴ 2 ? f ( x1 ) ? 0 , ∵ x1 (1 ? x1 ) ? 0 ,∴

x1 (1 ? x1 ) ? 0. 2 ? f ( x1 )
2 1 2 ?1 ? x2 , x ? (0,1) ,则 h?( x) ? ? ? ? ?0, 1? x x (1 ? x)2 x(1 ? x)2

令 h( x) ? (1 ? ln x) ?

∴ h( x) 在 (0,1) 上单调递减,∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,即 (1 ? ln x1 ) ? ∴ x2 ? x1 ? 0 ,从而 x2 ? x1 .

2 ?0, 1 ? x1

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A, B, D, E 在 ? O 上, ED 、 AB 的延长线交于点 C , AD 、 BE 交于点 F , AE ? EB ? BC .

? ? BD ? ; (1)证明: DE
(2)若 DE ? 2 , AD ? 4 ,求 DF 的长. 【解析】 (1)证明:∵ EB ? BC ,∴ ?C ? ?BEC . ∵ ?BED ? ?BAD ,∴ ?C ? ?BED ? ?BAD . ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB , ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD . ∴ ?EAD ? ?C ,∴ ?BAD ? ?EAD .

E D F C B O A

? ? BD ? . ∴ DE (2)由(1)知 ?EAD ? ?C ? ?FED ,
∵ ?EAD ? ?FDE ,∴ ?EAD ∽ ?FED ,∴

DE AD ? . DF ED

∵ DE ? 2 , AD ? 4 ,∴ DF ? 1 . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ?

?

3

) , 以极点为原点 , 极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系

xOy .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 在曲线 C 上,点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) (其中 ? ? R ) ,求 PQ 的最大值. 【解析】 (1)∵ ? ? 4sin(? ?

?
3

),

∴ ? ? 4(sin? cos

? cos ? sin ) , 3 3 2 ∴ ? ? 2?sin? ? 2 3? cos? ,
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2y ? 0 . (2)曲线 C 可化为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 , ∴曲线 C 是圆心,半径为 2 的圆, ∵点 Q 的直角坐标是 (cos ? ,sin ? ) , ∴点 Q 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1, ∴ PQ ? OC ?1? 2 ? 5 ,即 PQ 的最大值为 5 .

?

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 2x ? t , t ? R . (1)当 t ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若存在实数 a 满足 f (a) ? a ? 3 ? 2 ,求 t 的取值范围. 【解析】 (1)当 t ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2x ?1 , 由 f ( x) ? 5 ,得 x ? 3 ? 2x ? 1 ? 5 ,

1 ? ? 1 ?x ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 3 ∴? ,或 ? , 2 ,或 ? 2 3 x ? 2 ? 5 ? ? ? ?2 ? 3x ? 5 ?x ? 4 ? 5 解得 x ? ?1 或 1 ? x ? 3 或 x ? 3 , ∴原不等式的解集为 (??, ?1] ? [1, ??) .
(2) f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 2x ? t

? (2x ? 6) ? (2x ? t ) ? t ? 6 ,
∵原命题等价于 ( f ( x) ? x ? 3)min ? 2 , ∴ t ? 6 ? 2 ,解得 ?8 ? t ? ?4 , ∴ t 的取值范围是 (?8, ?4) .



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